【数学】2018届一轮复习人教A版函数与方程教案
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
知识点一 函数的零点
1．定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
2．函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与______有交点⇔函数y＝f(x)有______．
3．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
答案
1．f(x)＝0 2.x轴 零点
3．f(a)·f(b)<0 (a，b) f(c)＝0
1．(必修①P92习题3.1A组第2题改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
f(x)
－4
－2
1
4
7
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
解析：由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数的零点在(2,3)内，故选B.
答案：B
2．(必修①P88例1改编)函数f(x)＝x－x的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：
函数f(x)＝x－x的零点个数是方程x－x＝0的解的个数，即方程x＝x的解的个数，也就是函数y＝x与y＝x
的图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.
答案：B
3．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．
解析：∵函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上有零点．∴f(0)f(1)<0.即a(a＋2)<0，解得－2
0，所以f(2)f(e)<0，所以函数f(x)＝lnx＋x－－2的零点所在的区间是(2，e)，故选C.
(2)函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.
【答案】 (1)C (2)B
【总结反思】
判断函数零点所在区间的方法
方法
解读
适合题型
定理法
利用函数零点的存在性定理进行判断
能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负
图象法
画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
容易画出函数的图象
(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2，e) D．(3,4)
(2)(2017·永州模拟)若x0是函数f(x)＝2x－x－3的零点，则[x0](表示不超过x0的最大整数)的值为________．
解析：(1)因为f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，且f(1)＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，所以函数的零点所在的大致区间是(1,2)，故选B.
(2)函数f(x)＝2x－x－3的零点即函数y＝2x与y＝x＋3的交点的横坐标．如图，因为f(－3)·f(－2)＝×(－1)<0，f(2)·f(3)＝(－1)×2＝－2<0.
所以x0∈(－3，－2)或x0∈(2,3)，
所以[x0]的值为－3或2.
答案：(1)B (2)－3或2
热点二 函数零点个数的判断
【例2】 (1)函数f(x)＝的零点个数是________．
(2)函数f(x)＝cosx－log8x的零点个数为________．
【解析】 (1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)由f(x)＝0得cosx＝log8x，设y＝cosx，y＝log8x，作出函数y＝cosx，y＝log8x的图象，由图象可知，函数f(x)的零点个数为3.
【答案】 (1)2 (2)3
【总结反思】
判断函数y＝f(x)零点个数的常用方法
(1)直接法．令f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数．
(2)零点存在的判定方法．判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数．
(3)数形结合法．转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数).
(2017·佳木斯一模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．
当x>0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0.
则ex＝－x＋3.
分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．
又根据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点．
综上所述，f(x)的零点个数为3.故选C.
答案：C
热点三 函数零点的应用
考向1 二次函数的零点问题
【例3】 已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.
(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
【解】 (1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，所以a＝－3，于是f(x)＝x2－3x＋2.
由f(x)≥1－x2得，1－x2≤x2－3x＋2，解得x≤或x≥1，所以不等式f(x)≥1－x2的解集为{x|x≤或x≥1}．
(2)函数g(x)＝2x2＋ax＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则即
解得－50，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( )
A.
B.
C.∪
D.∪
【解析】 要使函数f(x)在R上单调递减，只需解之得≤a≤，因为方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，所以直线y＝2－x与函数y＝|f(x)|的图象有两个交点．如图所示．
易知y＝|f(x)|的图象与x轴的交点的横坐标为－1，又≤－1≤2，故由图可知，直线y＝2－x与y＝|f(x)|的图象在x>0时有一个交点；当直线y＝2－x与y＝x2＋(4a－3)x＋3a(x<0)的图象相切时，设切点为(x0，y0)，则整理可得4a2－7a＋3＝0，解得a＝1(舍)或a＝.而当3a≤2，即a≤时，直线y＝2－x与y＝|f(x)|的图象在y轴左侧有一个交点，综合可得a∈∪.
【答案】 C
【总结反思】
函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.
(2017·南昌模拟)对于实数m，n定义运算“⊕”：m⊕n＝设f(x)＝(2x－1)⊕(x－1)，且关于x的方程f(x)＝a恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是________．
解析：
由2x－1≤x－1，得x≤0，此时f(x)＝－(2x－1)2＋2(2x－1)·(x－1)－1＝－2x，由2x－1>x－1，得x>0，此时f(x)＝(x－1)2－(2x－1)(x－1)＝－x2＋x，所以f(x)＝作出函
数f(x)的图象如图所示，要使方程f(x)＝a恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x1
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