2013届高考物理第一轮复习学案17
第十二章 机械振动 机械波 光
学案55 机械振动 用单摆测定重力加速度
一、概念规律题组
1．简谐运动的平衡位置是指( )
A．速度为零的位置 B．回复力为零的位置
C．加速度为零的位置 D．位移最大的位置
2．悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期为2 s，从最低点的位置向上运动时开始计时，它的振动图象如图1所示，由图可知( )
图1
A．t＝1.25 s时振子的加速度为正，速度为正
B．t＝1.7 s时振子的加速度为负，速度为负
C．t＝1.0 s时振子的速度为零，加速度为负的最大值
D．t＝1.5 s时振子的速度为零，加速度为负的最大值
二、思想方法题组
3．如图2所示两木块A和B叠放在光滑水平面上，质量分别为m和M，A与B之间的最大静摩擦力为Ffm，B与劲度系数为k的轻质弹簧连接构成弹簧振子，为使A和B在振动过程中不发生相对滑动，则( )
图2
A．它们的振幅不能大于Ffm
B．它们的振幅不能大于Ffm
C．它们的最大加速度不能大于
D．它们的最大加速度不能大于
一、简谐运动的规律及应用
图3
情景：如图3所示，一水平方向的弹簧振子在BC之间做简谐运动．以此为例，试分析简谐运动的以下特征：
1．受力特征：回复力满足F＝－kx，即回复力大小与位移的大小成正比，方向与位移的方向相反．
2.运动特征：简谐运动是变速运动，位移x、速度v、加速度a都随时间按正弦规律周期性变化．当振子靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；当振子远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小．
3．能量特征：振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，机械能守恒．
4．对称性特征：
图4
(1)如图4所示，振子经过关于平衡位置O对称(OP＝OP′)的两点P、P′时，速度的大小、动能、势能相等．相对于平衡位置的位移大小相等．
(2)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′.
(3)振子往复运动过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等即tOP＝tPO.
【例1】 (2010·全国卷Ⅰ·21)一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点．t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s 时刻x＝0.1 m；t＝4 s时刻x＝0.1 m．该振子的振幅和周期可能为( )
A．0.1 m， s B．0.1 m，8 s
C．0.2 m， s D．0.2 m，8 s
二、简谐运动的图象
图5
1．确定振动物体在任一时刻的位移．如图5所示，对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝＋7 cm，x2＝－5 cm.
2．确定振动的振幅．图象中最大位移的值就是振幅，如图5所示，振动的振幅是10 cm.
3．确定振动的周期和频率．振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期．
由图5可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期，T＝0.2 s，频率f＝1/T＝5 Hz.
4．确定各质点的振动方向．例如：图5中的t1时刻，质点正远离平衡位置向正方向运动；t3时刻，质点正向着平衡位置运动．
5．比较各时刻质点加速度的大小和方向．例如：在图5中，t1时刻质点位移x1为正，
则加速度a1为负，t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1|>|x2|，所以|a1|>|a2|.
【例2】 (2010·温州模拟)如图6所示为一
图6
弹簧振子的振动图象，试完成以下要求：
(1)写出该振子简谐运动的表达式．
(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？
(3)该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？
三、单摆及周期公式
1．单摆振动的周期公式T＝2π，该公式提供了一种测定重力加速度g的方法．
2．l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在圆弧的圆心．
3．g为当地重力加速度．
4．T＝2π只与l及g有关，而与振子的质量及振幅无关．
特别提示
若单摆没有处于地球表面或所处环境为非平衡态，则g为等效重力加速度，大体有这样几种情况：(1)不同星球表面g＝GM/r2；(2)单摆处于超重或失重状态等效g＝g0±a，如轨道上运行的卫星a＝g0，完全失重，等效g＝0；(3)不论悬点如何运动还是受别的作用力，等效g的取值等于在单摆不摆动时，摆线的拉力F与摆球质量m的比值，即等效g＝F/m.
【例3】 (2011·江苏·12B(3))将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的物块．将物块向下拉离平衡位置后松开，物块上下做简谐运动，
其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期．请由单摆的周期公式推算出该物块做简谐运动的周期T.
四、实验：用单摆测重力加速度
1．实验原理[来源:Z#xx#k.Com]
单摆在摆角很小(小于10°)时，其摆动可以看作简谐运动，其振动周期T＝2π ，其中l为摆长，g为当地重力加速度，由此可得g＝，据此，只要测出摆长l和周期T，就可计算出当地重力加速度g的数值．
2．注意事项
(1)细线的质量要小，弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过10°.
(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．
(3)测周期的方法：
①要从摆球过平衡位置时开始计时，因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大．
②要测多次全振动的时间来计算周期．如在摆球过平衡位置开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后摆球从同一方向通过最低位置时计数1次．
(4)由公式g＝，分别测出一系列摆长l对应的周期T，作出l—T2的图象，如图7所示，图象应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率k，即可求得g值．
图7
g＝4π2k，k＝＝[来源:学科网]
根据图线斜率求g值可以减小误差．
【例4】 某同学想在家里做用单摆测定重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他只好找到一块大小为3 cm左右，外形不规则的大理石块代替小球．实验步骤是：
A．石块用细尼龙线系好，结点为M，将尼龙线的上端固定于O点
B．用刻度尺测量OM间尼龙线的长度L作为摆长
C．将石块拉开一个大约α＝30°的角度，然后由静止释放
D．从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总时间t，由T＝得出周期
E．改变OM间尼龙线的长度，再做几次实验，记下相应的L和T
F．求出多次实验中测得的L和T的平均值作计算时使用的数据，带入公式g＝()2L求出重力加速度g.
(1)你认为该同学在以上实验步骤中有重大错误的是哪些步骤？为什么？
(2)该同学用OM的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值偏大还是偏小？你认为用何方法可以解决摆长无法准确测量的困难？
五、受迫振动和共振
1．做受迫振动的物体，它的周期或频率等于驱动力的周期或频率，与物体的固有周期或固有频率无关．
2．共振：做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象．
图8
3．共振曲线
如图8所示，以驱动力频率为横坐标，以受迫振动的振幅为纵坐标．它直观地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响，由图可知，f驱与f固越接近，振幅A越大；当f驱＝f固时，振幅A最大．
【例5】 某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f .若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是________(填入选项前的字母)
A．当f
f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大
C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0
D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f
【基础演练】
1．(2009·天津·8)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asint，则质点( )
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B．第1 s末与第3 s末的速度相同
C．3 s末至5 s末的位移方向都相同
D．3 s末至5 s末的速度方向都相同
图9
2．(2010·衡阳模拟)一质点做简谐运动的振动图象如图9所示，质点的速度与加速度方向相同的时间段是( )
A．0～0.3 s
B．0.3 s～0.6 s
C．0.6 s～0.9 s
D．0.9 s～1.2 s
图10
3．(2010·安徽合肥一模)如图10所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为( )
A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz
4．一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则( )
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的位移大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的速度大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等
图11
5．(2010·南京模拟)如图11所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点的竖直线上的O′点钉一个钉子，使OO′＝L/2，将单摆拉至A处释放，小球将在A、B、C间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于10°，则此摆的周期是( )
A．2π
B．2π
C．2π ( ＋ )
D．π( ＋ )
图12
6．如图12所示，AC是一段半径为2 m的光滑圆弧轨道，圆弧与水平面相切于A点，BC＝7 cm.现将一个小球先后从曲面的顶端C和圆弧中点D由静止开始释放，到达底端时的速度分别为v1和v2，所用时间分别为t1和t2，则( )
A．v1>v2，t1＝t2 B．v1v2，t1>t2 D．v1＝v2，t1＝t2
图13
7．(2010·江苏泰州联考)如图13所示为受迫振动的演示装置，当单摆A振动起来后，通过水平悬绳迫使单摆B、C振动，则下列说法正确的是( )[来源:Zxxk.Com]
A．只有A、C摆振动周期相等
B．A摆的振幅比B摆小
C．C摆的振幅比B摆大
D．A、B、C三摆的振动周期相等
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
【能力提升】
8．有一弹簧振子在水平方向上的BC之间做简谐运动，已知BC间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有正向最大加速度．
(1)求振子的振幅和周期；
(2)作出该振子的位移—时间图象；
(3)写出振子的振动方程．
图14
9．如图14所示是一个单摆的共振曲线．
(1)若单摆所处环境的重力加速度g取9.8 m/s2，试求此摆的摆长．
(2)若将此单摆移到高山上，共振曲线的“峰”将怎样移动？
图15
10．(探究创新)(2010·北京海淀区模拟)某同学利用如图15所示的装置测量当地的重力加速度．实验步骤如下：
A．按装置图安装好实验装置；
B．用游标卡尺测量小球的直径d；
C．用米尺测量悬线的长度l；
D．让小球在竖直平面内小角度摆动．当小球经过最低点时开始计时，并计数为0，此后小球每经过最低点一次，依次计数1、2、3、….当数到20时，停止计时，测得时间为t；
E．多次改变悬线长度，对应每个悬线长度，都重复实验步骤C、D；
F．计算出每个悬线长度对应的t2；
G．以t2为纵坐标、l为横坐标，作出t2－l图线．
结合上述实验，完成下列题目：
(1)用游标为10分度(测量值可准确到0.1 mm)的卡尺测量小球的直径．某次测量的示数如图16所示，读出小球直径d的值为________cm.
图16
图17
(2)该同学根据实验数据，利用计算机作出图线如图17所示．根据图线拟合得到方程t2＝404.0l＋3.5.由此可以得出当地的重力加速度g＝________m/s2.(取π2＝9.86，
结果保留3位有效数字)[来源:学#科#网Z#X#X#K]
(3)从理论上分析图线没有过坐标原点的原因，下列分析正确的是( )
A．不应在小球经过最低点时开始计时，应该在小球运动到最高点时开始计时
B．开始计时后，不应记录小球经过最低点的次数，而应记录小球做全振动的次数
C．不应作t2－l图线，而应作t2－(l－d)图线
D．不应作t2－l图线，而应作t2－(l＋d)图线
学案55 机械振动 用单摆测定重力加速度
【课前双基回扣】
1．B [简谐运动的物体，平衡位置是回复力为零的位置，而合外力是否为零，不同的系统是不同的，因此加速度不一定为零，比如单摆在平衡位置时存在向心加速度．简谐运动的物体经过平衡位置时速度最大，位移为零．]
2．C [弹簧振子振动时，加速度的方向总是指向平衡位置，且在最大位移处，加速度值最大，在平衡位置处加速度的值为0，由图可知，t＝1.25 s时，振子的加速度为负，t＝1.7 s时振子的加速度为正，t＝1.5 s时振子的加速度为零，故A、B、D均错误，只有C正确．]
3．BD [为使A和B在振动过程中不发生相对滑动，在最大振幅时，是加速度的最大时刻，这时对A研究则有：Ffm＝mam，得am＝，故C错误，D正确；对整体研究，最大振幅即为弹簧的最大形变量，kA＝(M＋m)am，得A＝Ffm，A错误，B正确．]
思维提升
1．简谐运动的概念：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t)图象是一条正弦曲线这样的振动叫简谐运动．描述简谐运动的物理量有振幅A、周期T、频率f等．
2．回复力F＝－kx.回复力为效果力．
3．振动图象表示质点离开平衡位置的位移随时间变化的规律，它不是质点的运动轨迹．
【核心考点突破】
例1 ACD [若振幅A＝0.1 m，T＝ s，则 s 为半周期，从－0.1 m处运动到0.1 m，符合运动实际，4 s－ s＝ s为一个周期，正好返回0.1 m处，所以A项正确．若A＝0.1 m
，T＝8 s， s只是T的，不可能由负的最大位移处运动到正的最大位移处，所以B项错．若A＝0.2 m，T＝ s， s＝，振子可以由－0.1 m运动到对称位置，4 s－ s＝ s＝T，振子可以由0.1 m返回0.1 m，所以C项对．若A＝0.2 m，T＝8 s， s＝2×，而Asin＝A，即时间内，振子可以从平衡位置运动到0.1 m处；再经 s又恰好能由0.1 m处运动到0.2 m处后再返回0.1 m处，故D项正确．]
例2 (1)x＝5sin t (2)见解析 (3)0 5 m
解析 (1)由振动图象可得：A＝5 cm，T＝4 s，φ＝0
则ω＝＝ rad/s
故该振子简谐运动的表达式为x＝5sin t
(2)由图可知，在t＝2 s时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断加大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大．当t＝3 s时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值．
(3)振子经过一个周期位移为零，路程为5×4 cm＝20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前100 s振子位移x＝0，振子路程s＝20×25 cm＝500 cm＝5 m.
例3 2π
解析 物块平衡时，弹簧伸长量为L，则mg＝kL，由单摆周期公式T＝2π
解得T＝2π
例4 见解析
解析 (1)实验步骤中有重大错误的是：
B：大理石重心到悬挂点间的距离才是摆长
C：最大偏角不能超过10°
D：应在摆球经过平衡位置时计时
F：应该用各组的L、T求出各组的g后，再取平均值
(2)用OM作为摆长，则忽略了大理石块的大小，没有考虑从结点M到石块重心的距离，故摆长L偏小．根据T＝2π ，g＝，故测量值比真实值偏小．可以用改变摆长的方法，如T＝2π ，T′＝2π ，测出Δl，则g＝.
例5 BD [由共振条件及共振曲线可知：驱动力频率f驱越接近振动系统的固有频率f0，则振幅越大，故知：当ff0时，振幅随f的↑而↓，随f的↓而↑，B对；系统振动稳定时，振动频率等于驱动力频率f，与固有频率f0无关，D对，C错，故选B、D.]
思想方法总结
1．质点做简谐运动时，在同一位置，振动的位移相同，回复力、加速度、动能和势能也相同，速度大小相等，但方向可能相同，也可能相反．在关于平衡位置对称的两个位置，动能、势能对应相等，回复力、加速度大小相等，方向相反，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反；振动质点由平衡位置到该两对称点的时间也对应相等，一个做简谐运动的质点，经过时间t＝(2n＋1)(n＝0,1,2,3，…)，质点所处位置必与原来位置关于平衡位置对称．
2．解决类单摆问题应注意
(1)建立单摆模型．
(2)利用等效思想掌握等效摆长和g′的计算方法．
(3)摆角较大时，不能用公式T＝2π来计算．
3．解答受迫振动和共振的问题时要抓住两点：(1)受迫振动的频率等于驱动力的频率；(2)当受迫振动的频率越接近固有频率时，受迫振动的振幅越大，否则越小．
【课时效果检测】
1．AD 2.BD 3.B
4．C [设弹簧振子的振动图象如右图所示，B、C两点的位移大小相等、方向相同，但B、C两点的时间间隔Δt≠nT(n＝1,2,3，…)，A错误；B、C两点的速度大小相等、方向相反，但Δt≠nT/2(n＝1,2,3，…)，B错误；因为A、D两点的时间间隔Δt＝T，A、D两点的位移大小和方向均相等，所以A、D两点的加速度一定相等，C正确；A、C两点的时间间隔Δt＝T/2，A点与C点位移大小相等、方向相反，若在A点弹簧是伸长的，则在C点弹簧是压缩的，所以A、C两点弹簧的形变量大小相同，而弹簧的长度不相等，D错误．]
5．D [T＝＋＝π ＋π ，故选D.]
6．A [小球两次沿光滑圆弧轨道下滑，其重力的切向分力提供回复力，又因弧长远远小于半径，即最大摆角小于10°，小球两次运动均可视为单摆的简谐运动，摆长等于圆弧槽半径，所以有T＝2π ，则t1＝t2＝.球运动中只有重力做功，机械能守恒，mgh＝mv2，v＝，因为h1>h2，所以v1>v2，A项正确．]
7．CD [当单摆A振动起来后，单摆B、C做受迫振动，做受迫振动的物体的固有周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，选项A错误而D正确；当物体的固有频率等于驱动力的频率时，发生共振现象，选项C正确而B错误．]
8．(1)10 cm 0.2 s (2)见解析图
(3)x＝－0.1sin 10πt
解析 (1)振子的振幅A＝10 cm，振子的周期T＝0.2 s.
(2)该振子的位移—时间图象如右图所示
(3)x＝－Asin ωt
＝－0.1sin 10πt
9．(1)2.76 m (2)向左移动
解析 (1)由图象知，单摆的固有频率f＝0.3 Hz.
由f＝
得到：l＝≈2.76 m
(2)由f＝知，单摆移动到高山上，重力加速度g减小，其固有频率减小，故“峰”向左移动．
10．(1)1.52 (2)9.76 (3)D
易错点评
1．一个周期内，振子的路程是4个振幅A，半个周期内，振子的路程是2个振幅，但周期内，振子的路程不一定是一个振幅．
2．在分析单摆的周期时，注意周期T与摆球的质量无关，与摆长和等效重力加速度有关．
3．在第6题中，小球沿光滑圆弧下滑，许多同学往往用x＝at2求时间，想不到利用单摆的简谐运动特性分析问题．
4．由于振动的周期性、对称性，在很多题目中存在多解，这点有些同学没能考虑到．
