2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第一章 第1讲 集合及其运算
第1讲 集合及其运算
一、知识梳理
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋(或N*)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)
集合相等
集合A，B中元素相同
A＝B
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
常用结论
1．三种集合运算的性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
2．集合基本关系的四个结论
(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．
(2)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.空集只有一个子集，即它本身．
(3)集合的子集和真子集具有传递性：若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若AB，BC，则AC.
(4)含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
二、教材衍化
1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D
答案：B
2．集合A＝{x|x＝－y2＋6，x∈N，y∈N}的真子集的个数为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：选C.当y＝0时，x＝6；当y＝1时，x＝5；当y＝2时，x＝2；当y≥3时，x∉N，故集合A＝{2，5，6}，共含有3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.
3．已知集合A＝{1，3，－a2}，B＝{1，a＋2}，若B⊆A，则实数a＝________．
解析：因为B⊆A，所以a＋2＝3或a＋2＝－a2(此方程无实根)，所以a＝1，此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}．
答案：1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )
(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )
(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( )
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
二、易错纠偏
(1)忽视集合中元素的互异性致误；
(2)忽视空集的情况致误；
(3)忽视区间端点值致误．
1．已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________．
解析：因为B⊆A，所以m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3.
答案：0或3
2．已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
解析：易得M＝{2}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝.
答案：0或
3．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁RA)∪B＝________．
解析：由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，
(∁RA)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．
答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)
[学生用书P2]
集合的概念(自主练透)
1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．无数个
解析：选C.依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，
故B中有3个元素．
2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________．
解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.
答案：0或
3.已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为________．
解析：因为集合A中至少有3个元素，所以log2k＞4，所以k＞24＝16.
答案：(16，＋∞)
4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－.
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.
答案：－
求解与集合中的元素有关问题的注意事项
(1)如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．
集合的基本关系(典例迁移)
(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0
5}，试求m的取值范围．
解：因为B⊆A，
所以①当B＝∅时，2m－14.
综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
(1)判断两集合关系的方法
①对描述法表示的集合，把集合化简后，从表达式中寻找两集合间的关系；
②对于用列举法表示的集合，从元素中寻找关系．
(2)根据两集合间的关系求参数的方法
已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
[提醒] 空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．
1．(2020·西安模拟)设集合M＝{x|x2－x>0}，N＝，则( )
A．MN B．NM
C．M＝N D．M∪N＝R
解析：选C.集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N.故答案为C.
2．设M为非空的数集，M⊆{1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有( )
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
解析：选A.由题意知，M＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．
3．若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为________．
解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，
解得－2＜m＜2，符合题意；
②若1∈B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，此时B＝，不合题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)．
答案：[－2，2)
集合的基本运算(多维探究)
角度一 集合的运算
(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－40}，B＝{y|y≥2}，则(∁RA)∪B＝( )
A. B．∅
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
【解析】 (1)通解：因为N＝{x|－20}＝，所以∁RA＝，又B＝{y|y≥2}，所以(∁RA)∪B＝[0，＋∞)．故选C.
【答案】 (1)C (2)C
角度二 利用集合的运算求参数
(1)(2020·江西上饶重点中学六校联考)已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．
C. D．(1，＋∞)
(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．
(3)已知集合A＝{x|x2－x－12＞0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x＞4}，则实数m的取值范围是________．
【解析】 (1)由题意可得3a－1≥1，解得a≥，即实数a的数值范围是.故选C.
(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4.
(3)集合A＝{x|x＜－3或x＞4}，因为A∩B＝{x|x＞4}，所以－3≤m≤4.
【答案】 (1)C (2)4 (3)[－3，4]
(1)集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；
②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．
1．(2020·江西吉安一中、新余一中等八所中学联考)已知集合M＝[－1，1]，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则M∩N＝( )
A．[0，1] B．[－1，1]
C．[0，1) D．(0，1]
解析：选A.由于M＝[－1，1]，N＝{y|y＝x2，x∈M}，所以N＝[0，1]，所以M∩N＝[0，1]．故选A.
2.(2020·安徽宣城八校联考)如图，设全集U＝N，集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2，4} B．{7，8}
C．{1，3，5} D．{1，2，3，4，5}
解析：选A.由题图可知阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B，因为集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，U＝N，所以(∁UA)∩B＝{2，4}．故选A.
3．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝( )
A．{x|－1＜x＜0} B．{x|－1＜x≤0}
C．{x|0＜x＜2} D．{x|0≤x＜2}
解析：选B.因为函数y＝有意义，所以－x2－2x≥0，解得－2≤x≤0，所以集合B＝{x|－2≤x≤0}．又集合A＝{x|－1＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－1＜x≤0}．故选B.
[学生用书P4]
集合新定义问题中的核心素养
(1)(2020·河南南阳第一中学第十四次考试)定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为( )
A．1 B．0
C．－1 D．sin α＋cos α
(2)(2020·河北保定一模)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝( )
A．{x|00}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，1) B．(－2，1)
C．(－3，－1) D．(3，＋∞)
解析：选A.因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A.
3．(2020·河南许昌、洛阳三模)已知集合A＝{x|y＝}，B＝(0，1)，则A∩B＝( )
A．(0，1) B．(0，1]
C．(－1，1) D．[－1，1]
解析：选A.由题意得A＝[－1，1]，又B＝(0，1)，所以A∩B＝(0，1)．故选A.
4．设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，则( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
解析：选B.因为集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{奇数}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}＝{整数}，所以M⊆N.故选B.
5．(2020·广东湛江测试(二))已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C.因为A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，所以B＝{－1，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．所以集合A∩B的子集个数为22＝4.故选C.
6．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8
C．5 D．4
解析：选A.法一：由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为CC＝9，故选A.
法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.
7．已知x∈R，集合A＝{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，若A∩B＝{0，2}，则x＝( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析：选B.因为A＝{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，且A∩B＝{0，2}，
所以或
当x＝2时，B＝{0，2，4}，A∩B＝{0，2，4}(舍)；
当x＝0时，B＝{－2，0，2}，A∩B＝{0，2}．
综上，x＝0.故选B.
8．(2020·滁州模拟)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为( )
A．{1} B．{－1，1}
C．{1，0} D．{－1，1，0}
解析：选D.M＝{x|x2＝1}＝{－1，1}，当a＝0时，N＝∅，满足N⊆M，当a≠0时，因为N⊆M，所以＝－1或＝1，即a＝－1或a＝1.故选D.
9.(2020·太原模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2)
C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1]
解析：选C.因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.
10．(2020·福建厦门3月质量检查)已知集合A＝{x|x2－4x＋3>0}，B＝{x|x－a<0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选D.A＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，B＝{x|x－a<0}＝{x|x
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