2017-2018学年河南省豫西名校高二下学期第一次联考数学理试题（解析版）

2017-2018学年河南省豫西名校高二下学期第一次联考数学理试题（解析版）

河南省豫西名校2017-2018学年高二下学期第一次联考 数学（理）试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知曲线在处的切线垂直于直线，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. 10 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的导数，则在点 处的切线斜率 直线的斜率 ∵直线和切线垂直， .‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查函数的切线斜率的计算，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．‎ ‎2. 已知函数，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，故选B.‎ ‎3. 若函数在处的导数为，则为（ ）‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于Δy＝f(a＋Δx)－f(a－Δx)，‎ 其改变量对应2Δx，‎ 所以 ‎＝‎ ‎＝2f′(a)＝2A，‎ 故选：B ‎4. 已知，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，选B.‎ ‎5. 设定义在上的函数的导函数满足，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得构造函数，在 上0，所以 在 上单调递增，所以，即 选A.‎ ‎6. 若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由导函数图像可知导函数先负，后正，再负，再正，且极值点依次负，正，正。对应的函数图像应是先减，后增，再减，再增，排除B,D，这两上为先增，再排除C,因为极值点第二个应为正，选A.‎ ‎7. 已知是函数的极值点，若，则（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D 根据图象可知，，所以 ‎ ，，故选D.‎ ‎8. 已知球的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】设正四棱锥S−ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，‎ 则：，整理可得：，‎ 而正四棱锥的高为h=6+x，‎ 故正四棱锥体积为：‎ 当且仅当，即x=2时，等号成立，‎ 此时正四棱锥的高为6+2=8.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.‎ ‎9. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,因为函数f(x)在区间上单调递增，所以导函数在区间上上，即，选A.‎ ‎【点睛】已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数　f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是　f ′(x)≥0(或　f ′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且　f ′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数　f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有　f ′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处　f ′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间．‎ ‎10. 若函数的图象总在直线的上方，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得在区间上恒成立，，令函数所以函数在区间（0，1）上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，选D.‎ ‎【点睛】‎ 分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地， 恒成立，只需即可； 恒成立，只需 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.注意函数最值取不到时，等号是否可取的问题。‎ ‎11. 已知双曲线：的左焦点为，右顶点为，过点且垂直于轴的直线与双曲线相交于不同的两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】双曲线右顶点为，左焦点为，，过点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，则 ‎∵若为锐角三角形，只要为锐角，即 ‎∴，即即 ‎∴‎ 故选A 点睛：解决双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎12. 偶函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意构造函数 所以函数F(x)在区间上，F(x)在区间上单调递减。，当时，可变形为，即，即。‎ ‎【点睛】对于偶函数，在定义域上。偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知，则______.‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】因为f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，‎ 所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋3)(x＋4)·(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)，‎ 所以f′(0)＝1×2×3×4×5＝120.‎ 故答案为：120‎ 点睛：本题也可以利用整体思想处理，令(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)，‎ 则f(x)＝x＋6，f′(x)＝+ x,‎ ‎∴f′(0)＝,.‎ ‎14. 函数在上的最大值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，解得，当时，；当时，，当时函数取极小值也就是最小值为，故答案为.‎ ‎15. 已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，得，‎ 可得极大值为，极小值为.‎ ‎16. 设函数，若对所有都有，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令函数，，，在区间单调递增，且 ‎，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，‎ 当时，，所以在区间单调递增，由F(0)=0,即恒成立，符合。‎ 当时，在区间上单调递增，所以=0有唯一根，设为，所以 在区间上单调递减，在区间单调递增，而。所以，不符。所以 ，选 ‎【点睛】‎ 对于求不等式恒成立时的参数范围问题，一是将参数分离出来，使不等号一边是参数，另一边是一个区间上具体的函数，这样便于解决问题．二是带参求导，把函数变形适当的形式，再求导对参数讨论分类讨论导函数及函数的性质，进一步求出参数的范围。‎ 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 命题：实数满足（其中），命题：实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围； ‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由,解出命题P为真时的x范围，和q为真时x范围，再由为真，即p和q都为真，两个范围做交运算。（2）因为是的充分不必要条件，则，‎ 可得实数的取值范围。‎ 试题解析：（1）由得，‎ 又，所以，‎ 当时，，即为真时，实数的取值范围是，‎ 由得，解得，即为真时，实数的取值范围是，‎ 若为真，则真且真，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎（2）由（1）知：，则：或，‎ ‎：，则：或 因为是的充分不必要条件，则，‎ 所以解得，故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 为真，即p与q同时为真。为假，即p与q中至少有一个为假。‎ ‎ 为真，即p与q至少有一个为真。为假，即p与q同时为假。‎ ‎18. 某粮库拟建一个储粮仓如图所示，其下部是高为2的圆柱，上部是母线长为2的圆锥，现要设计其底面半径和上部圆锥的高，若设圆锥的高为，储粮仓的体积为.‎ ‎（1）求关于的函数关系式；（圆周率用表示）‎ ‎（2）求为何值时，储粮仓的体积最大.‎ ‎【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ）. ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题圆锥和圆柱的底面半径， 可得储粮仓的体积，.‎ ‎（Ⅱ）利用导数求（Ⅰ）中的函数最值即可.‎ 试题解析：（Ⅰ）∵圆锥和圆柱的底面半径， ∴.‎ ‎∴，即，.‎ ‎（Ⅱ），令 ，‎ 解得，.又，∴（舍去）.‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ 故当时，储粮仓的体积最大.‎ 点晴：研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的．建立模型的步骤可分为： (1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示； (2) 根据所给条件，运用数学知识，确定等量关系； (3) 写出f(x)的解析式并指明定义域.‎ ‎19. 已知函数.‎ ‎（1）求在处的切线方程； ‎ ‎（2）讨论函数的单调性.‎ ‎【答案】（1）. （2）在和内单调递减，在和单调递增。‎ ‎【解析】试题分析：（1）由于是在这点处的切线，只需求出斜率及点坐标，利用点斜式写出切线方程。（2）对函数求导并因式分解，可求得单调区间在。‎ 试题解析：（1）∵，‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ 又，‎ 所以曲线. ‎ ‎（2）令，‎ ‎∴‎ 令，解得 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增。 ‎ 综上可知在和内单调递减，‎ 在和单调递增。‎ ‎【点睛】利用导数研究函数单调性的步骤 第一步：确定函数f(x)的定义域；‎ 第二步：求f′(x); ‎ 第三步：解方程f′(x)＝0在定义域内的所有实数根，考虑因式分解；‎ 第四步：将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间；‎ 第五步：确定f′(x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．‎ ‎20. 棱台的三视图与直观图如图所示.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析.（2）在的中点. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先根据三视图特征可得平面，为正方形，所以.再由即可得线面垂直从而得出面面垂直（2）直接建立空间坐标系写出各点坐标求出法向量，在根据向量的交角公式得出等式求出 解析：（1）根据三视图可知平面，为正方形，‎ 所以.‎ 因为平面，所以，‎ 又因为，所以平面.‎ 因为平面，所以平面平面.‎ ‎（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 根据三视图可知为边长为2的正方形，为边长为1的正方形，‎ 平面，且.‎ 所以，，，，.‎ 因为在上，所以可设.‎ 因为，所以 .‎ 所以，.‎ 设平面的法向量为，‎ 根据 令，可得，所以.‎ 设与平面所成的角为，‎ 所以 .‎ 所以，即点在的中点位置.‎ ‎21. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于（位于第一象限）两点.‎ ‎（1）若直线的斜率为，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，求四边形的面积； ‎ ‎（2）若，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）直线的方程为，与抛物线方程联立得，，从而得到四边形的面积；‎ ‎（2）直线：.设，，由化简可得，‎ ‎，，因为，所以，从而解得得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可得，又直线的斜率为，所以直线的方程为.‎ 与抛物线方程联立得，解之得，.‎ 所以点，的坐标分别为，.‎ 所以，，，‎ 所以四边形的面积为.‎ ‎（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线：.设，，‎ 由化简可得，‎ 所以，.‎ 因为，所以，‎ 所以 ，‎ 所以，即，解得.‎ 因为点位于第一象限，所以，则.‎ 所以的方程为.‎ ‎22. 已知函数，，其中.‎ ‎（1）试讨论函数的单调性及最值；‎ ‎（2）若函数不存在零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求得定义域，再求导得，再考虑导函数是否有零点，是否是有效零点。（2）函数，求导得 ，只需让函数的最大值小于0即可，要注意函数有渐近线。‎ 试题解析：（Ⅰ）由 得：‎ ‎ ‎ ‎⑴当时, 在单调递增，‎ 没有最大值，也没有最小值 ‎⑵若，‎ 当时, , 在单调递增 当时， , 在单调递减，‎ 所以当时， 取到最大值 没有最小值 ‎（Ⅱ） ‎ 由 ‎ 当 时, , 单调递增，‎ 当时， , 单调递减，‎ 所以当时 ， 取到最大值, ‎ 又 时， 有 ，‎ 所以要使没有零点，‎ 只需 ‎ 所以实数的取值范围是： (备注：其他解法，酌情给分) ‎ ‎【点睛】‎ 利用导数求函数的最值步骤:‎ 一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：‎ ‎（1）求在内的极值；‎ ‎（2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值