高考数学专题讲义数列综合

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高考数学专题讲义数列综合

第八讲 数列综合 ‎ ‎★★★高考在考什么 ‎【考题回放】‎ ‎1.(宁夏)已知成等比数列,且曲线的顶点是,则等于( B )‎ A.3 B.2 C.1 D.‎ ‎2.(江西)已知等差数列的前项和为,若,则 .7‎ ‎3.(辽宁卷) 在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于 A. B. C. D.‎ ‎【解析】因数列为等比,则,因数列也是等比数列,‎ 则 即,所以,故选择答案C。‎ ‎4.(湖南)设集合, 都是的含两个元素的子集,且满足:对任意的,(,),都有(表示两个数中的较小者),则的最大值是( B )‎ A.10 B.‎11 C.12 D.13‎ ‎5.(陕西卷) 已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an .‎ 解析:解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴‎10a1=a12+‎5a1+6,解之得a1=2或a1=3. ‎ 又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② ‎ ‎ 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ‎ ‎∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). ‎ 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;‎ 当a1=2时,a3=12, a15=72, 有a32=a‎1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3.‎ ‎6.(广东卷)已知公比为的无穷等比数列各项的和为9,无穷等比数列各项的和为.‎ ‎(I)求数列的首项和公比;‎ ‎(II)对给定的,设是首项为,公差为的等差数列,求的前10项之和;‎ 解: (Ⅰ)依题意可知,‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,‎ ‎,即数列的前10项之和为155.‎ ‎★★★高考要考什么 本章主要涉及等差(比)数列的定义、通项公式、前n项和及其性质,数列的极限、无穷等比数列的各项和.同时加强数学思想方法的应用,是历年的重点内容之一,近几年考查的力度有所增加,体现高考是以能力立意命题的原则.‎ 高考对本专题考查比较全面、深刻,每年都不遗漏.其中小题主要考查 间相互关系,呈现“小、巧、活”的特点;大题中往往把等差(比)数列与函数、方程与不等式,解析几何 等知识结合,考查基础知识、思想方法的运用,对思维能力要求较高,注重试题的综合性,注意分类讨论.‎ 高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起,再加以导数和向量等新增内容,使数列综合题新意层出不穷.常见题型:‎ ‎(1)由递推公式给出数列,与其他知识交汇,考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力.‎ ‎(2)给出Sn与an的关系,求通项等,考查等价转化的数学思想与解决问题能力.‎ ‎(3)以函数、解析几何的知识为载体,或定义新数列,考查在新情境下知识的迁移能力.‎ 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用,注意不等式型的递推数列.‎ ★ ‎★★ 突 破 重 难 点 ‎【范例1】已知数列,满足,,且()‎ ‎(I)令,求数列的通项公式;‎ ‎(II)求数列的通项公式及前项和公式.‎ 解:(I)由题设得,即()‎ 易知是首项为,公差为2的等差数列,通项公式为.‎ ‎(II)解:由题设得,令,则.‎ 易知是首项为,公比为的等比数列,通项公式为. 由解得 ‎, 求和得.‎ ‎【变式】(文)在等差数列中,,前项和满足条件, ‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记,求数列的前项和。‎ 解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,由得:,所以,即,又=,所以。‎ ‎(Ⅱ)由,得。所以,‎ 当时,;‎ 当时,‎ ‎,‎ 即。‎ ‎(理)已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。‎ ‎(Ⅰ)、求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)、设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;‎ 解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.‎ 又因为点均在函数的图像上,所以=3n2-2n.‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5.‎ 当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 ()‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得知==,‎ 故Tn===(1-).‎ 因此,要使(1-)<()成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.‎ ‎【范例2】已知函数,是方程f(x)=0的两个根,是f(x)的导数;设,(n=1,2,……)‎ ‎ (1)求的值;‎ ‎ (2)证明:对任意的正整数n,都有>a;‎ ‎(3)记(n=1,2,……),求数列{bn}的前n项和Sn。‎ 解析:(1)∵,是方程f(x)=0的两个根,∴‎ ‎;‎ ‎ (2),‎ ‎=,∵,∴有基本不等式可知(当且仅当时取等号),∴同,样,……,(n=1,2,……),‎ ‎ (3),而,即,‎ ‎,同理,,又 ‎【文】已知函数,、是方程的两个根(),是的导数 设,,.‎ ‎(1)求、的值;‎ ‎(2)已知对任意的正整数有,记,.求数列{}的前项和.‎ 解、(1) 由 得 ‎ ‎ (2) ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列;‎ ‎ ‎ ‎【变式】对任意函数f(x),x∈D,可按图示3—2构造一个数列发生器,其工作原理如下:‎ ‎①输入数据x0∈D,经数列发生器输出x1=f(x0);‎ ‎②若x1D,则数列发生器结束工作;若x1∈D,则将x1反馈回输入端,再输出x2=f(x1),并依此规律继续下去.‎ 现定义f(x)=.‎ ‎(Ⅰ)若输入x0=,则由数列发生器产生数列{xn}.请写出数列{xn}的所有项;‎ ‎(Ⅱ)若要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据x0的值;‎ ‎(Ⅲ)(理)若输入x0时,产生的无穷数列{xn}满足:对任意正整数n,均有xn<xn+1,求x0的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)∵f(x)的定义域D=(-∞-1)∪(-1,+∞)‎ ‎∴数列{xn}只有三项x1=,x2=,x3=-1‎ ‎(Ⅱ)∵f(x)==x即x2-3x+2=0,∴x=1或x=2‎ 即x0=1或2时,xn+1==xn,故当x0=1时,x0=1;当x0=2时,xn=2(n∈N)‎ ‎(Ⅲ)解不等式x<,得x<-1或1<x<2,要使x1<x2,则x2<-1或1<x1<2‎ 对于函数f(x)=。若x1<-1,则x2=f(x1)>4,x3=f(x2)<x2‎ 当1<x1<2时,x2=f(x)>x1且1<x2<2依次类推可得数列{xn}的所有项均满足xn+1>xn(n∈N)‎ 综上所述,x1∈(1,2),由x1=f(x0),得x0∈(1,2)‎ ‎【范例3】已知()是曲线上的点,,是数列的前项和,且满足,,….‎ ‎(I)证明:数列()是常数数列;‎ ‎(II)确定的取值集合,使时,数列是单调递增数列;‎ ‎(III)证明:当时,弦()的斜率随单调递增 解:(I)当时,由已知得.‎ 因为,所以. …… ①‎ 于是. ……②‎ 由②-①得. …… ③‎ 于是. …… ④‎ 由④-③得, …… ⑤‎ 所以,即数列是常数数列.‎ ‎(II)由①有,所以.由③有,,所以,.而 ⑤表明:数列和分别是以,为首项,6为公差的等差数列,‎ 所以,,,‎ 数列是单调递增数列且对任意的成立.‎ 且 ‎.‎ 即所求的取值集合是.‎ ‎(III)解法一:弦的斜率为 任取,设函数,则 记,则,‎ 当时,,在上为增函数,‎ 当时,,在上为减函数,‎ 所以时,,从而,所以在和上都是增函数.‎ 由(II)知,时,数列单调递增,‎ 取,因为,所以.‎ 取,因为,所以.‎ 所以,即弦的斜率随单调递增.‎ 解法二:设函数,同解法一得,在和上都是增函数,‎ 所以,.‎ 故,即弦的斜率随单调递增.‎ ‎【文】设是数列()的前项和,,且,,.(I)证明:数列()是常数数列;‎ ‎(II)试找出一个奇数,使以18为首项,7为公比的等比数列(‎ ‎)中的所有项都是数列中的项,并指出是数列中的第几项.‎ 解:(I)当时,由已知得.‎ 因为,所以. …………………………①‎ 于是. …………………………………………………②‎ 由②-①得:.……………………………………………③‎ 于是.……………………………………………………④‎ 由④-③得:.…………………………………………………⑤‎ 即数列()是常数数列.‎ ‎(II)由①有,所以.‎ 由③有,所以,‎ 而⑤表明:数列和分别是以,为首项,6为公差的等差数列.‎ 所以,,.‎ 由题设知,.当为奇数时,为奇数,而为偶数,所以不是数列中的项,只可能是数列中的项.‎ 若是数列中的第项,由得,取,得,此时,由,得,,从而是数列中的第项.‎ ‎(注:考生取满足,的任一奇数,说明是数列中的第项即可)‎ ‎【变式】(文)已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中=1,2,3,…‎ (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列;‎ (2) 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求Tn及数列{an}的通项;‎ (1) 记bn=,求{bn}数列的前项和Sn,并证明Sn+=1.‎ 解:(Ⅰ)由已知, ‎ ‎ ,两边取对数得 ‎,即 是公比为2的等比数列.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知 (*)‎ ‎ =‎ ‎ 由(*)式得 ‎(Ⅲ) ‎ 又 ‎ ‎ 又 ‎(理)在数列中,,其中.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前项和;‎ ‎(Ⅲ)证明存在,使得对任意均成立.‎ ‎(Ⅰ)解法一:,‎ ‎,‎ ‎.‎ 由此可猜想出数列的通项公式为.‎ 以下用数学归纳法证明.‎ ‎(1)当时,,等式成立.‎ ‎(2)假设当时等式成立,即,‎ 那么 ‎.‎ 这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何都成立.‎ 解法二:由,,‎ 可得,‎ 所以为等差数列,其公差为1,首项为0,故,所以数列的通项公式为.‎ ‎(Ⅱ)解:设,   ①‎ ‎        ②‎ 当时,①式减去②式,‎ 得,‎ ‎.‎ 这时数列的前项和.‎ 当时,.这时数列的前项和.‎ ‎(Ⅲ)证明:通过分析,推测数列的第一项最大,下面证明:‎ ‎.    ③‎ 由知,要使③式成立,只要,‎ 因为 ‎.‎ 所以③式成立.‎ 因此,存在,使得对任意均成立.‎
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