高考数学经典复习题+圆锥曲线+知识与能力测试题+高考数学复习专题一集合
高考数学经典复习题+圆锥曲线
+知识与能力测试题+高考数学复习专题一集合
高考数学经典复习题(附参考答案)
一、知识导学
2
ba 叫做ａ和ｂ的等差中项．
二、疑难知识导析
1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相
同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数
列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n｝)的函数.
2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.
3.数列｛an｝的前 n 项的和 Sn 与 an 之间的关系：
).2(
),1(
1
1
nSS
nSa
nn
n 若 a1 适合
an(n>2),则 na 不用分段形式表示，切不可不求 a1 而直接求 an.
4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an 是关于 n 的
一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n, na ）均匀排列在一条直线上，由两点确定
一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.
5、对等差数列的前 n 项之和公式的理解：等差数列的前 n 项之和公式可变形为
ndandSn )2(2 1
2 ，若令 A＝
2
d ，B＝a1－
2
d ，则 nS ＝An2+Bn.
6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d， nS ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例 1]已知数列 1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大 3.（1）指出这个数列的通
项公式；（2）指出 1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.
错解：（1）an=3n+7;
(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前 n 项之和.
错因：误把最后一项（含 n 的代数式）看成了数列的通项.（1）若令 n=1,a1=10 1,显然 3n+7
不是它的通项.
正解：（1）an=3n－2;
(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前 n－1 项的和.
[例 2] 已知数列 na 的前 n 项之和为① nnSn 22 ② 12 nnSn
求数列 na 的通项公式。
错解： ① 34)1()1(22 22 nnnnnan
② nnnnnan 21)1()1(1 22
错因：在对数列概念的理解上，仅注意了 an＝Sn－Sn-1 与的关系，没注意 a1=S1.
正解： ①当 1n 时， 111 Sa
当 2n 时， 34)1()1(22 22 nnnnnan
经检验 1n 时 11 a 也适合， 34 nan
②当 1n 时， 311 Sa
当 2n 时， nnnnnan 21)1()1(1 22
∴
nan 2
3
)2(
)1(
n
n
[例 3] 已知等差数列 na 的前 n 项之和记为 Sn，S10=10 ，S30=70，则 S40 等于 。
错解：S30= S10·2d. d＝30， S40= S30+d =100.
错因：将等差数列中 Sm, S2m －Sm, S3m －S2m 成等差数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等差数列.
正解：由题意：
702
293030
102
91010
1
1
da
da
得
15
2,5
2
1 da
代入得 S40 ＝ 120402
394040 1 da 。
[例 4]等差数列 na 、 nb 的前 n 项和为 Sn、Tn.若 ),(274
17
Nnn
n
T
S
n
n 求
7
7
b
a ；
错解：因为等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数，故由题意令 an=7n+1;bn=4n+27.
11
10
2774
177
7
7
b
a
错因：误认为
n
n
T
S
n
n
b
a
正解：
79
92
27134
1137
13
13
77
77
7
7
T
S
bb
aa
b
a
[例 5]已知一个等差数列 na 的通项公式 an=25－5n，求数列 || na 的前 n 项和；
错解：由 an 0 得 n 5
na 前 5 项为非负，从第 6 项起为负，
Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n 5)
当 n 6 时，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+…+｜an｜＝
2
)5)(520( nn
Sn=
6,2
)5)(520(
5,50
nnn
n
错因：一、把 n 5 理解为 n=5，二、把“前 n 项和”误认为“从 n 6 起”的和.
正解：
6,502
)5)(520(
5,2
)545(
nnn
nnn
[例 6]已知一个等差数列的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220，
由此可以确定求其前 n 项和的公式吗？
解：理由如下：由题设： 31010 S 122020 S
得：
122019020
3104510
1
1
da
da
6
41
d
a
∴ nnnnnSn 2362
)1(4
[例 7]已知： n
na 12lg1024 （ 3010.02lg ） Nn （1） 问前多少项之和为最
大？（2）前多少项之和的绝对值最小？
解 ：（ 1 ）
02lg1024
02lg)1(1024
1 na
na
n
n 3403340112lg
1024
2lg
1024 nn
∴ 3402n
（2） 0)2lg(2
)1(1024 nnnSn
当 nn SS 或0 近于 0 时其和绝对值最小
令： 0nS 即 1024+ 0)2lg(2
)1( nn
得： 99.680412lg
2048 n
∵ Nn ∴ 6805n
[例 8]项数是 n2 的等差数列，中间两项为 1nn aa 和 是方程 02 qpxx 的两根，求证此
数列的和 nS2 是方程 0)lg(lglg)lg(lglg 2222 pnxpnx 的根。 （ 02 nS ）
证明：依题意 paa nn 1
∵ paaaa nnn 121 ∴ npaanS n
n
2
)(2 21
2
∵ 0)lg(lglg)lg(lglg 2222 pnxpnx
∴ 0)lg(lg 2 npx ∴ nSnpx 2 （获证）。
四、典型习题导练
1．已知 n
nn Saa 23 11 且 ，求 na 及 nS 。
2．设 )1(433221 nnan ，求证：
2
)1(
2
)1( 2 nann
n 。
3.求和:
n
321
1
321
1
21
11
4.求和： )12()34()9798()99100( 22222222
5.已知 cba ,, 依次成等差数列，求证： abcacbbca 222 ,, 依次成等差数列.
6.在等差数列 na 中， 40135 aa ，则 1098 aaa （ ）。
A．72 B．60 C．48 D．36
7. 已知 na 是等差数列，且满足 )(, nmmana nm ，则 nma 等于________。
8.已知数列
2
1
na
成等差数列，且
7
13,6
11
53 aa ，求 8a 的值。
§4.2 等比数列的通项与求和
一、知识导学
1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同
一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，
公比通常用字母ｑ表示．
2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．
3.等比数列的前 n 项和公式：
)1(11
)1(
)1(
11
1
qq
qaa
q
qa
qan
S n
n
n
二、疑难知识导析
1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为 0，因此 q 也不为 0.
2.对于公比 q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.
3.“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第 2
项起，而是从第 3 项或第 4 项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数
列，这时可以说此数列从. 第 2 项或第 3 项起是一个等比数列.
4.在已知等比数列的 a1 和 q 的前提下，利用通项公式 an=a1qn-1,可求出等比数列中的任
一项.
5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用 an=amqn-m 可求等比数列中任意一项.
6.等比数列｛an｝的通项公式 an=a1qn-1 可改写为 n
n qq
aa 1 .当 q>0，且 q 1 时，y=qx
是一个指数函数，而 xqq
ay 1 是一个不为 0 的常数与指数函数的积，因此等比数列｛an｝
的图象是函数 xqq
ay 1 的图象上的一群孤立的点.
7．在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d， nS ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例 1] 已知数列 na 的前 n 项之和 Sn=aqn（ qqa ,1,0 为非零常数），则 na 为（ ）。
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列，也不是等比数列
D.既是等差数列，又是等比数列
错解： )1(1
11
qaqaqaqSSa nnn
nnn
)1(1
1
qaqSSa n
nnn
qa
a
n
n 1 （常数）
na 为等比数列，即 B。
错因：忽略了 1 nnn SSa 中隐含条件 n＞1.
正解：当 n＝1 时，a1=S1＝aq;
当 n>1 时， )1(1
1
qaqSSa n
nnn
qa
a
n
n 1 （常数）
但 qqa
a 1
1
2
na 既不是等差数列，也不是等比数列，选 C。
[例 2] 已知等比数列 na 的前 n 项和记为 Sn，S10=10 ，S30=70，则 S40 等于.
错解：S30= S10·q 2. q 2＝7，q＝ 7 ， S40= S30·q = 770 .
错因：是将等比数列中 Sm, S2m －Sm, S3m －S2m 成等比数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等比数列.
正解：由题意：
701
)1(
101
)1(
30
1
10
1
q
qa
q
qa
得
)(32
101
1010
1
舍去或qq
q
a
，
S40= 20011
401
）（ qq
a .
[例 3] 求和：a+a2+a3+…+an.
错解： a+a2+a3+…+an＝
a
a n
1
1 .
错因：是（1）数列｛an｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前 n 项和公式（2）用
等比数列前 n 项和公式应讨论 q 是否等于 1.
正解：当 a＝0 时，a+a2+a3+…+an＝0;
当 a＝1 时，a+a2+a3+…+an＝n;
当 a 1 时， a+a2+a3+…+an＝
a
a n
1
1 .
[例 4]设 dcba ,,, 均为非零实数， 02 22222 cbdcabdba ，
求证： cba ,, 成等比数列且公比为 d 。
证明：
证法一：关于 d 的二次方程 02 22222 cbdcabdba 有实根，
∴ 0)(44 222222 cbbacab ，∴ 022 acb
则必有： 02 acb ，即 acb 2 ，∴非零实数 cba ,, 成等比数列
设公比为 q ，则 aqb ， 2aqc 代入
02 422222222 qaqadaqaaqdqaa
∵ 01 22 aq ，即 02 22 qqdd ，即 0 qd 。
证法二：∵ 02 22222 cbdcabdba
∴ 022 222222 cbcddbbabdda
∴ 022 cbdbad ，∴ bad ，且 cbd
∵ dcba ,,, 非零，∴ db
c
a
b 。
[例 5]在等比数列 nb 中， 34 b ，求该数列前 7 项之积。
解： 45362717654321 bbbbbbbbbbbbbb
∵ 536271
2
4 bbbbbbb ，∴前七项之积 2187333 732
[例 6]求数列 }
2
1{ nn 前 n 项和
解： nn nS
2
1
8
134
122
11 ①
12
1
2
1)1(16
138
124
112
1
nnn nnS ②
两式相减： 11 2
2
11
)
2
11(2
1
2
1
2
1
8
1
4
1
2
1
2
1
n
n
nnn
nnS
nnnnn
nnS
22
12)
22
11(2 11
[例 7]从盛有质量分数为 20%的盐水 2kg 的容器中倒出 1kg 盐水，然后加入 1kg 水，以后每
次都倒出 1kg 盐水，然后再加入 1kg 水，
问：(1)第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐多 kg？
(2)经 6 次倒出后，一共倒出多少 kg 盐？此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的
质量分数为多少？
解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：
a1= 0.2 （kg）, a2=
2
1 ×0.2（kg）, a3= (
2
1 )2×0.2（kg）
由此可见：an= (
2
1 )n1×0.2（kg）, a5= (
2
1 )51×0.2= (
2
1 )4×0.2=0.0125（kg）。
(2)由(1)得{an}是等比数列 a1=0.2 , q=
2
1
)(003125.0200625.0
)(00625.039375.04.0
)(39375.0
2
11
)
2
11(2.0
1
)1( 66
1
6
kg
kg
kgq
qaS
答：第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐 0.0125kg；6 次倒出后，一共倒出 0.39375kg
盐，此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为 0.003125。
四、典型习题导练
1.求下列各等比数列的通项公式：
1) a1=2, a3=8
2) a1=5, 且 2an+1=3an
3) a1=5, 且
1
1
n
n
a
a
n
n
2.在等比数列 na ，已知 51 a ， 100109 aa ，求 18a .
3.已知无穷数列 ,10,10,10,10 5
1
5
2
5
1
5
0 n
，
求证：（1）这个数列成等比数列
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的
10
1 ，
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
4.设数列 na 为 132 4,3,2,1 nnxxxx 0x 求此数列前 n 项的和。
5.已知数列{an}中，a1=2 且 an+1=Sn，求 an ,Sn
6.是否存在数列{an}，其前项和 Sn 组成的数列{Sn}也是等比数列，且公比相同？
7.在等比数列 na 中， 400,60,36 4231 nSaaaa ，求 n 的范围。
§4.3 数列的综合应用
一、知识导学
1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问
题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利
用数列知识建立数学模型.
2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广
泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，
且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性
质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求 Sn 还是求 an.一般情况下，
增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公
式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加 1 就是
公比 q.
二、疑难知识导析
1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前 n 项和的最大（或最小）问题，
转化为解不等式
0
0
0
0
11 n
n
n
n
a
a
a
a 或 解决；
2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前 n 项和公式，在用等比数列前 n 项和公
式时，勿忘分类讨论思想；
3.等差数列中, am=an+ (n－m)d,
nm
aad nm
; 等比数列中，an=amqn-m;
m
nmn
a
aq
4.当 m+n=p+q（m、n、p、q∈ N ）时，对等差数列｛an｝有：am+an=ap+aq；对等比数列
｛an｝有：aman=apaq；
5.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+bbn}(k、b 是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}
是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列；
6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如
a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等比）数列；
7.对等差数列｛an｝,当项数为 2n 时，S 偶-S 奇＝nd；项数为 2n－1 时，S 奇－S 偶＝a 中（n
∈ N ）；
8.若一阶线性递推数列 an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形
式: )1(1 1 k
bakk
ba nn
(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；
三、经典例题导讲
[ 例 1] 设 na 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 ， Sn 是 其 前 n 项 和 . 证 明 ：
1
2
1
2
2
1
2
1
log2
loglog
n
nn
S
SS
＞ 。
错解：欲证 1
2
1
2
2
1
2
1
log2
loglog
n
nn
S
SS
＞
只需证 2
2
1
2
1 loglog nn SS ＞2 1
2
1log nS
即证： )(log 2
2
1 nn SS ＞ 2
1
2
1log nS
由对数函数的单调性，只需证 )( 2 nn SS ＜ 2
1nS
2 nn SS － 2
1nS ＝ 2
212
1
2
22
1
)1(
)1(
)1(
)1)(1(
q
qa
q
qqa nnn
＝－ 02
1 nqa
2 nn SS ＜ 2
1nS
原不等式成立.
错因：在利用等比数列前 n 项和公式时，忽视了 q＝1 的情况.
正解：欲证 1
2
1
2
2
1
2
1
log2
loglog
n
nn
S
SS
＞
只需证 2
2
1
2
1 loglog nn SS ＞2 1
2
1log nS
即证： )(log 2
2
1 nn SS ＞ 2
1
2
1log nS
由对数函数的单调性，只需证 )( 2 nn SS ＜ 2
1nS
由已知数列 na 是由正数组成的等比数列，
q >0, 01 a .
若 1q ,
则 2 nn SS － 2
1nS ＝ 2
111 ])1[()2( ananna ＝－ 2
1a ＜0；
若 1q ,
2 nn SS － 2
1nS ＝ 2
212
1
2
22
1
)1(
)1(
)1(
)1)(1(
q
qa
q
qqa nnn
＝－ 02
1 nqa
2 nn SS ＜ 2
1nS
原不等式成立.
[例 2] 一个球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它
第 10 次着地时，共经过了多少米？（精确到 1 米）
错解：因球 每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形
成了一公比为
2
1 的等比数列，又第一次着地时经过了 100 米，故当它第 10 次着地时，
共经过的路程应为前 10 项之和.
即
2
11
])2
1(1[100 10
10
S ＝199（米）
错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.
正解：球第一次着地时经过了 100 米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过
了
2
1002 ＝100（米）…因此到球第 10 次着地时共经过的路程为
832 2
100
2
100
2
100
2
100100100
＝
2
11
])2
1(1[100
100
9
300（米）
答：共经过 300 米。
[例 3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每
年生日，到银行储蓄 a 元一年定期，若年利率为 r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）
自动转为新的一年定期，当孩子 18 岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回
的钱的总数为多少？
错解：年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那 18 年时取出的钱数应为以 a
为首项，公比为 1+r 的等比数列的第 19 项，即 a19=a(1+r)18.
错因：只考虑了孩子出生时存入的 a 元到 18 年时的本息，而题目要求是每年都要存入 a 元.
正解：不妨从每年存入的 a 元到 18 年时产生的本息 入手考虑，出生时的 a 元到 18 年时变
为 a(1+r)18，
1 岁生日时的 a 元到 18 岁时成为 a(1+r)17，
2 岁生日时的 a 元到 18 岁时成为 a(1+r)16，
……
17 岁生日时的 a 元到 18 岁时成为 a(1+r)1，
a(1+r)18+ a(1+r)17+ …+ a(1+r)1
＝
)1(1
])1(1)[1( 18
r
rra
＝ )]1()1[( 19 rrr
a
答：取出的钱的总数为 )]1()1[( 19 rrr
a 。
[例 4]求数列 ,)23(1,,101,71,41,11 132 n
aaaa n 的前 n 项和。
解：设数列的通项为 an，前 n 项和为 Sn，则 )23(1
1 n
a
a nn
)]23(741[)1111( 12 n
aaaS nn
当 1a 时，
2
3
2
)231( 2 nnnnnSn
当 1a 时，
2
)13(1
2
)231(
11
11
1
nn
aa
ann
a
aS nn
nn
n
[例 5]求数列 ,)1(
6,,43
6,32
6,21
6
nn
前 n 项和
解：设数列的通项为 bn，则 )1
11(6)1(
nnnnbn
1
6)1
11(6
)]1
11()3
1
2
1()2
11[(621
n
n
n
nnbbbS nn
[例 6]设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 )()2
1( 2
NnaS n
n ，
求数列{an}的前 n 项和
解：取 n =1，则 1)2
1( 1
21
1 aaa
又由
2
)( 1 n
n
aanS 可得： 21 )2
1(2
)( nn aaan
12)(1 * naNna nn
2)12(531 nnSn
[例 7]大楼共 n 层，现每层指定一人，共 n 人集中到设在第 k 层的临时会议室开会，问
k 如何确定能使 n 位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长
相等）
解：设相邻两层楼梯长为 a，则
]2)1([
)](21[0)121(
2
2 nnknka
knkaS
当 n 为奇数时，取
2
1 nk S 达到最小值
当 n 为偶数时，取
2
2
2
nnk 或 S 达到最大值
四、典型习题导练
1．在［1000，2000］内能被 3 整除且被 4 除余 1 的整数有多少个？
2．某城市 1991 年底人口为 500 万，人均住房面积为 6 m2，如果该城市每年人口平均增长率
为 1%，每年平均新增住房面积为 30 万 m2，求 2000 年底该城市人均住房面积为多少 m2？(精
确到 0.01)
3．已知数列 na 中， nS 是它的前 n 项和，并且 241 nn aS ， 11 a
（1） 设 nnn aab 21 ，求证数列 nb 是等比数列；
（2） 设 n
n
n
ac
2
，求证数列 nc 是等差数列。
4.在△ABC 中，三边 cba ,, 成等差数列， cba ,, 也成等差数列，求证△ABC 为正三角形。
5． 三数成等比数列，若将第三个数减去 32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个
数减去 4，则又成等比数列，求原来三个数。
6. 已知 是一次函数，其图象过点 ，又 成等差数列，求
)()2()1( nfff 的值.
第五章 不等式
§5.1 不等式的解法
一、知识导学
1. 一元一次不等式 ax>b
(1)当 a>0 时，解为
a
bx ；
(2)当 a＜0 时，解为
a
bx ；
(3)当 a＝0，b≥0 时无解；当 a＝0，b＜0 时，解为 R．
2. 一元二次不等式：(如下表)其中 a＞0，x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两实根，且
x1＜x2
类型
解集 ax2+bx+c＞0 ax2+bx+c≥0 ax2+bx+c＜0 ax2+bx+c≤0
Δ＞0 {x｜x＜x1 或 x＞x2} {x｜x≤x1或 x≥x2} {x｜x1＜x＜x2
} ｛x｜x1≤x≤x2｝
Δ＝0 {x｜x≠-
a
b
2
，
xR}
R Ф ｛x｜x=-
a
b
2
｝
Δ＜0 R R Φ Φ
3.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是：
①将 f(x)的最高次项的系数化为正数；
②将 f(x)分解为若干个一次因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；
④根据曲线显示出的 f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.
4.分式不等式：先整理成
)(
)(
xg
xf ＞0 或
)(
)(
xg
xf ≥0 的形式，转化为整式不等式求解，即：
)(
)(
xg
xf ＞0 f(x)·g(x)＞0
)(
)(
xg
xf ≥0
0)x(g)x(f0)x(g
0)x(f ＞或
然后用“根轴法”或化为不等式组求解.
二、疑难知识导析
1.不等式解法的基本思路
解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解
变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化
为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、
有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元
一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形.
2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组
内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等
式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个
不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集.
3.集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用，其难点是区分何时取交集，何
时取并集.解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解—注意分类.
三、经典例题导讲
[例 1] 如果 kx2+2kx－(k+2)<0 恒成立，则实数 k 的取值范围是＿＿＿.
A. －1≤k≤0 B. －1≤k<0 C. －1
4 故选 D.
错因：忽略了 a＝－4 时，{x|－2＜x＜4}＝{ x|－2＜x＜－a}，此时 A 是 B 的充要条件，
不是充分不必要条件.
正解：由｜x－1｜＜3 得：－2＜x＜4，
又由（x＋2）(x＋a)=0 得 x=－2 或 x＝－a,
A 是 B 的充分不必要条件,
{x|－2＜x＜4} { x|－2＜x＜－a}
－a>4 故选 C.
[例 3]已知 f(x) = ax + x
b
，若 ,6)2(3,0)1(3 ff 求 )3(f 的范围.
错解： 由条件得
6223
03
ba
ba
②
①
②×2－① 156 a ③
①×2－②得
3
2
33
8 b ④
③ + ④ 得 .3
43)3(3
10,3
43
333
10 fba 即
错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数
b
xaxxf )( ，其值是
同时受 ba和 制约的.当 a 取最大（小）值时， b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思
路是错误的.
正解： 由题意有
22)2(
)1(
baf
baf
,
解得： )],2()1(2[3
2)],1()2(2[3
1 ffbffa
).1(9
5)2(9
16
33)3( ffbaf 把 )1(f 和 )2(f 的范围代入得 .3
37)3(3
16 f
[例 4] 解不等式（x+2）2(x+3)(x－2) 0
错解：（x+2）2 0
原不等式可化为：(x+3)(x－2) 0
原不等式的解集为｛x| x －3 或 x 2 ｝
错因:忽视了“ ”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中.
正解：原不等式可化为：（x+2）2(x+3)(x－2) 0 ①或（x+2）2(x+3)(x－2) 0 ②，
解①得：x=－3 或 x＝－2 或 x＝2
解②得：x＜ －3 或 x＞2
原不等式的解集为｛x| x －3 或 x 2 或 x 2 ｝
[例 5] 解关于 x 的不等式 )()( abxbabxa
解：将原不等式展开，整理得： )()( baabxba
讨论：当 ba 时，
ba
baabx
)(
当 ba 时，若 ba ≥0 时 x ；若 ba <0 时 Rx
当 ba 时，
ba
baabx
)(
点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号.
[例 6]关于 x 的不等式 02 cbxax 的解集为 }2
12|{ xxx 或
求关于 x 的不等式 02 cbxax 的解集．
解：由题设知 0a ，且
2
1,2 xx 是方程 02 cbxax 的两根
∴
2
5
a
b ， 1
a
c
从而 02 cbxax 可以变形为 02
a
cxa
bx
即： 012
52 xx ∴ 22
1 x
点评：二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健，这也体现了方程思想
在解题中的简单应用.
[例 7]（06 年高考江苏卷）不等式 3)61(log 2
xx 的解集为
解：∵ 3)61(log 2
xx ，∴0＜ 1 6 8x x
，∴
1 2
1 6 0
x x
x x
∴
0x223223
1,0
或
或
x
xx
解得 ( 3 2 2, 3 2 2) 1x
反思：在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相
同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)
作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和 1 比较大小；(2)找中间量,往往是 1,在这些数
中,有的比 1 大,有的比 1 小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；
(5)利用函数的单调性等等.
四、典型习题导练
1.解不等式 0
32
23
2
2
xx
xx
2. 解不等式 623 23 xxx
3.解不等式 0)2)(54( 22 xxxx
4. 解不等式 0)2)(1()1()2( 32 xxxx
5.解不等式 11
16 xx
6.k 为何值时，下式恒成立： 1
364
22
2
2
xx
kkxx
7. 解不等式 0343 xx
8. 解不等式 2462 2 xxx
§5.2 简单的线性规划
一、知识导学
1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．
2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.
3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．
4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称
为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．
5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．
二、疑难知识导析
线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设
计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、
财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安
排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．
2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：
任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一
侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若 直 线 不 过
原点，通 常 选 择 原 点 代入检验．
3. 平 移 直 线 ｙ＝－kｘ ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．
4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区
域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是
以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函
数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优
解.
三、经典例题导讲
[例 1] ．画出不等式组
1 0
2 3 6 0
1 0
2 2 0
x y
x y
x y
x y
表示的平面区域.
错解：如图（1）所示阴影部分即为不等式组
1 0
2 3 6 0
1 0
2 2 0
x y
x y
x y
x y
表示的平面区域.
错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了.
正解：如图（2）所示阴影部分即为不等式组
1 0
2 3 6 0
1 0
2 2 0
x y
x y
x y
x y
表示的平面区域.
[例 2] 已知 1 x－y 2,且 2 x+y 4,求 4x－2y 的范围.
错解：由于 1 x－y 2 ①,
2 x+y 4 ②,
①+② 得 3 2x6 ③
①×(－1)+② 得：0 2y3 ④.
③×2+④×(－1)得. 3 4x－2y12
错因：可行域范围扩大了.
正解：线性约束条件是：
4yx2
2y-x1
令 z＝4x－2y，
画出可行域如右图所示，
由
2yx
1y-x 得 A 点坐标（1.5，0.5）此时 z＝4×1.5－2×0.5＝5.
由
4yx
2y-x 得 B 点坐标（3，1）此时 z＝4×3－2×1＝10.
5 4x－2y10
[例 3] 已知
0104
0117
02357
yx
yx
yx
,求 x2+y2 的最值.
错解：不等式组
0104
0117
02357
yx
yx
yx
表示的平面区域如右图
所示 ABC 的内部（包括边界），
令 z= x2+y2
由
0104
02357
yx
yx 得 A 点坐标（4，1），
此时 z＝x2+y2＝42+12＝17，
由
0104
02357
yx
yx 得 B 点坐标（－1，－6），
此时 z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37，
由
0104
0117
yx
yx 得 C 点坐标（－3，2），
此时 z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13，
当
6
1
y
x 时 x2+y2 取得最大值 37，当
2
3
y
x 时 x2+y2 取得最小值 13.
错因：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点 A、B、C 到原点的距
离的平方的最值.
正解：不等式组
0104
0117
02357
yx
yx
yx
表示的平面区域如图所示 ABC 的内部（包括边界），
令 z= x2+y2,则 z 即为点（x，y）到原点的距离的平方.
由
0104
02357
yx
yx 得 A 点坐标（4，1），
此时 z＝x2+y2＝42+12＝17，
由
0104
02357
yx
yx 得 B 点坐标（－1，－6），
此时 z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37，
由
0104
0117
yx
yx 得 C 点坐标（－3，2），
此时 z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13，
而在原点处，
0
0
y
x ，此时 z＝x2+y2＝02+02＝0，
当
6
1
y
x 时 x2+y2 取得最大值 37，当
0
0
y
x 时 x2+y2 取得最小值 0.
[例 4]某家具厂有方木料 90m3，五合板 600m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书
桌需要方木料 0.1m3，五合板 2m2，生产每个书橱需要方木料 0.2m3，五合板 1m2，出售一张书
桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元.如果只安排生产书桌，可获利润多少？如
果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使得利润最大？
分析： 数据分析列表
书桌 书橱 资源限制
木料（m3） 0．1 0．2 90
五合板（m2） 2 1 600
利润（元/张） 80 120
计划生产（张） x y
设生产书桌 x 张，书橱 y 张，利润 z 元，则约束条件为
Ny
Nx
600y2x
902.01.0 yx
目标函数 z=80x+120y
作出上可行域：
作出一组平行直线 2x+3y=t, 此直线经过点 A（100，400）
时，即合理安排生产，生产书桌 100 张，书橱 400 张，有最
大利润为
zmax=80×100+400×120=56000(元)
若只生产书桌，得 0Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉
及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不
可能”等词语时，可以考虑用反证法.
5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等
式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带
来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所
给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同
一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三
角问题； (2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如
ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难
为易，化繁为简.如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ进行换元.
二、疑难知识导析
1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向.
2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，
思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们
的思维习惯.但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的
书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误.而用综合法书
写的形式，它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分
离的.如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法
形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大，需一边
分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前
提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进
一步分析的起点.
3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因
为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件.如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决
问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时，一定要恰当地
用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语.
4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾.
5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高
度重视，否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的
应用.
三、经典例题导讲
[例 1] 已知 a>b(ab 0 ),比较
a
1 与
b
1 的大小.
错解： a>b(ab 0 )，
a
1 <
b
1 .
错因：简单的认为大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正确的结论是：当两数同号
时，大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.
正解：
ab
ab
ba
11 ，又 a>b(ab 0 )，
(1)当 a、b 同号时，即 a>b>0 或 b0,b－a<0, 0
ab
ab ,
a
1 <
b
1 .
(2)当 a、b 异号时，则 a>0,b<0,
a
1 >0,
b
1 <0
a
1 >
b
1 .
[例 2] 当 a、b 为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（ ）
A.
2
ba B. ab C.
2
22 ba D. 1
11
)2(
ba
错解：所以选 B.
错因是由于在
2
ba 、 ab 、
2
22 ba 中很容易确定 ab 最小，所以易误选 B.而事
实上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正确的结论，就需要全面比较，不可
遗漏 1
11
)2(
ba 与前三者的大小比较.
正解：由均值不等式
2
ba ab 及 a2+b2 2ab,可知选项 A、B、C 中， ab 最小，而
1
11
)2(
ba ＝
ba
ab
2 ，由当 a b 时，a+b>2 ab ,两端同乘以 ab ，可得（a+b）· ab
＞2ab,
ba
ab
2 ＜ ab ，因此选 D.
[例 3] 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ 1
a
)2+(b+ 1
b
)2 的最小值.
错解: (a+
a
1 )2+(b+
b
1 )2=a2+b2+ 2
1
a
+ 2
1
b
+4≥2ab+
ab
2 +4≥4
abab 1 +4=8,
∴(a+
a
1 )2+(b+
b
1 )2 的最小值是 8.
错因：上面的解答中，两次用到了基本不等式 a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是 a=b=
2
1 ,
第二次等号成立的条件是 ab=
ab
1 ，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8 不是
最小值.
正解：原式= a2+b2+ 2
1
a
+ 2
1
b
+4=( a2+b2)+( 2
1
a
+ 2
1
b
)+4=[(a+b)2－2ab]+[(
a
1 +
b
1 )2－
ab
2 ]+4
= (1－2ab)(1+ 22
1
ba
)+4，
由 ab≤(
2
ba )2=
4
1 得：1－2ab≥1－
2
1 =
2
1 , 且 22
1
ba
≥16，1+ 22
1
ba
≥17，
∴原式≥
2
1 ×17+4=
2
25 (当且仅当 a=b=
2
1 时，等号成立)，
∴(a +
a
1 )2 + (b +
b
1 )2 的最小值是25
2
.
[例 4] 已知 0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较 |)1(log| |)1(log| xx aa 和 的大小.
解法一： )1(log)1(log)1(log)1(log|)1(log| |)1(log| 22 xxxxxx aaaaaa
x
xx aa
1
1log)1(log 2
∵0 < 1 x2 < 1, 11
10
x
x ∴ 01
1log)1(log 2
x
xx aa
∴ |)1(log| |)1(log| xx aa
解法二：
21111 1
1log1
1log)1(log)1(log)1(log
)1(log
x
x
xxxx
x
xxxx
a
a
)1(log1 2
1 xx
∵0 < 1 x2 < 1, 1 + x > 1, ∴ 0)1(log 2
1 xx
∴ 1)1(log1 2
1 xx ∴ |)1(log| |)1(log| xx aa
解法三：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 x < 1, 1 < 1 + x < 2,
∴ 0)1(log,0)1(log xx aa
∴左 右 = )1(log)1(log)1(log 2xxx aaa
∵0 < 1 x2 < 1, 且 0 < a < 1 ∴ 0)1(log 2 xa
∴ |)1(log| |)1(log| xx aa
[例 5]已知 x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd
证：证法一（分析法）∵a, b, c, d, x, y 都是正数
∴要证：xy≥ac + bd
只需证：(xy)2≥(ac + bd)2
即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
即：a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式，显然成立
∴xy≥ac + bd
证法二（综合法）xy = 222222222222 dbdacbcadcba
≥ bdacbdacdbabcdca 22222 )(2
证法三（三角代换法）
∵x2 = a2 + b2，∴不妨设 a = xsin, b = xcos
y2 = c2 + d2 c = ysin, d = ycos
∴ac + bd = xysinsin + xycoscos = xycos( )≤xy
[例 6] 已知 x > 0，求证：
2
5
1
11
xxxx
证：构造函数 )0(1)( xxxxf 则 21
xx ， 设 2≤<
由
)1)((11)()1(1)()( ff
显然 ∵2≤< ∴ > 0, 1 > 0, > 0 ∴上式 > 0
∴f (x)在 ),2[ 上单调递增，∴左边
2
5)2( f
四、典型习题导练
1.比较（a+3）(a－5)与（a+2）（a-4）的大小.
2.已知 a,b,c,d 都是正数，求证：
abcdbdaccdab 4))((
3.已知 x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证： 22311
yx
4.若 122 yx ，求证： 2|2| 22 yxyx
5.若 x > 1，y > 1，求证： )1)(1(1 yxxy
6．证明：若 a > 0，则 2121
2
2
aa
a
a
§5.4 不等式的应用
一、基础知识导学
1.利用均值不等式求最值：如果 a1，a2∈R+，那么 abba
2 .
2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围
等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.
3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；
二是建立函数式求最大值或最小值.
二、疑难知识导析
不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、
单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、
立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应
用题问世，其特点是：
1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，
题目往往篇幅较长.
2．函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指
数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数
)])(()[(,, 2 bxdaxcxbakyx
baxyx
baxy ”
为模型的新的形式.
三 经典例题导讲
[例 1]求 y=
4
5
2
2
x
x 的最小值.
错解： y=
4
142
4
14
4
5
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x ＝2
y 的最小值为 2.
错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可.
正解：令 t= 42 x ,则 t 2 ,于是 y= )2(,1 ttt
由于当 t 1 时，y=
tt 1 是递增的，故当 t＝2 即 x=0 时，y 取最小值
2
5 .
[例 2]m 为何值时，方程 x2+(2m+1)x+m2－3=0 有两个正根.
错解：由根与系数的关系得 3
03
012
2
m
m
m ，因此当 3m 时，原方程有两个
正根.
错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于 0.
正解：由题意：
3m3
2
1
4
13
03
012
0)3(4)12(
2
22
或m
m
m
m
m
mm
,3m4
13 因此当 3m4
13 时，原方程有两个正根.
[例 3]若正数 x，y 满足 365y6x ，求 xy 的最大值．
解：由于 x，y 为正数，则 6x，5y 也是正数，所以
xyyxx 30562
56
当且仅当 6x=5y 时，取“=”号．
因 365y6x ，则
2
3630 xy ，即
5
54xy ，所以 xy 的最大值为
5
54 .
[例 4] 已知：长方体的全面积为定值 S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的
体积最大，求出这个最大值．
分析：经过审题可以看出，长方体的全面积 S 是定值．因此最大值一定要用 S 来表示．首要
问题是列出函数关系式．设长方体体积为 y，其长、宽、高分别为 a，b，c，则 y=abc．由
于 a+b+c 不是定值，所以肯定要对函数式进行变形．可以利用平均值定理先求出 y2 的最大
值，这样 y 的最大值也就可以求出来了．
解：设长方体的体积为 y，长、宽、高分别是为 a，b，c，则
y=abc，2ab+2bc+2ac=S．
而
y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）
当且仅当 ab=bc=ac，即 a=b=c 时，上式取“=”号，y2 有最小值
答：长方体的长、宽、高都等于
6
6s 时体积的最大值为
36
6ss .
说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题
的关健.
四、典型习题导练
1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3,深为 3m，如果池底每 1m2 的造价
为 150 元，池壁每 1m2 的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多
少元？
2.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比
截面是正方形的水管流量大.
3.在四面体 P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱长的和为 m，
求这个四面体体积的最大值．
4. 设函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与两直线 y=x，y=-x，均不相
交，试证明对一切 x R 都有
||4
1|| 2
acbxax .
5．青工小李需制作一批容积为 V 的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半
径应具有怎样的比例？
6．轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里／时)的立方成正比．已知
某轮船的最大船速是 18 海里／时，当速度是 10 海里／时时，它的燃料费用是每小时 30 元，
其余费用(不论速度如何)都是每小时 480 元，如果甲、乙两地相距 1000 海里，求轮船从甲
地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？
5.5 推理与证明
一、基础知识导学
1. 推理一般包括合情推理和演绎推理.
2. 合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的
结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用
的思维方法.
3. 归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这
种性质的推理.
4. 归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中
推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.
5. 类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物
类似的性质的推理.
6. 类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵从一类事物的性质去
推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.
7. 演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理.
8. 直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法──反证法.
9. 分析法：从原因推导到结果的思维方法.
10. 综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.
11. 反证法：判定非 q 为假，推出 q 为真的方法.
12. 应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾
的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真.
13. 数学归纳法：设｛pn｝是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题 p1 成立；
⑵在假设 pk 成立的前提上，推出 pk＋1 也成立，那么可以断定，｛pn｝对一切正整数成立.
14. 数学归纳法的步骤：
（1）证明当 （如 或 2 等）时，结论正确；
（2）假设 时结论正确，证明 时结论也正确．
二、疑难知识导析
1.归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种
性质的推理.
而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事
物类似的性质的推理.
2. 应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正
确的推理方法，推出矛盾的结果
3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法.
三、经典例题导讲
[例1] { na }是正数组成的数列,其前n项和为 ns ,并且对于所有的自然数 n , na 与2的等差
中项等于 ns 与2的等比中项.
(1)写出数列{ na }的前3项;
(2)求数列{ na }的通项公式(写出推证过程);
错解：由(1)猜想数列{ na }有通项公式 na =4 n -2.
下面用数学归纳法证明数列{ na }的通项公式是
na =4 n -2. ( n ∈N).
①当 n =1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出 1a =2,所以上述结论成立.
②假设n=k时结论成立,即有 ka =4 k -2.由题意,有 k
k sa 22
2
将 ka =4 k -2代入上式，得 ksk 22 ，解得
22ksk
由题意,有 111
1 ,22
2
kkkk
k asssa
将 22ksk 代入，化简得
01644 2
1
2
1 kaa kk
解得 kak 421 .∴ 2)1(4421 kkak
这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.
根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.
错因在于解题过程中忽视了取值的取舍.
正解：由(1)猜想数列{an}有通项公式an=4n-2.
猜想数列{ na }有通项公式 na =4 n -2.
下面用数学归纳法证明数列{ na }的通项公式是
na =4 n -2. ( n ∈N).
①当 n =1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出 1a =2,所以上述结论成立.
②假设n=k时结论成立,即有 ka =4 k -2.由题意,有 k
k sa 22
2
将 ka =4 k -2代入上式，得 ksk 22 ，解得
22ksk
由题意,有 111
1 ,22
2
kkkk
k asssa
将 22ksk 代入，化简得
01644 2
1
2
1 kaa kk
解得 kak 421 .由 01 ka ∴ 2)1(4421 kkak
这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.
根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.
[例2] 用数学归纳法证明对于任意自然数 ，
错解：证明：假设当 （ k N）时，等式成立，
即 ，
那么当 时，
这就是说，当 时，等式成立．
可知等式对任意 k N 成立．
错因在于推理不严密，没有证明当 的情况 ．
正解：证明：（1）当 时，左式 ，右式 ，所以等式成立．
（2）假设当 （ ）时，等式成立，
即 ，
那么当 时，
这就是说，当 时，等式成立．
由（1）、（2），可知等式对任意 k N 成立．
[例 3] 是否存在自然数 m ，使得 对任意自然数 ，都能被 整除，
若存在，求出 的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
分析 本题是开放性题型，先求出 )1(f ， )2(f ， )3(f …再归纳、猜想、证明．
解： ，
，
，
……
猜想， 能被 36 整除，用数学归纳法证明如下：
（1）当 时， ，能被 36 整除．
（2）假设当 kn ，（ k N）时， 能被 36 整除．
那么，当 时，
由归纳假设， 能被 36 整除，
当 为自然数时， 为偶数，则 能被 36 整除．
∴ 能被 36 整除，
这就是说当 时命题成立．
由（1）、（2）对任意 ， )(nf 都能被 36 整除．
当 取大于 36 的自然数时， 36)1( f 不能被 整除，所以 36 为最大．
[例 4] 设点 1A 是曲线 C： )0,0(1 yxxy 与直线 xy 的交点，过 1A 点作直线 xy
的垂线交 轴于 1B ，过 1B 点作直线 xy 的平行线交曲线 C 于 2A ，再过 2A 点作 1B 2A 的
垂线作交 X 轴于 2B ，如此继续下去可得到一系列的点 ， ，…， ，…如图，试求
的横坐标 的通项公式．
分析 本题并没有指明求 通项公式的方法，可用归纳——猜想——证明的方法，也可以
通过寻求 与 的递推关系式求 的通项公式．
解：解法一 与 （ ， ）联立，解得
直线 的方程为 ， 令 ，得 ，所以点
直线 的方程为 与 联立，消元得 （ ），解得
， 所以点 （ ， ）．
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，所以点 同样可求得点 （ ，0）
……
由此推测 （ ，0），即
用数学归纳法证明
（1）当 时，由 点的坐标为（ ，0），
即 ，所以命题成立．
（2）假设当 时命题成立，
即 ，0），则当 时，
由于直线 的方程为 ，
把它与 （ ， ）联立，
消去 可得 （ ），
∴
于是
即点 的坐标为（ ， ）．
∴ 直线 的方程为
令 得，
即 点的坐标为（ ，0）
∴ 当 时，命题成立．
解法二 设点 ， 的坐标分别为（ ，0）、（ ，0），
建立 与 的递推关系 ，即 ，
由数列 是等差数列，且 ，公差
可求得 （ ）， ．
用数学归纳法证明与自然数 n 有关的几何命题，由 k 过渡到 k＋1 常利用几何图形来分
析图形前后演变情况．
[例 5] 有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：
这 n 个圆把平面分成 f(n)＝n2-n＋2 个部分．
证明①当 n＝1 时，即一个圆把平面分成二个部分 f(1)=2
又 n＝1 时，n2-n＋2＝2，∴命题成立
②假设 n＝k 时，命题成立，即 k 个圆把平面分成 f(k)＝k2-k＋2 个
部分，那么设第 k＋1 个圆记⊙O，由题意，它与 k 个圆中每个圆
交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其它 k 个圆相交于 2k
个点．把⊙O 分成 2k 条弧而每条弧把原区域分成 2 块，因此这平
面的总区域增加 2k 块，即 f(k＋1)＝k2-k＋2＋2k=(k＋1)2-(k＋1)＋2
即 n＝k＋1 时命题成立．
由①②可知对任何 n∈N 命题均成立．
说明: 本题如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析 k 增加“1”时，研究第 k＋1
个圆与其它 k 个圆的交点个数问题．
由①②可知，对任何 n∈N(n≥2)，原不等式均成立．
四、典型习题导练
1.用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋（ n ＋3）=
2
)4)(3( nn ( n N)”，
当 n =1 时，左边应为____________.
2.已知数列{ na }的前 n 项和 nn ans 2 ，则{ na }的前四项依次为_______,猜想
na =__________.
3.已知数列 :,}{ 且满足的各项都是正数na .),4(,2
1,1 10 Nnaaaa nnn
证明 Nnaa nn ,21 .
4.已知不等式 nnn
其中],[log2
11
3
1
2
1
2 为大于 2 的整数， ][log 2 n 表示不超过
n2log 的 最 大 整 数 . 设 数 列 }{ na 的 各 项 为 正 ， 且 满 足
,4,3,2,),0(
1
1
1
nan
naabba
n
n
n 证明 ,5,4,3,][log2
2
2
nnb
ban .
5. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能
力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量，n∈N*，且 x1＞0.
不考虑其它因素，设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比，死亡量与 xn
2 成正比，
这些比例系数依次为正常数 a，b，c.
（1）求 xn+1 与 xn 的关系式；
（2）猜测：当且仅当 x1，a，b，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？
（3）设 a＝2，c＝1，为保证对任意 x1∈（0,2），都有 xn＞0，n∈N*，则捕捞强度 b 的
最大允许值是多少？证明你的结论.
高考数学练习题---文科圆锥曲线(附参考答案)
一、选择题
1.【2012 高考新课标文 4】设 1 2F F 是椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
的左、右焦点，P 为直
线 3
2
ax 上一点， 12 PFF 是底角为30 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）
( )A 1
2 ( )B 2
3 ( )C
( )D
【答案】C
【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思
想，是简单题.
【解析】∵△ 2 1F PF 是底角为 030 的等腰三角形，
∴ 0
2 60PF A ， 2 1 2| | | | 2PF F F c ，∴ 2| |AF = c ，
∴ 32 2c a ，∴ e = 3
4
，故选 C.
2.【2012 高考新课标文 10】等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线
xy 162 的准线交于 ,A B 两点， 4 3AB ；则C 的实轴长为（ ）
( )A 2 ( )B 2 2 ( )C ( )D
【答案】C
【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.
【解析】由题设知抛物线的准线为： 4x ，设等轴双曲线方程为： 2 2 2x y a ，将 4x
代入等轴双曲线方程解得 y = 216 a ，∵| |AB = 4 3 ，∴ 22 16 a = 4 3 ，解得 a =2，
∴C 的实轴长为 4，故选 C.
3.【2012 高考山东文 11】已知双曲线 1C ：
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的离心率为 2.若抛物线
2
2 : 2 ( 0)C x py p 的焦点到双曲线 1C 的渐近线的距离为 2，则抛物线 2C 的方程为
(A) 2 8 3
3x y (B) 2 16 3
3x y (C) 2 8x y (D) 2 16x y
【答案】D
考点：圆锥曲线的性质
解析：由双曲线离心率为 2 且双曲线中 a，b，c 的关系可知 ab 3 ，此题应注意 C2 的焦
点在 y 轴上，即（0，p/2）到直线 xy 3 的距离为 2，可知 p=8 或数形结合，利用直
角三角形求解。
4.【2012 高考全国文 5】椭圆的中心在原点，焦距为 4 ，一条准线为 4x ，则该椭圆的方
程为
（A）
2 2
116 12
x y （B）
2 2
112 8
x y
（C）
2 2
18 4
x y （D）
2 2
112 4
x y
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，
然后借助于焦距和准线求解参数 , ,a b c ，从而得到椭圆的方程。
【解析】因为 2 4 2c c ，由一条准线方程为 4x 可得该椭圆的焦点在 x 轴上县
2
24 4 8a a cc
，所以 2 2 2 8 4 4b a c 。故选答案 C
5.【2012 高考全国文 10】已知 1F 、 2F 为双曲线 2 2: 2C x y 的左、右焦点，点 P 在C 上，
1 2| | 2 | |PF PF ，则 1 2cos F PF
（A） 1
4
（B） 3
5
（C） 3
4
（D） 4
5
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。
首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】解：由题意可知， 2 , 2a b c ，设 1 2| | 2 ,| |PF x PF x ，则
1 2| | | | 2 2 2PF PF x a ，故 1 2| | 4 2,| | 2 2PF PF ， 1 2 4F F ，利用余弦定理可
得
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
(4 2) (2 2) 4 3cos 2 42 2 2 4 2
PF PF F FF PF PF PF
。
6.【2012 高考浙江文 8】 如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双
曲线的两顶点。若 M，O，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
A.3 B.2 C. 3 D. 2
【答案】B
【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，通过对两者公交点求解离心率的
关系.
【解析】设椭圆的长轴为 2a，双曲线的长轴为 2a ，由 M，O，N 将椭圆长轴四等分，则
2 2 2a a ，即 2a a ，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为 c，则双曲线的离
心率为 ce a
， ce a
， 2e a
e a
.
7.【2012 高考四川文 9】已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O ，并且经过点
0(2, )M y 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为3 ，则| |OM （ ）
A、 2 2 B、 2 3 C、 4 D、 2 5
【答案】B
[解析]设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则焦点坐标为（ 0,2
p ），准线方程为 x=
2
p ,
32)22(2||
22,2
22,1
32
p22
p-2
22
0
22
0
2
OM
M
yp
y
M
M
有：），根据两点距离公式（点
解得：
）（）（
线的距离，即到焦点的距离等于到准
在抛物线上，
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，d
为点 M 到准线的距离).
8.【2012 高考四川文 11】方程 2 2ay b x c 中的 , , { 2,0,1,2,3}a b c ，且 , ,a b c 互不相同，
在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、28 条 B、32 条 C、36 条 D、48 条
【答案】B
[解析]方程 2 2ay b x c 变形得 22
2
b
cy
b
ax ，若表示抛物线，则 0,0 ba
所以，分 b=-2,1,2,3 四种情况：
（1）若 b=-2，
2,1,03
3,1,0,2
3,2,0c,1
或或，
或或
或或
ca
ca
a
; （2）若 b=2,
1,0,23
3,0,2c,1
3,1,0,2
或或，
或或
或或
ca
a
ca
以上两种情况下有 4 条重复，故共有 9+5=14 条；
同理 若 b=1，共有 9 条； 若 b=3 时，共有 9 条.
综上，共有 14+9+9=32 种
[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的 4 条抛物线. 列举法是
解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.
9.【2012 高考上海文 16】对于常数 m 、 n ，“ 0mn ”是“方程 2 2 1mx ny 的曲线是椭
圆”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充
分也不必要条件
【答案】B.
【解析】方程 122 nymx 的曲线表示椭圆，常数常数 nm, 的取值为
0,
0,
,
m
n
m n
所以，由
0mn 得不到程 122 nymx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示
椭圆，能推出 0mn ，因而必要.所以答案选择 B.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程
的组成特征，可以知道常数 nm, 的取值情况.属于中档题.
10.【2012 高考江西文 8】椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦
点分别是 F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为
A. 1
4 B. 5
5 C. 1
2 D. 5-2
【答案】B
【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与
方程，转化与化归思想.
利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知： 1AF a c ， 1 2 2F F c ，
1F B a c .又已知 1AF ， 1 2F F ， 1F B 成等比数列，故 2( )( ) (2 )a c a c c ，即
2 2 24a c c ，则 2 25a c .故 5
5
ce a
.即椭圆的离心率为 5
5 .
【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关 ,a c 的方程，然后化为有关 ,a c 的
齐次式方程，进而转化为只含有离心率 e 的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握
椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.
11.【2012 高考湖南文 6】已知双曲线 C ：
2
2
x
a
-
2
2
y
b
=1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的渐
近线上，则 C 的方程为
A．
2
20
x -
2
5
y =1 B.
2
5
x -
2
20
y =1 C.
2
80
x -
2
20
y =1 D.
2
20
x -
2
80
y =1[
【答案】A
【解析】设双曲线 C ：
2
2
x
a
-
2
2
y
b
=1 的半焦距为 c ，则 2 10, 5c c .
又C 的渐近线为 by xa
，点 P （2,1）在 C 的渐近线上， 1 2b
a
，即 2a b .
又 2 2 2c a b ， 2 5, 5a b ，C 的方程为
2
20
x -
2
5
y =1.
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想
和基本运算能力，是近年来常考题型.
12.【2102 高考福建文 5】已知双曲线
2
2
x
a
-
2
5
y =1 的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等
于
A 3 14
14 B 3 2
4 C 3
2 D 4
3
【答案】C.
考点：双曲线的离心率。
难度：易。
分析：本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率
a
ce 即可。
解答：根据焦点坐标 )0,3( 知 3c ，由双曲线的简单几何性质知 952 a ，所以 2a ，
因此
2
3e .故选 C.
二 、填空题
13.【2012 高考四川文 15】椭圆
2 2
2 1(5
x y aa
为定值，且 5)a 的的左焦点为 F ，直线
x m 与椭圆相交于点 A 、B ， FAB 的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是______。
【答案】
3
2 ，
[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得 a=3 , 又 522 ca
3
2,2
a
cec
[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.
14.【2012 高考辽宁文 15】已知双曲线 x2 y2 =1,点 F1,F2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上
一点，若 P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.
【答案】 2 3
【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适
中。
【解析】由双曲线的方程可知 1 21, 2, 2 2,a c PF PF a
2 2
1 1 2 22 4PF PF PF PF
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
, (2 ) 8, 2 4,
( ) 8 4 12, 2 3
PF PF PF PF c PF PF
PF PF PF PF
【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。
15.【2012 高考江苏 8】（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线
2 2
2 14
x y
m m
的离心
率为 5 ，则 m 的值为 ▲ ．
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由
2 2
2 14
x y
m m
得 2 2= = 4 = 4a m b m c m m ， ， 。
∴
2 4= = = 5c m me a m
，即 2 4 4=0m m ，解得 =2m 。
16.【2012 高考陕西文 14】右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽
4 米，水位下降 1 米后，水面宽 米.
【答案】 62 .
【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为（0,0），
设l 与抛物线的交点为 A B、 ，根据题意，知 A （-2，-2）， B （2，-2）．
设抛物线的解析式为 2axy ，
则有 222 a ，∴
2
1a ．
∴抛物线的解析式为 2
2
1 xy ．
水位下降 1 米，则 y -3，此时有 6x 或 6x ．
∴此时水面宽为 62 米．
17. 【 2012 高 考 重 庆 文 14 】 设 P 为 直 线
3
by xa
与 双 曲 线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
左支的交点， 1F 是左焦点， 1PF 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率
e
18.【2012 高考安徽文 14】过抛物线 2 4y x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 ,A B 两点，若
| | 3AF ，则| |BF =______。
【答案】 3
2
【解析】设 (0 )AFx 及 BF m ；则点 A 到准线 : 1l x 的距离为3
得： 13 2 3cos cos 3
又 2 32 cos( ) 1 cos 2m m m
19. 【 2012 高 考 天 津 文 科 11 】 已 知 双 曲 线 )0,0(1: 2
2
2
2
1 ba
b
y
a
xC 与 双 曲 线
1164:
22
2 yxC 有相同的渐近线，且 1C 的右焦点为 ( 5,0)F ,则 a b
【答案】1，2
【解析】双曲线的 1164
22
yx 渐近线为 xy 2 ，而 12
2
2
2
b
y
a
x 的渐近线为 xa
by ，
所以有 2
a
b ， ab 2 ，又双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x 的右焦点为 )0,5( ，所以 5c ，又
222 bac ，即 222 545 aaa ，所以 2,1,12 baa 。
三、解答题
20. 【2012 高考天津 19】（本小题满分 14 分）
已知椭圆 （a>b>0）,点 P（ , ）在椭圆上。
（I）求椭圆的离心率。
（II）设 A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ 的
斜率的值。
【解析】(Ⅰ) 点 5 2( , )5 2P a a 在椭圆上
2 2
2 2
2
2 2 2 2
1 1
5 3 65 2 1 18 8 4
a a b be ea b a a
(Ⅱ) 设 ( cos , sin )(0 2 )Q a b ；则 ( ,0)A a
2 2 2 2 2
2
(1 cos ) sin
13cos 16cos 5 0 cos 3
AQ AO a b a
直线 OQ 的斜率 sin 5cosOQ
bk a
21.【2012 高考江苏 19】（16 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 1( 0)F c ， ， 2 ( 0)F c， ．已知 (1 )e， 和 3
2e
， 都在椭圆上，其中 e 为椭圆
的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设 ,A B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 1AF 与直线 2BF 平行， 2AF 与 1BF 交于
点 P．
（i）若 1 2
6
2AF BF ，求直线 1AF 的斜率；
（ii）求证： 1 2PF PF 是定值．
【答案】解：（1）由题设知， 2 2 2= = ca b c e a
， ，由点 (1 )e， 在椭圆上，得
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 11 =1 = = =1e c b c a b a a b b
a b a a b
，
∴ 2 2= 1c a 。
由点 3
2e
， 在椭圆上，得
2 2
2 2 2
4 2 2
2 2 4 4
3 3
2 2 1 31 1 1 4 4=0 =21 4
e c a a a a
a b a a
∴椭圆的方程为
2
2 12
x y 。
（2）由（1）得 1( 1 0)F ， ， 2 (1 0)F ， ，又∵ 1AF ∥ 2BF ，
∴ 设 1AF 、 2BF 的 方 程 分 别 为 = 1 = 1my x my x ， ，
1 1 2 2 1 20 0A x y B x y y > y >， ， ， ， ， 。
∴
2
221 2 21
1 1 1 2
1 1
2 21 2 2 1=0 =2 2= 1
x m my m y my y
mmy x
。
∴ 2 22
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 2
2 1 12 2= 1 0 = = 1 2 2
m m mm mAF x y my y m m m
。①
同理， 2 2
2 2
2 1 1
= 2
m m m
BF m
。②
（i）由①②得，
2
1 2 2
2 1
2
m mAF BF m
。解
2
2
2 1 6=2 2
m m
m
得 2m =2。
∵注意到 0m > ，∴ = 2m 。
∴直线 1AF 的斜率为 1 2= 2m
。
（ ii ） 证 明 ： ∵ 1AF ∥ 2BF ， ∴ 2
1 1
BFPB
PF AF
， 即
2 1 2 1
1 1 1 1
1 1BF PB PF BF AFPB
PF AF PF AF
。
∴ 1
1 1
1 2
= AFPF BFAF BF
。
由点 B 在椭圆上知， 1 2 2 2BF BF ，∴ 1
1 2
1 2
= 2 2AFPF BFAF BF
。
同理。 2
2 1
1 2
= 2 2BFPF AFAF BF
。
∴ 1 2 2
1 2 2 1
1 2 1 2 1 2
2+ = 2 2 2 2 2 2AF BF AF BFPF PF BF AFAF BF AF BF AF BF
由①②得， 2
1 2
2 2 1
=
2
m
AF BF
m
，
2
2
1=
2
mAF BF
m
，
∴ 1 2
2 3+ =2 2 = 22 2PF PF 。
∴ 1 2PF PF 是定值。
【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。
【解析】（1）根据椭圆的性质和已知 (1 )e， 和 3
2e
， 都在椭圆上列式求解。
（2）根据已知条件 1 2
6
2AF BF ，用待定系数法求解。
22.【2012 高考安徽文 20】（本小题满分 13 分）
如图， 21, FF 分别是椭圆 C ： 2
2
a
x + 2
2
b
y =1（ 0 ba ）
的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线 2AF 与椭圆C 的另
一个交点， 1F A 2F =60°.
（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；
（Ⅱ）已知△ A BF1 的面积为 40 3 ，求 a, b 的值.
【解析】（I） 1 2
160 2 2
cF AF a c e a
（Ⅱ）设 2BF m ；则 1 2BF a m
在 1 2BF F 中， 2 2 2
1 2 1 2 2 1 22 cos120BF BF F F BF F F
2 2 2 3(2 ) 5a m m a am m a
1AF B 面积 2 1
1 1 3 3sin 60 ( ) 40 32 2 5 2
10, 5, 5 3
S F F AB a a a
a c b
23.【2012 高考广东文 20】（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 1C ：
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a b ）的左焦点为
1( 1,0)F ，且点 (0,1)P 在 1C 上.
（1）求椭圆 1C 的方程；
（2）设直线l 同时与椭圆 1C 和抛物线 2C ： 2 4y x 相切，求直线l 的方程.
【答案】
【解析】（1）因为椭圆 1C 的左焦点为 1( 1,0)F ，所以 1c ，
点 (0,1)P 代入椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
，得 2
1 1b
，即 1b ，
所以 2 2 2 2a b c ，
所以椭圆 1C 的方程为
2
2 12
x y .
（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为 y kx m ，
2
2 12
x y
y kx m
，消去 y 并整理得 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m ，
因为直线l 与椭圆 1C 相切，所以 2 2 2 216 4(1 2 )(2 2) 0k m k m ，
整理得 2 22 1 0k m ①
2 4y x
y kx m
，消去 y 并整理得 2 2 2(2 4) 0k x km x m 。
因为直线l 与抛物线 2C 相切，所以 2 2 2(2 4) 4 0km k m ，
整理得 1km ②
综合①②，解得
2
2
2
k
m
或
2
2
2
k
m
。
所以直线l 的方程为 2 22y x 或 2 22y x 。
24.【2102 高考北京文 19】(本小题共 14 分)
已知椭圆 C：
2
2
x
a +
2
2
y
b =1（a＞b＞0）的一个顶点为 A （2,0），离心率为 2
2
， 直线 y=k(x-1)
与椭圆 C 交与不同的两点 M,N
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程
（Ⅱ）当△AMN 的面积为 10
3
时，求 k 的值
【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是
非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。
解：（1）由题意得
2 2 2
2
2
2
a
c
a
a b c
解得 2b .所以椭圆 C 的方程为
2 2
14 2
x y .
（2）由 2 2
( 1)
14 2
y k x
x y
得 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 4 0k x k x k .
设 点 M,N 的 坐 标 分 别 为 1 1( , )x y ， 2 2( , )x y ， 则 1 1( 1)y k x ， 2 2( 1)y k x ，
2
1 2 2
4
1 2
kx x k
，
2
1 2 2
2 4
1 2
kx x k
.
所以|MN|= 2 2
2 1 2 1( ) ( )x x y y = 2 2
1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]k x x x x =
2 2
2
2 (1 )(4 6 )
1 2
k k
k
.
由因为点 A(2,0)到直线 ( 1y k x ）的距离
2
| |
1 2
kd
k
，
所以△ AMN 的面 积为
2
2
1 | | 4 6| |2 1 2
k kS MN d k
. 由
2
2
| | 4 6 10
1 2 3
k k
k
，解 得
1k .
25.【2012 高考山东文 21】 (本小题满分 13 分)
如图，椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yM a ba b
的离心率为 3
2
，直线 x a 和 y b 所围成的矩
形 ABCD 的面积为 8.
(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程；
(Ⅱ) 设直线 : ( )l y x m m R 与椭圆 M 有两个不同的交点 , ,P Q l 与矩形 ABCD 有两个
不同的交点 ,S T .求 | |
| |
PQ
ST
的最大值及取得最大值时 m 的值.
【答案】(21)(I)
2 2
2
3 3
2 4
c a be a a
……①
矩形 ABCD 面积为 8，即 2 2 8a b ……②
由①②解得： 2, 1a b ，
∴椭圆 M 的标准方程是
2
2 14
x y .
(II)
2 2
2 24 4, 5 8 4 4 0
,
x y x mx m
y x m
，
设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ，则
2
1 2 1 2
8 4 4,5 5
mx x m x x ，
由 2 264 20(4 4) 0m m 得 5 5m .
2 2
28 4 4 4 2| | 2 4 55 5 5
mPQ m m
.
当 l 过 A 点时， 1m ，当 l 过 C 点时， 1m .
①当 5 1m 时，有 ( 1, 1), (2,2 ),| | 2(3 )S m T m ST m ，
2
2 2
| | 4 5 4 4 6 1| | 5 (3 ) 5
PQ m
ST m t t
，
其中 3t m ，由此知当 1 3
4t
，即 4 5, ( 5, 1)3 3t m 时， | |
| |
PQ
ST
取得最大值 2 55 .
②由对称性，可知若1 5m ，则当 5
3m 时， | |
| |
PQ
ST
取得最大值 2 55 .
③当 1 1m 时，| | 2 2ST ， 2| | 2 5| | 5
PQ mST
，
由此知，当 0m 时， | |
| |
PQ
ST
取得最大值 2 55 .
综上可知，当 5
3m 和 0 时， | |
| |
PQ
ST
取得最大值 2 55 .
26.【2102 高考福建文 21】（本小题满分 12 分）
如图，等边三角形 OAB 的边长为8 3 ，且其三个顶点均在抛物线 E：x2=2py（p＞0）上。
（1） 求抛物线 E 的方程；
（2） 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y=-1 相较于点 Q。证明以 PQ 为直径的圆
恒过 y 轴上某定点。
考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。
难度：难。
分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计
算。
解答：
（I）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ；则 2 2
1 1 2 22 , 2x py x py
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
( )(2 ) 0 ( 2 , , 0)
OA OB x y x y py y py y
y y p y y y y p y y
得：点 ,A B 关于 y 轴对称（lfxlby）
8 3 ( 4 3,12), (4 3,12)OA OB AB A B
代入抛物线 E 的方程得：
2
22
xp y
抛物线 E 的方程为 2 4x y
（II）设
2
0
0( , )4
xP x ；则 21 1
4 2y x y x
过点 P 的切线方程为 2
0 0 0
1 1 ( )4 2y x x x x 即 2
0 0
1 1
2 4y x x x
令
2
0
0
41 ( , 1)2
xy Q x
设 (0, )M t 满足： 0MP MQ
及
2
0
0 0
0
4( , ), ( , 1 )2
xMP x y t MQ tx
得： 2 2
04( 2) (1 ) 0t t t x 对 0 0x 均成立
2 2 0,1 0 1t t t t
以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上定点 (0,1)M
27.【2012 高考上海文 22】（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2
小题满分 5 分，第 3 小题满分 6 分
在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 2 2: 2 1C x y
（1）设 F 是C 的左焦点， M 是C 右支上一点，若 2 2MF ，求点 M 的坐标；
（2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
（3）设斜率为 k （ 2k ）的直线 l 交 C 于 P 、Q 两点，若l 与圆 2 2 1x y 相切，求
证：OP ⊥OQ
[解]（1）双曲线 1: 2
2
1
2 yC x ，左焦点 )0,( 2
6F .
设 ),( yxM ，则 2
2
222
2
62 )3()(|| xyxMF ， ……2 分
由 M 是右支上一点，知 2
2x ，所以 223|| 2
2 xMF ，得 2
6x .
所以 )2,( 2
6 M . ……5 分
（2）左顶点 )0,( 2
2A ，渐近线方程： xy 2 .
过 A 与渐近线 xy 2 平行的直线方程为： )(2 2
2 xy ，即 12 xy .
解方程组
12
2
xy
xy ，得
2
1
4
2
y
x . ……8 分
所求平行四边形的面积为 4
2|||| yOAS . ……10 分
（3）设直线 PQ 的方程是 bkxy .因直线与已知圆相切，故 11
||
2 k
b ，
即 122 kb (*).
由
12 22 yx
bkxy ，得 012)2( 222 bkbxxk .
设 P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则
2
2
2
2
1
21
2
2
21
k
b
k
kb
xx
xx
.
))(( 2121 bkxbkxyy ，所以
2
2121
2
2121 )()1( bxxkbxxkyyxxOQOP
2
22
2
22
2
22
2
1
2
2
2
)1)(1(
k
kb
k
bk
k
bk
.
由(*)知 0OQOP ，所以 OP⊥OQ. ……16 分
【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别
要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为
2 ，它的渐近线为 xy ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本
题属于中档题 ．
28．【2012 高考新课标文 20】（本小题满分 12 分）
设抛物线 C：x2=2py(p>0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径
的圆 F 交 l 于 B，D 两点.
（I）若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2，求 p 的值及圆 F 的方程；
（II）若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求
坐标原点到 m，n 距离的比值.
【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛
物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查
数形结合思想和运算求解能力.
【解析】设准线l 于 y 轴的焦点为 E，圆 F 的半径为 r ，
则|FE|= p ，| | | |= | |FA FB FD = r ，E 是 BD 的中点，
(Ⅰ) ∵ 090BFD ，∴| | | |= | |FA FB FD = 2p ，|BD|= 2p ，
设 A( 0x ， 0y )，根据抛物线定义得，|FA|= 02
p y ，
∵ ABD 的面积为 4 2 ，∴ ABDS = 0
1 | | ( )2 2
pBD y = 1 2 22 p p = 4 2 ，解得 p =2，
∴F(0,1), FA|= 2 2 ， ∴圆 F 的方程为： 2 2( 1) 8x y ；
(Ⅱ)【解析 1】∵ A ，B ，F 三点在同一条直线 m 上, ∴ AB 是圆 F 的直径， 090ADB ,
由抛物线定义知 1| | | | | |2AD FA AB ，∴ 030ABD ，∴ m 的斜率为 3
3
或－ 3
3
，
∴直线 m 的方程为： 3
3 2
py x ，∴原点到直线 m 的距离 1d = 3
4 p ，
设直线 n 的方程为： 3
3y x b ，代入 2 2x py 得， 2 2 3 2 03x x pb ，
∵ n 与C 只有一个公共点， ∴ = 24 8 03 p pb ，∴
6
pb ，
∴直线 n 的方程为： 3
3 6
py x ，∴原点到直线 n 的距离 2d = 3
12 p ，
∴坐标原点到 m ， n 距离的比值为 3.
【解析 2】由对称性设
2
0
0 0( , )( 0)2
xA x xp
，则 (0, )2
pF
点 ,A B 关于点 F 对称得：
2 2
2 20 0
0 0( , ) 32 2 2
x x pB x p p x pp p
得： 3( 3 , )2
pA p ，直线
3
32 2: 3 02 23
p p
p pm y x x y
p
2
2 3 32 2 3 3
x xx py y y x pp p
切点 3( , )3 6
p pP
直线 3 3 3: ( ) 3 06 3 3 6
p pn y x x y p
坐标原点到 ,m n 距离的比值为 3 3: 32 6
p p 。
29.【2012 高考浙江文 22】本题满分 14 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P（1， 1
2
）到
抛物线 C： 2y =2px（P＞0）的准线的距离为 5
4
。点 M（t，1）是 C 上的定点，A，B 是 C 上
的两动点，且线段 AB 被直线 OM 平分。
（1）求 p,t 的值。
（2）求△ABP 面积的最大值。
【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解
析几何的基本思想方法和运算求解能力.
【解析】
（1）由题意得
2 1
51 2 4
pt
p
，得
1
2
1
p
t
.
（2）设 1 1 2 2( , ), ,A x y B x y ，线段 AB 的中点坐标为 ( , )Q m m
由题意得，设直线 AB 的斜率为 k（k 0 ）.
由
2
1 1
2
2 2
2px
2px
y
y
，得 2 1 1 2 2 1( )( ) ( )y y y y k x x ，得 2 1k m
所以直线的方程为 1 ( )2y m x mm
，即 22 2 0x my m m .
由
2
2
2 2 0x my m m
y x
，整理得 2 22 2 0y my m m ，
所以 24 4m m ， 1 2 2y y m ， 2
1 2 2y y m m .从而得
2 2
1 22
11 1 4 4 4AB y y m m mk
，
设点 P 到直线 AB 的距离为 d，则
2
2
1 2 2
1 4
m m
d
m
，设 ABP 的面积为 S，则 2 21 1 2( )2S AB d m m m m .
由 24 4 0m m ，得 0 1m .
令 2t m m ， 10 2t ，则 2(1 2 )S t t .
设 2(1 2 )S t t ， 10 2t ，则 21 6S t .
由 21 6 0S t ，得 6 10,6 2t
，所以 max
6
9S ，故 ABP 的面积的最大值为 6
9 .
30.【2012 高考湖南文 21】（本小题满分 13 分）
在直角坐标系 xOy 中，已知中心在原点，离心率为 1
2
的椭圆 E 的一个焦点为圆 C：x2+y2-4x+2=0
的圆心.[
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；
（Ⅱ）设 P 是椭圆 E 上一点，过 P 作两条斜率之积为 1
2
的直线 l1，l2.当直线 l1，l2 都与圆 C
相切时，求 P 的坐标.
【答案】
【解析】（Ⅰ）由 2 2 4 2 0x y x ，得 2 2( 2) 2x y .故圆Ｃ的圆心为点
(2,0), 从而可设椭圆Ｅ的方程为
2 2
2 2 1( 0),x y a ba b
其焦距为 2c ，由题设知
2 2 212, , 2 4, 12.2
cc e a c b a ca
故椭圆Ｅ的方程为：
2 2
1.16 12
x y
（Ⅱ）设点 p 的坐标为 0 0( , )x y ， 1 2,l l 的斜分率分别 为 1 2, .k k 则 1 2,l l 的方程分别为
1 0 1 0 2 0 2 0: ( ), : ( ),l y y k x x l y y k x x 且 1 2
1 .2k k 由 1l 与圆 2 2:( 2) 2c x y 相
切，得
1 0 1 0
2
1
2 2
1
k y k x
k
，
即 2 2 2
0 1 0 0 2 0(2 ) 2 2(2 ) 2 0.x k x y k y
同理可得 2 2 2
0 2 0 0 2 0(2 ) 2 2(2 ) 2 0x k x y k y .
从而 1 2,k k 是方程 0 2 2
0 0 0 0(2 ) 2 2(2 ) 2 0x k x y k y 的两个实根，于是
2
0
2 2
0 0
(2 ) 2 0,
8 (2 ) 2 0,
x
x y
①
且
2
0
1 2 2
2
2 2.(2 ) 2
yk k x
由
2 2
0 0
2
0
2
0
1,16 12
2 1
(2 ) 2 2
x y
y
x
得 2
0 05 8 36 0.x x 解得 0 2,x 或 0
10.5x
由 0 2x 得 0 3;y 由 0
18
5x 得 0
57 ,5y 它们满足①式，故点Ｐ的坐标为
( 2,3) ，或 ( 2, 3) ，或 18 57( , )5 5
，或 18 57( , )5 5
.
【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、
函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出 , ,c a b 即得椭圆 E 的
方程，第二问设出点 P 坐标，利用过 P 点的两条直线斜率之积为 1
2
，得出关于点 P 坐标的
一个方程，利用点 P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点 P 坐标.
31.【2012 高考湖北文 21】（本小题满分 14 分）
设 A 是单位圆 x2+y2=1 上任意一点，l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线，D 是直线 l 与 x 轴的交点，
点 M 在直线 l 上，且满足 当点 A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹
为曲线 C。
（1）求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。
（2）过原点斜率为 K 的直线交曲线 C 于 P，Q 两点，其中 P 在第一象限，且它在 y 轴上的
射影为点 N，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H，是否存在 m,使得对任意的 K>0，都有 PQ⊥PH？
若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由。
21. 【答案】
解：（Ⅰ）如图 1，设 ( , )M x y ， 0 0( , )A x y ，则由| | | | ( 0, 1)DM m DA m m 且 ，
可得 0x x ， 0| | | |y m y ，所以 0x x ， 0
1| | | |y ym
. ①
因为 A 点在单位圆上运动，所以 2 2
0 0 1x y . ②
将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为
2
2
2 1 ( 0, 1)yx m mm
且 .
因为 (0, 1) (1, )m ，所以
当 0 1m 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为 2( 1 , 0)m ， 2( 1 , 0)m ；
当 1m 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为 2(0, 1)m ， 2(0, 1)m .
（Ⅱ）解法 1：如图 2、3， 0k ，设 1 1( , )P x kx ， 2 2( , )H x y ，则 1 1( , )Q x kx ， 1(0, )N kx ，
直线 QN 的方程为 12y kx kx ，将其代入椭圆 C 的方程并整理可得
2 2 2 2 2 2 2
1 1( 4 ) 4 0m k x k x x k x m .
依题意可知此方程的两根为 1x ， 2x ，于是由韦达定理可得
2
1
1 2 2 2
4
4
k xx x m k
，即
2
1
2 2 24
m xx m k
.
因为点 H 在直线 QN 上，所以
2
1
2 1 2 2 2
22 4
km xy kx kx m k
.
于是 1 1( 2 , 2 )PQ x kx ，
2 2
1 1
2 1 2 1 2 2 2 2
4 2( , ) ( , )4 4
k x km xPH x x y kx m k m k
.
而 PQ PH 等价于
2 2 2
1
2 2
4(2 ) 04
m k xPQ PH m k
，
即 22 0m ，又 0m ，得 2m ，
故存在 2m ，使得在其对应的椭圆
2
2 12
yx 上，对任意的 0k ，
都有 PQ PH .
P
O x
y
N
Q
图 2 (0 1)m
H P
O x
y
N
Q
图 3 ( 1)m
H
图 1
O D x
y
A
M
第 21 题解答图
解法 2：如图 2、3， 1 (0, 1)x ，设 1 1( , )P x y ， 2 2( , )H x y ，则 1 1( , )Q x y ，
1(0, )N y ，
因为 P ， H 两点在椭圆 C 上，所以
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2
2 2
,
,
m x y m
m x y m
两式相减可得
2 2 2 2 2
1 2 1 2( ) ( ) 0m x x y y . ③
依题意，由点 P 在第一象限可知，点 H 也在第一象限，且 P ， H 不重合，
故 1 2 1 2( )( ) 0x x x x . 于是由③式可得
21 2 1 2
1 2 1 2
( )( )
( )( )
y y y y mx x x x
. ④
又Q ， N ， H 三点共线，所以 QN QHk k ，即 1 1 2
1 1 2
2y y y
x x x
.
于是由④式可得
2
1 1 2 1 2 1 2
1 1 2 1 2 1 2
( )( )1
2 ( )( ) 2PQ PH
y y y y y y y mk k x x x x x x x
.
而 PQ PH 等价于 1PQ PHk k ，即
2
12
m ，又 0m ，得 2m ，
故存在 2m ，使得在其对应的椭圆
2
2 12
yx 上，对任意的 0k ，都有
PQ PH .
【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想
以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，
不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求
解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.
32.【2012 高考全国文 22】（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知抛物线 2: ( 1)C y x 与圆 2 2 21:( 1) ( ) ( 0)2M x y r r 有一个公共点 A ，
且在点 A 处两曲线的切线为同一直线 l .
（Ⅰ）求 r ；
（Ⅱ）设 m 、n 是异于l 且与C 及 M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为 D ，求 D 到l 的
距离。
【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并
在此基础上求解点到直线的距离。
解：（1）设 2
0 0( ,( 1) )A x x ，对 2( 1)y x x 求导得 2( 1)y x ，故直线l 的斜率
02( 1)k x ，当 0 1x 时，不合题意，所心 0 1x
圆心为 1(1, )2M ， MA 的斜率
2
0
0
1( 1) 2
1
x
k x
由l MA 知 1kk ，即
2
0
0
0
1( 1) 22( 1) 11
x
x x
，解得 0 0x ，故 (0,1)A
所以 2 21 5| | (1 0) ( 1)2 2r MA
（2）设 2( ,( 1) )a a 为C 上一点，则在该点处的切线方程为 2( 1) 2( 1)( )y a a x a 即
22( 1) 1y a x a
若该直线与圆 M 相切，则圆心 M 到该切线的距离为 5
2
，即
2
2 2
1| 2( 1) 1 1| 52
2[2( 1)] ( 1)
a a
a
，化简可得 2 2( 4 6) 0a a a
求解可得 0 1 20, 2 10, 2 10a a a
抛物线C 在点 2( ,( 1) )( 0,1,2)i ia a i 处的切线分别为 , ,l m n ，其方程分别为
2 1y x ① 2
1 12( 1) 1y a x a ② 2
2 22( 1) 1y a x a ③
②－③得 1 2 22
a ax ，将 2x 代入②得 1y ，故 (2, 1)D
所以 D 到直线l 的距离为
2 2
| 2 2 ( 1) 1| 6 5
52 ( 1)
d
。
【点评】该试题出题的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研
究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另
外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以
后的学习也是一个需要练习的方向。
33.【2012 高考辽宁文 20】(本小题满分 12 分)
如图，动圆 2 2 2
1 :C x y t ,10
而当 1 或-1 为方程（*）的根时，m 的值为-1 或 1.
结合题设（m>0）可知，m>0，且 m≠1
设 Q、R 的坐标分别为（XQ,YQ）,(XR,YR),则为方程（*）的两根.
因为 PRPQ ,所以 XX RQ ，
3
32
,3
32 22
mXmX mm
PQ
所以
1312
21
1312
1312
2
2
2
m
m
X
X
m
PQ
PR
R
P 。
此时 231,131 22
mm
且
所以
3
5
1312
21,3
1312
211
m22
且
m
所以
3
5,31
X
X
X
X
P
R
P
R
PQ
PR
PQ
PR 且
综上所述， ），（），的取值范围是（ 33
5
3
51
PQ
PR …………………………12 分
[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能
力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。
36.【2012 高考重庆文 21】本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分）
已知椭圆的中心为原点 O ，长轴在 x 轴
上，上顶点为 A ，左、右焦点分别为
1 2,F F ，线段 1 2,OF OF 的中点分别为
1 2,B B ，且△ 1 2AB B 是面积为 4 的直角三
角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过 1B 作直线交椭圆于 ,P Q ，
2 2PB QB ，求△ 2PB Q 的面积
【答案】：（Ⅰ）
2
20
x +
2
4
y =1（Ⅱ）16 10
9
， 1 2 |OA B B
（*）
设 1 1 2 2( , ), ( , ),P x y Q x y 则 1 2,y y 是上面方程的两根，因此 1 2 2
4 ,5
my y m
1 2 2
16
5y y m
又 1 1 1 2 2 2( 2, ), ( 2, )B P x y B P x y ， 所 以
1 2 1 2( 2)( 2)B P B P x x
1 2y y 1 2 1 2( 4)( 4)my my y y 2
1 2( 1)m y y 1 24 ( ) 16m y y
2 2
2 2
16( 1) 16 165 5
m m
m m
2
2
16 64
5
m
m
由 2 2PB QB ，知 2 2 0B P B Q ，即 216 64 0m ，解得
2m
当 2m 时，方程（*）化为： 29 8 16 0y y
故 1 2
4 4 10 4 4 10,9 9y y ， 1 2
8 10| | 9y y
2PB Q 的面积 1 2 1 2
1 16 10| || |2 9S B B y y 当 2m 时，同理可得（或
由对称性可得） 2PB Q 的面积 16 10
9S 综上所述， 2PB Q 的面积为
16 10
9
。
37.【2012 高考陕西文 20】（本小题满分 13 分）
已知椭圆
2
2
1 : 14
xC y ，椭圆 2C 以 1C 的长轴为短轴，且与 1C 有相同的离心率。
（1）求椭圆 2C 的方程；
（2）设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 1C 和 2C 上， 2OB OA ，求直线 AB 的方程。
【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆 2C 的方程为
2 2
2 1 24
y x aa
，
其离心率为 3
2 ，故
2 4 3
2
a
a
，则 4a ．
故椭圆 2C 的方程为 1416
22
xy ．
（Ⅱ）解法一： A B， 两点的坐标分别为 A A B Bx y x y， ， ， ，
由 2AB OA 及（Ⅰ）知，O A B， ， 三点共线且点 A B， 不在 y 轴上，
因此可设直线 AB 的方程为 kxy ．
将 kxy 代入 14
2
2
yx 中，得 441 22 xk ，所以 2
2
41
4
kx A ，
将 kxy 代入
2 2
+ 116 4
y x 中，得 2 24 16k x ，所以 2
2
16
4Bx k
，
又由 2AB OA ，得 22 4 AB xx ，即 22 41
16
4
16
kk
．
解得 1k ，故直线 AB 的方程为 xy 或 xy ．
解法二： A B， 两点的坐标分别为 BBAA yxyx ,,, ，
由 OAAB 2 及（Ⅰ）知，O A B， ， 三点共线且点 A B， 不在 y 轴上，
因此可设直线 AB 的方程为 kxy ．
将 kxy 代入 14
2
2
yx 中，得 441 22 xk ，所以 2
2
41
4
kx A ，
又由 2AB OA ，得 2
2
41
16
kxB ， 2
2
2
41
16
k
kyB
，
将 22 , BB yx 代入 1416
22
xy
中，得 1
41
4
2
2
k
k ，即 22 414 kk ，
解得 1k ，故直线 AB 的方程为 xy 或 xy
高考数学复习知识与能力测试题（二）
（文 科）(附参考答案)
第一部分 选择题（共 50 分）
一、选择题： (本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）.
1、已知i 是虚数单位，则复数
i
i
1
)1( 2
等于（ ）.
A、 i1 B、 i1 C、 i1 D、 i1
2、已知等比数列 na 中， nT 表示前 n 项的积，若 5T ＝1，则（ ）.
A、 1a ＝1 B、 3a ＝1 C、 4a ＝1 D、 5a ＝1
3、设集合 30 xxM ， 20 xxN ，那么 ””是““ NaMa 的
（ ）.
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球的表
面积是（ ）.
A、16 B、20 C、24 D、32
5、两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 akm ，灯塔 A 在观察站 C 的北
偏东 200.灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 400，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为（ ）
km .
A、 a B、 a2 C、 a2 D、 a3
6、设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中
的一个交点为 P，若△F1P F2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）.
A、
2
2 B、
2
12 C、 22 D、 12
7 、 已 知 向 量
)(ca,2
5)(,5),4,2(),2,1( 的夹角为与则若 cbacba .
A、300 B、600 C、1200 D、1500
8、从 52 张（不含大小王）扑克牌中，任意抽取一张，设事件 A：“抽到红桃”，
事件 B：“抽到皇后 Q”，则事件 AB 的概率为（ ）.
A、
52
1 B、
52
17 C、
52
9 D、
52
51
9、定义两种运算： ,22 baba a b= 2)( ba ，则函数 f(x)＝
2)2(
2
x
x 为
（ ）.
A、奇函数 B、偶函数 C、奇函数且为偶函数 D、非奇函数
且非偶函数
10、废品率 %x 和每吨生铁成本 y（元）之间的回归直线方程为 xy 2256ˆ ，表
明（ ）.
A、废品率每增加 1%，生铁成本增加 258 元
B、废品率每增加 1%，生铁成本增加 2 元
C、废品率每增加 1%，生铁成本每吨增加 2 元
D、废品率不变，生铁成本为 256 元
第二部分 非选择题（共 100 分）
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
11、如果直线 1)1(0 22 yxayx 与圆 有公共点，那么实数 a 的取值范围
是 .
12、若 ,0,0 yx 且 yxyx
则,191 的最小值为 .
13、图 1 中的算法输出的结果是 .
开始
S＝1
i ＝1
ss i 2
i ＝ i + 1
输出 S
结束
否
是
5i
(图 1) （图 2）
14、▲选做题：在下面两道题中选做一题，两道题都选的只计算前一题的得分。
（1）如图 2，圆 O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P，E 为圆 O
上一点，
弧 AE＝弧 AC，DE 交 AB 于点 F，且 AB＝2BP＝4，则 PF＝ .
（2）设双曲线 )0,0,(tan
sec
baby
ax 为参数
的右焦点为 F，右准线l 与两
条渐线交于 P、Q 两点，如果△PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率ｅ
＝ .
三、解答题:（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）.
15、（本题满分 14 分）
已知函数 xxxxf cossinsin3)( 2
① 求函数 )(xf 的最小正周期；(8 分)
② 求函数
2,0)( xxf 在 的值域. (6 分)
16、（本题满分 12 分）
甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，
判断题 4 个，甲、乙两人依次各抽一题。
① 甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？(6 分)
② 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？(6 分)
17、（本题满分 14 分）
已知数列 na 满足 1a ＝1 ， na ＝ 1
13
n
n a （ 2n ）.
① 求 32 ,aa ；(4 分)
② 证明：求 na .(10 分)
18、（本题满分 14 分）
如图 3：正三棱柱 ABC－A1B1C1，D 是 AC 的
中点，
① 证明：AB1∥平面 DBC1；(5 分)
② 设 AB1⊥BC1，求二面角 D－BC1－C 的大小.(9 分)
(图 3)
19、（本题满分 14 分）
用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截
去一个小正方形，然后把四边翻折 900 角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，
容器的容积最大？最大的容积是多少？
20、（本题满分 14 分）
函 数 )(xf 定 义 在 区 间 （ ,0 ） 上 ， 且 对 任 意 的 ,, RyRx 都 有
)()( xyfxf y
① 求 )1(f 的值；(3 分)
② 若 cbacba 、、且,1 成等比数列，求证： 2)()()( bfcfaf ；(10 分)
③ 若 ),0()(,0)2
1( 在求证： xff 上为增函数. (4 分)
（二）
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C D D C A A B
1、 ii
ii
ii
i
i
12
22
)1)(1(
)1( 2
1
)1( 2
，选 A
2、 ， 所以 1 1 3
5
3543215 aaaaaaaT 选 B
3、 NM , 故选 B
4、设正四棱柱的底面边长为 a 则有 2,164 2 aa ，设球的半径为 r ，
244S,6422)2( 22222 rrr ＝ 球 故选 C
5、△ABC 中，∠ACB＝1200，AB2＝ aABaaa 3,120cos2 0222 选 D
6、 cPFFFPFcFFPF 22PF ,2 1
2
1
2
21
2
2212 ＝得， 由
12
)12(
,222221
c
c
a
ceaccPFPF 选 D
7、∵ ab 2)2,1(2)4,2( ∴
2
5)(, cacbaaba －
2
1
55
2
5
,cos
ca
caca
选 C
8、（略）
9 、
x
x
x
x
x
xxf
2
2
22 4
2)2(
2
2)2(
2)(
)()(4)(
2
xfx
xxf
选 A
10、（略）
二、填空题
11、 ]21,21[ ，12、 16 ，13、 31 ，14、（1） 3 、（2） 2 、
（3） 6 3
11、可知圆心坐标为（0。-1），直线 0 ayx 与该圆有公共点，则 1
11
10
22
a
∴ 2121 a
12、 169210)9(10)91)((
y
x
x
y
y
x
x
y
yxyxyx
13、当 1i 时 3121 s ；当 2i 时， 7322 s
当 3i 时， 15723 s ，当 4i 时， 311524 s
14、（1）如图：∵
ACAE
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠P＋∠PFD
＝∠FEO＋∠EFO
∴∠FEO＝∠P，可证△OEF∽△DPF
即有
PF
EF
DF
OF ，又根据相交弦定理 DF·EF＝BF·AF
可推出
6
2
AP
OB
PF
BF ，从而
3
1
PF
PBPF
∴PF＝3
（2） ∵PF QF， ∴ 122
c
ac
c
ab
cc
a
c
ab
∴ 2, eba
三、解答题
15、解： xxxxf cossinsin3)( 2
xx 2sin2
1
2
2cos13 …………3 分
2
32cos2
32sin2
1 xx
2
3)32sin( x …………6 分
（1）函数 )(xf 的最小正周期是
2
2T …………8 分
（2）∴
20 x ∴
3
4
323
x …………10 分
∴ 1)32sin(2
3 x …………12 分
所以 )(xf 的值域为：
2
32,3 …………14
分
16、解：（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件 A， …………2
分
甲抽到选择题有 6 种抽法，乙抽到判断题有 4 种抽法，所以事件 A 的基本事件数为
2446 ……
……4 分
∴
15
4
910
46)(
AP ………6 分
（2）记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件 B，“至少一人抽到选择题”为事件 C，则 B
含基本事件数为 1234 …………8 分
由 古 典 概 率 公 式 得
15
2
910
12)( BP …………10 分
由 对 立 事 件 的 性 质 可 得
15
3
15
21)(1)( BPCP …………12 分
17、（1）解：（1）解: ∵ 11 a ，∴ 4132 a ， 13432
3 a …………
4 分
(2) 证明：已知 )2(3 1
1
naa n
nn 得
)()( 211 nnnnn aaaaa … 112 )( aaa …………8 分
21 33 nn … 13
2
13
n
…………
12 分
当 1n 时， 12
131
1 a
∴
2
13
n
na …………14 分
18、（1）证明：连结 B1C，B1C∩BC1＝O
则O 为 B1C 的中点，连结OD ，则OD 为
△AB1C 的中位线， …………2 分
∴OD∥AB1 DBCABDBCOD 111 , 面面
∴ DBCAB 11 // 面 …………5 分
（2）解：∵ 111 // ABOD，BCAB
∴ 1BCOD
又 面 EB 11 于点作， 过平面 BCDEDBCABC
则 BBcCCCBC 111 BDE 面， 而面
∴ DDEODBCDE 又1 ，连结 OE，
∴ DOEOEDOEBC 面 面 1
∴ 1BCOE
∴ 的平面角为二面角 CBCDDOE 1 …………9 分
∵ 1111 2
1
2
1 ABODBCOBABBC ， ， 而
∴ ODOB
∴ 是等腰直角三角形 BOD
设正三角形 ,2
3ABC aBDa ＝，则的边长为
∴ aBDOD 4
6
2
又 aBDDE 4
3
2
1 …………12 分
在
2
2sin
OD
DEDOEDOERt 中，
∴ 45＝DOE
故二面角 45CBCD 1 为－－ …………14 分
19、解：设容器的高为 x，容器的体积为 V.
则 ,)248)(290( xxxV (0 < x < 2x)
＝ 43202764 23 xx …………6 分
∵ 432055212 2 xxV‘ …………8 分
由 （舍去） 得 ’ 36,10 0 21 xxV …………9 分
∴ 0V 2410;0V, 100 ＜时， 时 ’‘ xx …………11 分
所以 当 1960V V,10 )10( 有最大值 x
又 00 )24()0( VV ，
所以 1960V 10 10 ＝时， 当 ）（x …………13 分
答：该容器的高为 10cm 时，容器有最大容积 1960 3cm …………14 分
20、（1）解：令 0)1(),1(2)1(,2,1 2 fffyx 则则有 …………3 分
（2）证明：∵ 1 cba
∴存在正数 、 ),( qpqp 使得
qp bcba , …………6 分
又∵ cba 、、 成等比数列
∴ qpqp bbbacb .2
∴ 2 qp
从 1)2( 2 qppq ………9 分
所以 )()()()()()( 22 bfbpqfbfbfcfaf qp …………10 分
（3）对任意 tsxx 、存在,0 21 使得
0)2
1(,,)2
1(,)2
1( 21 ftsxx ts 且 …………11 分
则 ))2
1(())2
1(()()( 21
ts ffxfxf
＝ 0)2
1()( fts
即 )()( 21 xfxf …………13 分
故函数 上是增函数在 ),0()( xf …………14 分
专题一：集合与逻辑
一、集合的基本概念及表示方法
1、 集合的概念：
2、 一般的，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全
体构成的集合，简称集.通常用大写英文字母 A、B、C、····表示。集合中的每个对象叫
做这个集合的元素，通常用小写字母 a、b、c、
3、 集合中元素的三个特征
（1） 确定性；设 A 使一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则 a 是 A 的元素，或者不
是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
（2） 互异性；
集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素
都是不同的.即集合中的元素不重复，两个或两个以上的相同的元素都认为是一个元
素，在用列举法表示时也只能写一个.例如方程 x2+2x+1=0 的解组成的集合 A，必须
写成 A={-1}.
（3）、无序性；
集合中的元素不考虑顺序，对于元素相同而排列顺序不同的集合认为是相同的集合.
例如集合{1，2，3，4}与集合{4，3，2，1}是相同的集合.
4、 集合的分类
集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：含有有限个元素的集合叫做有限集，
含有无限个元素的集合叫做无限集.
5、 集合的表示方法
（1） 列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法.
使用列举法时应注意一下几点：
①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④对于含较多元素的集合如果
构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚后才能用省略
号.如：由方程 x2-1=0 的所有解组成的集合可以表示为{-1，1}.
（2）描述法
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在花括号内表示集合的
方法，即{x∈A│p(x)}.
对于描述法，不能只把注意力放在竖号“│”右边“p”适合的条件，还要对竖号“│”
左边的形式引起足够的重视.
如：所有的直角三角形的集合可以表示为{x│x 是直角三角形}.
（3）图示法
为了形象的表示集合，我们常常画一条封闭的曲线， 1，3，5，8 用
它的内部来表示一个集合.
如图所示，表示集合{1，3，5，8}.
5、空集
不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.
注意：（1）空集中没有任何元素，要区分φ和{0}，集合{0}中有 1 个元素 0，而φ中没有任何
元素，两者有着本质的不同.
（2）空集在实际问题中是实实在在存在的，如在实数范围内方程 x2+1=0 的解集和不等
式 x2+1<0 的解集都是空集.
6、常用数集的符号
为了书写方便对于常用数集用特定的字母表示：
（1） 全体非负整数组成的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作 N；
（2） 非负整数集内排除 0 的集合，称为正整数集，表示成 N*（或 N+）；
（3） 全体整数组成的集合通常简称为整数集，记作 Z；
（4） 全体有理数组成的集合通常简称为有理数集，记作 Q；
（5） 全体实数组成的集合通常简称为实数集，记作 R；
二、集合间的关系
1、包含关系
如果任意 x∈A，=＞x ∈B,则集合 A 是集合 B 的子集，记作 A B 或 B A.显然，任
何集合是他自身的子集，即 A A，空集是任何集合的子集，即φ A.
2、相等关系
对于两个集合 A、B，如果 A B 同时 B A，那么成集合 A 和集合 B 相等，记作 A=B.
显然，两个相等的集合的元素完全相同.
3、真包含关系
对于两个集合 A 和 B，如果 A B，并且 A≠b,称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B,
显然，空集是任何非空集合的真子集，若 A B，则 B 中至少存在一个元素不属于 A.
三、集合与集合间的运算
1、交集；
一般的对于两个给定的集合 A、B，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素构成
的集合，叫做 A 和 B 的交集，记作 A∩B.
2、并集；
一般的对于两个给定的集合 A、B，由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成
的集合，叫做 A 与 B 的并集，记作 A∪B.
3、全集与补集；
含有所要研究的各集合的全部元素的集合称为全集，一般可记作 U，全集是相对
的.若 A 是全集 U 的子集，则由全集中不属于 A 的元素组成的集合称为 A 的补集，记作 CUA.
专题二：命题
一、四种命题及其关系
1、 命题的定义
可以判断真假的语句叫做命题。如：12>5，3 是 12 的约数都是命题.
说明：（1）并不是任何语句都是命题.一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
（2）一个命题一般可以用小写英文字母表示，如 p、q、r、····.
2、四种命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题
的结论是第二个命题的条件，这两个命题叫互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命
题叫做原命题的逆命题。
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命
题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命
题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题.
3、表示形式
若 p 为原命题条件，q 为原命题结论
则：原命题：若 p 则 q 逆命题：若 p 则 q 否命题：若 p 则 q 逆
否命题：若 q 则 p
4、四种命题的关系
（1）关系图：
原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ
（2）真假值具有的关系：
①原命题为真，它的逆命题不一定为真；②原命题为真，它的否命题不一定为真；
③原命题为真，它的逆否命题一定为真；④逆命题为真，否命题一定为真.
二、充分条件、必要条件、充要条件
定义
若 pq，则 p 是 q 的充分条件
若 qp，则 p 是 q 的必要条件
若 pq 且 q≠>p 则 p 是 q 的充分不必要条件
若 qp 且 p≠>q 则 p 是 q 的必要不充分条件
若 qp，则 p 是 q 的充分必要条件
若 p≠>q 且 q≠>p 则 p 是 q 的非充分非必要条件
三、逻辑联结词：“或”“且”“非”
1.或：两个简单命题至少有一个成立. 2.且：两个简单命题都成立.3.非：对一个命题的
否定.
四、简单命题与复合命题
1、 定义：
不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联结词构成
的命题叫复合命题。
2、 表达形式；
简单命题常用小写英文字母 p、q、r 等表示；
复合命题有三类：①p 或 q；②p 且 q；③非 p.
3、真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
五、量词
（1）全称量词
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”
表示.
（2）全称命题
含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题就是形如“对 M 中所有 x，p(x)”
的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x).
（3）存在量词
短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，
逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.
（4）特称命题
含有存在量词的命题叫做特称命题，用符号简记为∃x∈M,p(x).
