- 2021-04-22 发布 |
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文档介绍
高考数学专题讲义数列综合
第八讲 数列综合 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.(宁夏)已知成等比数列,且曲线的顶点是,则等于( B ) A.3 B.2 C.1 D. 2.(江西)已知等差数列的前项和为,若,则 .7 3.(辽宁卷) 在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于 A. B. C. D. 【解析】因数列为等比,则,因数列也是等比数列, 则 即,所以,故选择答案C。 4.(湖南)设集合, 都是的含两个元素的子集,且满足:对任意的,(,),都有(表示两个数中的较小者),则的最大值是( B ) A.10 B.11 C.12 D.13 5.(陕西卷) 已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an . 解析:解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时,a3=12, a15=72, 有a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3. 6.(广东卷)已知公比为的无穷等比数列各项的和为9,无穷等比数列各项的和为. (I)求数列的首项和公比; (II)对给定的,设是首项为,公差为的等差数列,求的前10项之和; 解: (Ⅰ)依题意可知, (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差, ,即数列的前10项之和为155. ★★★高考要考什么 本章主要涉及等差(比)数列的定义、通项公式、前n项和及其性质,数列的极限、无穷等比数列的各项和.同时加强数学思想方法的应用,是历年的重点内容之一,近几年考查的力度有所增加,体现高考是以能力立意命题的原则. 高考对本专题考查比较全面、深刻,每年都不遗漏.其中小题主要考查 间相互关系,呈现“小、巧、活”的特点;大题中往往把等差(比)数列与函数、方程与不等式,解析几何 等知识结合,考查基础知识、思想方法的运用,对思维能力要求较高,注重试题的综合性,注意分类讨论. 高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起,再加以导数和向量等新增内容,使数列综合题新意层出不穷.常见题型: (1)由递推公式给出数列,与其他知识交汇,考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力. (2)给出Sn与an的关系,求通项等,考查等价转化的数学思想与解决问题能力. (3)以函数、解析几何的知识为载体,或定义新数列,考查在新情境下知识的迁移能力. 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用,注意不等式型的递推数列. ★ ★★ 突 破 重 难 点 【范例1】已知数列,满足,,且() (I)令,求数列的通项公式; (II)求数列的通项公式及前项和公式. 解:(I)由题设得,即() 易知是首项为,公差为2的等差数列,通项公式为. (II)解:由题设得,令,则. 易知是首项为,公比为的等比数列,通项公式为. 由解得 , 求和得. 【变式】(文)在等差数列中,,前项和满足条件, (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)记,求数列的前项和。 解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,由得:,所以,即,又=,所以。 (Ⅱ)由,得。所以, 当时,; 当时, , 即。 (理)已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。 (Ⅰ)、求数列的通项公式; (Ⅱ)、设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m; 解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因为点均在函数的图像上,所以=3n2-2n. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5. 当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 () (Ⅱ)由(Ⅰ)得知==, 故Tn===(1-). 因此,要使(1-)<()成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10. 【范例2】已知函数,是方程f(x)=0的两个根,是f(x)的导数;设,(n=1,2,……) (1)求的值; (2)证明:对任意的正整数n,都有>a; (3)记(n=1,2,……),求数列{bn}的前n项和Sn。 解析:(1)∵,是方程f(x)=0的两个根,∴ ; (2), =,∵,∴有基本不等式可知(当且仅当时取等号),∴同,样,……,(n=1,2,……), (3),而,即, ,同理,,又 【文】已知函数,、是方程的两个根(),是的导数 设,,. (1)求、的值; (2)已知对任意的正整数有,记,.求数列{}的前项和. 解、(1) 由 得 (2) 又 数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列; 【变式】对任意函数f(x),x∈D,可按图示3—2构造一个数列发生器,其工作原理如下: ①输入数据x0∈D,经数列发生器输出x1=f(x0); ②若x1D,则数列发生器结束工作;若x1∈D,则将x1反馈回输入端,再输出x2=f(x1),并依此规律继续下去. 现定义f(x)=. (Ⅰ)若输入x0=,则由数列发生器产生数列{xn}.请写出数列{xn}的所有项; (Ⅱ)若要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据x0的值; (Ⅲ)(理)若输入x0时,产生的无穷数列{xn}满足:对任意正整数n,均有xn<xn+1,求x0的取值范围. 解:(Ⅰ)∵f(x)的定义域D=(-∞-1)∪(-1,+∞) ∴数列{xn}只有三项x1=,x2=,x3=-1 (Ⅱ)∵f(x)==x即x2-3x+2=0,∴x=1或x=2 即x0=1或2时,xn+1==xn,故当x0=1时,x0=1;当x0=2时,xn=2(n∈N) (Ⅲ)解不等式x<,得x<-1或1<x<2,要使x1<x2,则x2<-1或1<x1<2 对于函数f(x)=。若x1<-1,则x2=f(x1)>4,x3=f(x2)<x2 当1<x1<2时,x2=f(x)>x1且1<x2<2依次类推可得数列{xn}的所有项均满足xn+1>xn(n∈N) 综上所述,x1∈(1,2),由x1=f(x0),得x0∈(1,2) 【范例3】已知()是曲线上的点,,是数列的前项和,且满足,,…. (I)证明:数列()是常数数列; (II)确定的取值集合,使时,数列是单调递增数列; (III)证明:当时,弦()的斜率随单调递增 解:(I)当时,由已知得. 因为,所以. …… ① 于是. ……② 由②-①得. …… ③ 于是. …… ④ 由④-③得, …… ⑤ 所以,即数列是常数数列. (II)由①有,所以.由③有,,所以,.而 ⑤表明:数列和分别是以,为首项,6为公差的等差数列, 所以,,, 数列是单调递增数列且对任意的成立. 且 . 即所求的取值集合是. (III)解法一:弦的斜率为 任取,设函数,则 记,则, 当时,,在上为增函数, 当时,,在上为减函数, 所以时,,从而,所以在和上都是增函数. 由(II)知,时,数列单调递增, 取,因为,所以. 取,因为,所以. 所以,即弦的斜率随单调递增. 解法二:设函数,同解法一得,在和上都是增函数, 所以,. 故,即弦的斜率随单调递增. 【文】设是数列()的前项和,,且,,.(I)证明:数列()是常数数列; (II)试找出一个奇数,使以18为首项,7为公比的等比数列( )中的所有项都是数列中的项,并指出是数列中的第几项. 解:(I)当时,由已知得. 因为,所以. …………………………① 于是. …………………………………………………② 由②-①得:.……………………………………………③ 于是.……………………………………………………④ 由④-③得:.…………………………………………………⑤ 即数列()是常数数列. (II)由①有,所以. 由③有,所以, 而⑤表明:数列和分别是以,为首项,6为公差的等差数列. 所以,,. 由题设知,.当为奇数时,为奇数,而为偶数,所以不是数列中的项,只可能是数列中的项. 若是数列中的第项,由得,取,得,此时,由,得,,从而是数列中的第项. (注:考生取满足,的任一奇数,说明是数列中的第项即可) 【变式】(文)已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中=1,2,3,… (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2) 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求Tn及数列{an}的通项; (1) 记bn=,求{bn}数列的前项和Sn,并证明Sn+=1. 解:(Ⅰ)由已知, ,两边取对数得 ,即 是公比为2的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 (*) = 由(*)式得 (Ⅲ) 又 又 (理)在数列中,,其中. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)求数列的前项和; (Ⅲ)证明存在,使得对任意均成立. (Ⅰ)解法一:, , . 由此可猜想出数列的通项公式为. 以下用数学归纳法证明. (1)当时,,等式成立. (2)假设当时等式成立,即, 那么 . 这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何都成立. 解法二:由,, 可得, 所以为等差数列,其公差为1,首项为0,故,所以数列的通项公式为. (Ⅱ)解:设, ① ② 当时,①式减去②式, 得, . 这时数列的前项和. 当时,.这时数列的前项和. (Ⅲ)证明:通过分析,推测数列的第一项最大,下面证明: . ③ 由知,要使③式成立,只要, 因为 . 所以③式成立. 因此,存在,使得对任意均成立.查看更多