专题22+函数与方程思想、数形结合思想（仿真押题）-2019年高考数学（理）命题猜想与仿真押题
1.直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于( )
A.或－ B.－或3
C.－3或 D.－3或3
解析 圆的方程(x－1)2＋y2＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径⇒＝⇒|＋m|＝2⇒m＝或m＝－3.
答案 C
2.已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是( )
A.5 B.7 C.9 D.10
解析 由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数.
又f(x)＝lg x，则x∈(0，10]，画出两函数图象，
则交点个数即为解的个数.
由图象可知共9个交点.
答案 C
3.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )
A.(－1，1) B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞)
解析 f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0，构造函数F(x)＝f(x)－2x，得F(x)在R上是增函数.
又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)＞2x＋4，
即F(x)＞4＝F(－1)，所以x＞－1.
答案 B
4.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A. B.2 C. D.2
解析 如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c.由题意知⊥，
∴O，A，C，B四点共圆.
∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，||＝.
答案 A
5.当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( )
A. B. C.(1，) D.(，2)
6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的面包个数为( )
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】易得中间的那份为20个面包，设最小一份的面包个数为a1，公差为d，根据题意，有[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝.
7．已知函数f(x)＝|x＋a|(a∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x2－1|的零点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C 【解析】当x∈(－∞，－a)时，函数f(x)单调递减；当x∈(－a，＋∞)时，函数f(x)单调递增．所以x＝－a为f(x)的最小值点，所以，当a≥0时，M(a)＝f(1)＝＝1＋a；当a<0时，
M(a)＝f(－1)＝＝－(－1＋a)＝1－a.所以M(x)＝ 在同一坐标系中画出y＝M(x)和y＝的图像，如图，由图可知两个函数图像有3个交点，所以函数g(x)有3个零点．
8．已知函数f为奇函数，g(x)＝f(x)＋1，若an＝g，则数列的前15项和为( )
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C 【解析】∵f为奇函数，∴函数y＝f(x)的图像关于点对称，则函数y＝g(x)
的图像关于点对称，故函数g(x)满足g(x)＋g(1－x)＝2.
设S＝g＋g＋…＋g，
倒序后得S＝g＋g＋…＋g，
两式相加得2S＝g＋g＋g＋g＋…＋g＋g＝15×2，
∴S＝15.故选C.
9.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′(x) >1，设a＝f(2)－1，b＝e[f(3)－1]，则a，b的大小关系为( )
A.a
b
C.a＝b D.无法确定
答案 A
解析 令g(x)＝exf(x)－ex，
则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0，
即g(x)在R上为增函数.
所以g(3)>g(2)，
即e3f(3)－e3>e2f(2)－e2，
整理得e[f(3)－1]>f(2)－1，即a0，b>0)的右焦点F作直线y＝－x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若＝2，则该双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
答案 C
解析 设F(c，0)，则直线AB的方程为y＝(x－c)，代入双曲线渐近线方程y＝－x，得A.由＝2，可得B，把B点坐标代入－＝1，得－＝1，
∴c2＝5a2，
∴离心率e＝＝.
13.记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3，13－x}的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
答案 C
所以f(x)max＝8.
14.已知函数f(x)＝|lg(x－1)|，若1＜a＜b且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围为( )
A.(3＋2，＋∞) B.[3＋2，＋∞)
C.(6，＋∞) D.[6，＋∞)
答案 C
解析 由图象可知b＞2，1＜a＜2，
∴－lg(a－1)＝lg(b－1)，
则a＝，
则a＋2b＝＋2b＝＝＝2(b－1)＋＋3，
由对勾函数的性质知，当b∈时，f(b)＝2(b－1)＋＋3单调递增，
∵b＞2，
∴a＋2b＝＋2b＞6.
15.已知函数f(x)＝若不等式f(x)≥mx恒成立，则实数m的取值范围为( )
A.[－3－2，－3＋2]
B.[－3＋2，0]
C.[－3－2，0]
D.(－∞，－3－2]∪[－3＋2，＋∞)
答案 C
解析 函数f(x)及y＝mx的图象如图所示，由图象可知，当m>0时，不等式f(x)≥mx不恒成立，设过原点的直线与函数f(x)＝x2－3x＋2(x<1)相切于点A(x0，x－3x0＋2)，因为f′(x0)＝2x0－3，所以该切线方程为y－(x－3x0＋2)＝(2x0－3)(x－x0)，因为该切线过原点，所以－(x－3x0＋2)＝－x0(2x0－3)，解得x0＝－，即该切线的斜率k＝－2－3.由图象得－2－3 ≤m≤0.故选C.
16.已知函数f(x)＝＋x＋sin x，若存在x∈[－2，1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)<0成立，则实数k的取值范围是( )
A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(－∞，－1)
答案 A
解析 由题意知函数f(x)＝＋x＋sin x的定义域为R，f(－x)＝＋(－x)＋sin(－x)＝－＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，且f′(x)＝＋1＋cos x>0在R上恒成立，即函数f(x)在R上单调递增.
若∃x0∈[－2，1]，使得f(x＋x0)＋f(x0－k)<0成立，
即f(x＋x0)<－f(x0－k)，
所以f(x＋x0)x＋2x0，令g(x)＝x2＋2x，x∈[－2，1].
则k>g(x)min＝g(－1)＝－1故实数k的取值范围是(－1，＋∞).
17.已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.
答案 2
解析 如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积V＝a2h＝，
故a2h＝32，即a2＝.
则其侧棱长为l＝＝.
令f(h)＝＋h2，则f′(h)＝－＋2h＝，
令f′(h)＝0，解得h＝2.
当h∈(0，2)时，f′(h)<0，f(h)单调递减；当h∈(2，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)单调递增，
所以当h＝2时，f(h)取得最小值f(2)＝＋22＝12，
故lmin＝＝2.
18.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
答案 (0，2)
解析 由f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，
可得|2x－2|＝b有两个不等的实根，
从而可得函数y1＝|2x－2|的图象与函数y2＝b的图象有两个交点，如图所示.
结合函数的图象，可得00)，若两条曲线没有公共点，则r的取值范围是______________.
答案 (0，1)∪
解析 方法一 联立C1和C2的方程，消去x，
得到关于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0，①
方程①可变形为r2＝－y2＋2y＋10，
把r2＝－y2＋2y＋10看作关于y的函数.
由椭圆C1可知，－2≤y≤2，
因此，求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合，等价于在定义域为y∈[－2，2]的情况下，求函数r2＝f(y)＝－y2＋2y＋10的值域.
由f(－2)＝1，f(2)＝9，f ＝，
可得f(y)的值域为，即r∈，
它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合，因此，两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0，1)∪.
方法二 联立C1和C2的方程消去x，得到关于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0.①
两条曲线没有公共点，等价于方程－y2＋2y＋10－r2＝0要么没有实数根，要么有两个根y1，y2∉[－2，2].
若没有实数根，则Δ＝4－4××(10－r2)<0，
解得r>或r<－.
若两个根y1，y2∉[－2，2]，设φ(y)＝－y2＋2y＋10－r2，
其图象的对称轴方程为y＝∈[－2，2].
则又r>0，解得00，
故φ(x)在上单调递增，
所以φ(x)≥φ＝－>0.
因此g′(x)>0，
故g(x)在上单调递增，
则g(x)≥g＝＝2－，
所以a－＝2－，
解得a＝2，
所以a的取值集合为{2}.
21．设实数x，y满足则使不等式x2＋≤λ有解的实数λ的最小值为________．
【答案】 【解析】令x2＋＝t(t>0)，当椭圆x2＋＝t与线段x＋y＝1(0≤x≤1，0≤y≤1)相切时，t最小．联立消去y得3x2－2x＋1－2t＝0，由Δ＝0，得t＝.
当t＝时，易得切点坐标为，满足题意，
故λ≥，所以实数λ的最小值为.
22．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，asin A－bsin B＝(a－c)sin C，M是BC的中点且AM＝2 ，则BC＋AB的最大值是________．
【答案】4 【解析】由正弦定理和asin A－bsin B＝(a－c)sin C，得a2－b2＝(a－c)c，即a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝，所以B＝60°.在△ABM中，设∠BAM＝θ(0°<θ<120°)，根据正弦定理得＝，所以BC＝2BM＝8sin θ.又＝，所以AB＝4sin(120°－θ)，
所以BC＋AB＝8sin θ＋4sin(120°－θ)＝10sin θ＋2 cos θ＝4 sin(θ＋φ)其中tan φ＝，所以BC＋AB的最大值为4 .
23．函数f(x)＝若方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________________．
【答案】
【解析】方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根可化为函数f(x)＝与函数y＝mx－的图像有四个不同的交点，
作函数f(x)＝的图像，如图所示．
由题意，C，B(1，0)，故kBC ＝.
当x＞1时，f(x)＝ln x，f′(x)＝，
设切点A的坐标为(x1，ln x1)，则＝，
解得x1＝，故kAC ＝.
结合图像可得，实数m的取值范围是.
24．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，非常数等比数列{bn}的公比是q，且a1＝2， b1＝1，S2＝3b2，a2＝b3.
(1)求an与bn；
(2)设cn＝2bn－λ·3，若数列{cn}是递减数列，求实数λ的取值范围．
【解析】(1)由已知可得所以q2－3q＋2＝0，
解得q＝2或q＝1(舍)，从而a2＝4，所以an＝2n，bn＝2n－1.
(2)由(1)知，cn＝2n－λ·3n.
由题意，得cn＋12n恒成立，
即λ>·恒成立．
从图(2)看出，若方程F(x)＝a2有四个解，则＜a2＜2a，得
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