2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二（理科实验班）上学期第二次月考数学试题

2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二（理科实验班）上学期第二次月考数学试题

‎2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二（理科实验班）上学期第二次月考 数学（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第二次月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.设a∈R，则“a2＞1”是“a3＞1”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎2.已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（　　）‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎3.函数y=x2cosx的导数为（　　）‎ A．y′=2xcosx﹣x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinx C．y′=x2cosx﹣2xsinx D．y′=xcosx﹣x2sinx ‎4.已知命题p：任意x∈R，sinx≤1，则（　　）‎ A．￢p：存在x∈R，sinx≥1‎ B．￢p：任意x∈R，sinx≥1‎ C．￢p：存在x∈R，sinx＞1 ‎ D．￢p：任意x∈R，sinx＞1‎ ‎5.平面内有两个定点F1（﹣5，0）和F2（5，0），动点P满足条件|PF1|﹣|PF2|=6，则动点P的轨迹方程是（　　）‎ A．﹣=1（x≤﹣4） B．﹣=1（x≤﹣3）‎ C．﹣=1（x＞≥4） D．﹣=1（x≥3）‎ ‎6.已知直线y=k（x﹣2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，若|AB|=9，则k=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.当x∈[﹣2，﹣1]，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣5，﹣3] B．（﹣∞，﹣] ‎ C．（﹣∞，﹣2] D．[﹣4，﹣3]‎ ‎8.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，若直线y=﹣（x+）与椭圆交于点M，满足∠MF1F2=∠MF2F1，则离心率是（　　）‎ A． B．﹣1 C． D．‎ ‎9.过双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长FM交双曲线C1于点N，若点M为线段FN的中点，则双曲线C1的离心率为（　　）‎ A． B． C． +1 D．‎ ‎10.已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、c、d为常数），当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，则（b+）2+（c﹣3）2的取值范围是（　　）‎ A．（，5） B．（，5） ‎ C．（，25） D．（5，25）‎ ‎11.设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，） B．[，5] ‎ C．（﹣∞，﹣3] D．（﹣∞，5]‎ ‎12.已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，] B．（﹣∞，]‎ C．（，2） D．[，）‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=4，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为　 　．‎ ‎14.已知四面体ABCD的顶点都在同一个球的球面上，BC=，BD=4，且满足BC⊥BD，AC⊥BC，AD⊥BD．若该三棱锥的体积为，则该球的球面面积为　 　．‎ ‎15.已知AB是椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴，若把该长轴2010等分，过每个等分点作AB的垂线，依次交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P2009，设左焦点为F1，则（|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P2009|+|F1B|）=　 　．‎ ‎16.如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为　 　．‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 设命题p：“∀x∈R，x2+2x＞m”；命题q：“∃x0∈R，使”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数m的取值范围．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 如图，在直三棱锥A1B1C1﹣ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．‎ ‎（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；‎ ‎（2）求平面ADC1与平面A1BA所成的二面角（是指不超过90°的角）的余弦值．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，点是棱的中点，平面与棱交于点．‎ ‎（）求证：．‎ ‎（）若，且平面平面，‎ 求①二面角的锐二面角的余弦值．‎ ‎②在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角等于，若存在，确定的位置，若不存在，说明理由．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 已知动点P到点A（﹣2，0）与点B（2，0）的斜率之积为﹣，点P的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）过点D（1，0）作直线l与曲线C交于P，Q两点，连接PB，QB分别与直线x=3交于M，N两点．若△BPQ和△BMN的面积相等，求直线l的方程．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数f（x）=ax3+x，g（x）=x2+px+q．‎ ‎（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，函数F（x）=f'（x）g（x）（其中f'（x）为函数f（x）的导数）的图象关于直线x=﹣1对称，求函数F（x）单调区间；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对任意的x≥1，都有g（x）≥（6+λ）x﹣λlnx+3恒成立，求实数λ的取值范围．‎ ‎22.（本题满分12分）‎ 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）是否存在点E，使得为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．‎ 衡阳八中2017年下期高二年级理科实验班第二次月考数学参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D A C D D C B A D C A ‎13.30°‎ ‎14.23π ‎15.‎ ‎16.‎ ‎17.‎ 当P真时，∀x∈R，x2+2x＞m，‎ 有△=4+4m＜0，解得m＜﹣1．…（2分）‎ 当q真时，∃x0∈R，使，‎ 所以△=4m2﹣4（2﹣m）≥0，解得m≤﹣2，或m≥1 …（4分）‎ 又因为“p∨q”为真，“p∧q”为假，所以p，q一真一假，…（5分）‎ 当p真q假时，﹣2＜m＜﹣1…（7分）‎ 当p假q真时，m≥1…（9分）‎ 所以实数a的取值范围是（﹣2，﹣1）∪[1，+∞）．…（10分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.（1）以{，， }为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，‎ 则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），‎ A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），‎ ‎∴=（2，0，﹣4），=（1，﹣1，﹣4），‎ ‎∴cos＜，＞===，‎ ‎∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（6分）‎ ‎（2）是平面ABA1的一个法向量，‎ 设平面ADC1的法向量为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，‎ ‎∴平面ADC1的法向量为=（2，﹣2，1），（9分）‎ 设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，‎ ‎∴cosθ=|cos＜，＞|=||=，‎ ‎∴平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值为：．（12分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.‎ ‎（）证明：∵，平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，且平面平面，‎ ‎∴。（3分）‎ ‎（）①取的中点，连接，，，‎ ‎∵是菱形，且，，‎ ‎∴，是等边三角形，‎ ‎∴，，‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ 以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系，则：‎ ‎，，，，，，．‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，则：‎ ‎，∴，‎ 令得：；‎ ‎∵平面，‎ ‎∴为平面的一个法向量．‎ ‎∴．‎ 故二面角的二面角的余弦值为．（9分）‎ ‎②假设上存在点便得直线与平面所成角等于，‎ 则与所成夹角为，‎ 设，则：‎ ‎，‎ ‎，‎ 化简得：，‎ 解得：或（舍），‎ ‎∴线段上存在一点，使得直线与平面所成的角等于．（12分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），‎ 则，．‎ ‎∵，∴．‎ 化简得曲线C的轨迹方程为． （3分）‎ ‎（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=1，则．‎ ‎ ‎ 直线PB的方程为，解得．‎ 直线QB的方程为，解得．‎ 则，．‎ 此时△BPQ和△BMN的面积相等 …（6分）‎ 当直线l的斜率存在时，‎ 法1：设直线的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．‎ 由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.，．‎ 直线PB的方程为，求得．‎ 直线QB的方程为，求得．‎ ‎，‎ ‎．‎ 若S△BPQ=S△BMN，则（2﹣x1）（2﹣x2）=1，即x1x2﹣2（x1+x2）+3=0．‎ ‎∴，化简得﹣1=0．‎ 此式不成立．所以△BPQ和△BMN的面积不相等 综上，直线l的方程为x=1． …（12分）‎ 法2：设直线的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．‎ 由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.，．，，‎ 因为∠PBQ=∠MBN，S△BPQ=S△BMN，‎ 所以|BQ||BP|=|BM||BN|，即．‎ 则有，化简得x1x2﹣2（x1+x2）+3=0．‎ ‎∴，化简得﹣1=0．‎ 此式不成立．所以△BPQ和△BMN的面积不相等 综上，直线l的方程为x=1． …（12分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.（Ⅰ）由f（x）=ax3+x有f'（x）=3ax2+1‎ 因为f（x）在x=1处取得极值，故f'（1）=3a+1=0‎ ‎∴‎ 经检验：当时，符合题意，故 （3分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（x）=（﹣x2+1）（x2+px+q）‎ ‎∵F（x）的图象关于直线x=﹣1对称，故函数F（x﹣1）为偶函数 又F（x﹣1）=[﹣（x﹣1）2+1][（x﹣1）2+p（x﹣1）+q]=﹣x4+（4﹣p）x3+（3p﹣q﹣5）x2+2（1﹣p+q）x ‎∴，解得p=4，q=3 ‎ ‎∴F（x）=（﹣x2+1）（x2+4x+3）‎ ‎∴F'（x）=﹣2x（x2+4x+3）+（﹣x2+1）（2x+4）=﹣4（x+1）（x2+2x﹣1）‎ 令F'（x）＞0有或 令F'（x）＜0有或 ‎∴函数F（x）在区间上单调递增，‎ 在区间上单调递减 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的x≥1，都有g（x）≥（6+λ）x﹣λlnx+3恒成立，‎ 可转化为λ（x﹣lnx）≤x2﹣2x在x∈[1，+∞）上恒成立 易知lnx＜x∴在x∈[1，+∞）上恒成立 令，∴‎ 令h（x）=x+2﹣2lnx（x≥1），∴‎ ‎∴h（x）在（1，2）上递减，（2，+∞）上递增 ‎∴h（x）min=h（2）=4﹣2ln2＞0‎ ‎∴φ'（x）≥0，即φ（x）在[1，+∞）上递增 ‎∴φ（x）min=φ（1）=﹣1‎ ‎∴λ≤﹣1．（12分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22.（1）由，设a=3k（k＞0），‎ 则，b2=3k2，‎ 所以椭圆C的方程为，‎ 因直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即，‎ 代入椭圆方程，解得y=±k，于是，即，‎ 所以椭圆C的方程为；（4分）‎ ‎（2）假设存在点E，使得为定值，设E（x0，0），‎ 当直线AB与x轴重合时，有，‎ 当直线AB与x轴垂直时，，‎ 由，解得，，‎ 所以若存在点E，此时，为定值2．‎ 根据对称性，只需考虑直线AB过点，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 又设直线AB的方程为，与椭圆C联立方程组，‎ 化简得，所以，，‎ 又，‎ 所以，‎ 将上述关系代入，化简可得．‎ 综上所述，存在点，使得为定值2．（12分）‎ ‎ ‎