中考压轴题专题分类讲座七探究操作性问题

中考压轴题专题分类讲座七探究操作性问题

探究、操作性问题 ‎【知识纵横】‎ ‎ 探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。‎ ‎【典型例题】‎ ‎【例1】（江苏镇江)探索研究 如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一 点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．‎ ‎（1）求证：点为线段的中点； ‎ ‎（2）求证：①四边形为平行四边形； ②平行四边形为菱形；‎ x l Q C P A O B H R y ‎（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由． ‎ ‎【思路点拨】（2）①证；②设，证AP=PQ;（3）求直线的解析式与抛物线方程组成联立方程组，讨论方程组解的情况。‎ ‎【例2】（福建南平）‎ ‎（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．‎ ‎①如图1，求证：；‎ ‎ ②探究：如图1， ；‎ 如图2， ；‎ 如图3， ．‎ ‎（2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点．‎ ‎①猜想：如图4， （用含的式子表示）；‎ ‎②根据图4证明你的猜想．‎ ‎【思路点拨】（2）②由正边形的内角定理，证。‎ ‎【例3】（内江市）‎ 在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km，．现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水．‎ 方案设计 某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）．‎ A B P l l A B P C 图13-1‎ 图13-2‎ l A B P C 图13-3‎ K 观察计算 ‎（1）在方案一中， km（用含的式子表示）；‎ ‎（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算， km（用含的式子表示）．‎ 探索归纳 ‎（1）①当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；‎ ‎②当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；‎ 方法指导 当不易直接比较两个正数与的大小时，可以对它们的平方进行比较：‎ ‎，，‎ 与的符号相同．‎ 当时，，即；‎ 当时，，即；‎ 当时，，即；‎ ‎（2）请你参考右边方框中的方法指导，‎ 就（当时）的所有取值情况进 行分析，要使铺设的管道长度较短，‎ 应选择方案一还是方案二？‎ ‎【思路点拨】参考方法指导解答探索 归纳（2）。‎ ‎【例4】（浙江宁波）如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸的短边长为．‎ ‎（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：‎ 第一步 将矩形的短边与长边对齐折叠，点落在上的点处，铺平后得折痕；‎ 第二步 将长边与折痕对齐折叠，点正好与点重合，铺平后得折痕．‎ 则的值是 ，的长分别是 ， ．‎ ‎（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．‎ ‎（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“”型图案，它的四个顶点分别在“16开”纸的边上，求的长．‎ ‎（4）已知梯形中，，，，且四个顶点都在“4开”‎ 纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．‎ A B C D B C A D E G H F F E ‎4开 ‎2开 ‎8开 ‎16开 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎（第26题）‎ a ‎【思路点拨】（3）证,，设，建立关于x的方程解之；（4）参考图3分二类情形讨论。‎ ‎【学力训练】‎ ‎1、（山东聊城）探索研究：如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪 去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．‎ ‎（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？‎ ‎（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；‎ ‎（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．‎ ‎2、（山东枣庄）把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点，与D1E1相交于点F．‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）求线段AD1的长；‎ ‎（3）若把三角形D1CE1绕着点顺时针再旋转30°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2‎ 的内部、外部、还是边上？说明理由．‎ B ‎（乙）‎ A E11‎ C D11‎ O F ‎（甲）‎ A C E D B ‎3、（江苏盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．‎ 解答下列问题：‎ ‎（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．‎ ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置 关系为 ▲ ，数量关系为 ▲ ．‎ 第28题图 图甲 图乙 图丙 ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？‎ ‎ ‎ ‎（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．‎ 试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）‎ ‎（3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF 相交于点P，求线段CP长的最大值．‎ ‎ 4、（07丽水市）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形的边落在轴的正半轴上，且∥，，=4，=6，=8．正方形的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形面积．将正方形沿轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形的重叠部分面积为．‎ ‎（1）分析与计算：‎ 求正方形的边长；‎ ‎（2）操作与求解：‎ ‎①正方形平行移动过程中，通过操作、观察，试判断（＞0）的变化情况是 ；‎ A．逐渐增大 B．逐渐减少 C．先增大后减少 D．先减少后增大 ‎②当正方形顶点移动到点时，求的值；‎ ‎（3）探究与归纳：‎ ‎（备用图）‎ A B C A B C O D E F 设正方形的顶点向右移动的距离为，求重叠部分面积与的函数关系式．‎ 参考答案 ‎【典型例题】‎ ‎ 【例1】（江苏镇江)（1）由题可知．‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎，即为的中点．‎ ‎（2）①由（1）可知，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎，‎ 又，四边形为平行四边形．‎ ‎②设，轴，则，则．‎ 过作轴，垂足为，在中，‎ ‎．‎ 平行四边形为菱形．‎ ‎（3）设直线为，由，得，代入得：‎ ‎ 直线为．‎ 设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：‎ ‎，，解得．得公共点为．‎ 所以直线与抛物线只有一个公共点． ‎ ‎【例2】（福建南平）‎ ‎（1）①证法一：与均为等边三角形，‎ ‎，‎ 且 ‎，‎ 即 ‎．‎ ‎②，，．‎ ‎（2）①‎ ‎②证法一：依题意，知和都是正边形的内角，，，‎ ‎，即．‎ ‎．‎ ‎，， 13分 ‎，‎ ‎【例3】（内江市）‎ 观察计算 ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ 探索归纳 ‎（1）①；②；‎ ‎（2）．‎ ‎①当，即时，，．；‎ ‎②当，即时，，．；‎ ‎③当，即时，，．．‎ 综上可知：当时，选方案二；‎ 当时，选方案一或方案二；‎ 当（缺不扣分）时，选方案一．‎ ‎【例4】（浙江宁波）‎ ‎（1）． （2）相等，比值为．‎ ‎（3）设，‎ 在矩形中，，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 同理．‎ ‎， ， ．‎ ‎， ，解得．即．‎ ‎（4）， ．‎ ‎【学力训练】‎ ‎1、（山东聊城）（1）设正方形的边长为cm，则 图1‎ 图2‎ ‎．‎ 即．‎ 解得（不合题意，舍去），．‎ 剪去的正方形的边长为1cm．‎ ‎（注：通过观察、验证直接写出正确结果给3分）‎ ‎（2）有侧面积最大的情况．‎ 设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，‎ 则与的函数关系式为：‎ ‎．‎ 即．‎ 改写为．‎ 当时，．‎ 即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积 最大为40.5cm2．‎ ‎（3）有侧面积最大的情况．‎ 设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2．‎ 若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：‎ ‎．‎ 即．‎ 当时，．‎ 若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：‎ ‎．‎ 即．‎ 当时，．‎ 比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2．‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2、（山东枣庄） ‎ ‎（1）如图所示，，，‎ ‎∴．　　又，‎ ‎∴． ‎ ‎（2），∴∠D1FO=60°．‎ ‎，∴． ‎ ‎　又，，∴．‎ ‎，∴．‎ 又，∴．‎ 在中，．‎ ‎（3）点在内部． ‎ 理由如下：设（或延长线）交于点P，则．‎ 在中，， ‎ ‎，即，∴点在内部． ‎ ‎3、（江苏盐城）（1）①CF与BD位置关系是 垂 直、数量关系是相 等；‎ ‎②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．‎ 图丁 由正方形ADEF得 AD=AF ，∠DAF=90º．‎ ‎∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC，‎ 又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD 　　　　‎ ‎ ∠ACF=∠ABD．‎ ‎∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，‎ ‎∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD ‎（2）画图正确　　　　　　　‎ 当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图丁）．‎ ‎ 理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ‎ ‎∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF⊥BD 图戊 ‎（3）当具备∠BCA=45º时，‎ 过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）‎ ‎∵DE与CF交于点P时， ∴此时点D位于线段CQ上，‎ ‎∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴ DQ=4—x，‎ 容易说明△AQD∽△DCP，∴ ， ∴，‎ ‎． ‎ ‎∵0＜x≤3 ∴当x=2时，CP有最大值1‎ A B C O D E F M N ‎（如图①）‎ ‎4、（07丽水市）（1）∵，‎ ‎ 设正方形的边长为，‎ ‎ ∴，或（舍去）．‎ ‎（2）．‎ ‎ ．‎ ‎（3）①当0≤＜4时，重叠部分为三角形，如图①． ‎ ‎ 可得△∽△，‎ A B C O D E F ‎（如图②）‎ ‎ ∴，=．‎ ‎ ∴．‎ ‎ ②当4≤＜6时，重叠部分为直角梯形，如图②．‎ ‎ ． ‎ ‎ ③当6≤＜8时，重叠部分为五边形，如图③． ‎ A B C O D E F M ‎（如图③）‎ ‎ 可得，，．‎ ‎ =．‎ ‎ ④当8≤＜10时，重叠部分为五边形，如图④．‎ ‎ =．‎ ‎⑤当10≤≤14时，重叠部分为矩形，如图⑤．‎ A B C O D E F ‎（如图⑤）‎ ‎．‎ A O B C D E F M ‎（如图④）‎ O