2017-2018学年山东省德州市高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 山东省德州市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．下列运算正确的为（ ）‎ A. （为常数） B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由基本初等函数的导数公式可得．‎ 详解：，，，．‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查基本初等函数的导数，牢记基本初等函数的导数公式是解题关键．‎ ‎2．已知，则复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用复数的乘法法则化简复数，再利用共轭复数的定义求解即.‎ 详解：因为，‎ 所以，‎ ‎，故选A.‎ 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、共轭复数的定义，属于中档题．解答复数运算问题时一定要注意和以及 运算的准确性，否则很容易出现错误.‎ ‎3．已知曲线在点处的切线平行于直线，那么点的坐标为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：设的坐标为，则，求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得的方程，求得的值从而可得结果.‎ 详解：设的坐标为，则，‎ 的导数为，‎ 在点处的切线斜率为，‎ 由切线平行于直线，‎ 可得，解得，‎ 即有或，故选B.‎ 点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题. ‎ ‎4．随机变量，且，则（ ）‎ A. 0.20 B. 0.30 C. 0.70 D. 0.80‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由及可得．‎ 详解：∵，∴．‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查正态分布，若随机变量中，则正态曲线关于直线对称，因此有，（）．‎ ‎5．设，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：注意．‎ 详解：‎ ‎．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查数学归纳法．数学归纳法中第二步是最重要的一步，特别是从到时的表达式的变化一定要弄清，否则达不到目的，与数学归纳法不符．‎ ‎6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的是偶数”，“第二次取到的是偶数”，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：事件A发生后，只剩下8个数字，其中只有3个偶数字，由古典概型概率公式可得．‎ 详解：在事件A发生后，只有8个数字，其中只有3个偶数字，∴．‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查条件概率，由于是不放回取数，因此事件A的发生对B的概率有影响，可考虑事件A发生后基本事件的个数与事件B发生时事件的个数，从而计算概率．‎ ‎7．用反证法证明命题“已知函数在上单调，则在上至多有一个零点”时，要做的假设是（ ）‎ A. 在上没有零点 B. 在上至少有一个零点 C. 在上恰好有两个零点 D. 在上至少有两个零点 ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用反证法证明，假设一定是原命题的完全否定，从而可得结果.‎ 详解： 因为“至多有一个”的否定是“至少有两个”，‎ 所以用反证法证明命题“已知函数在上单调，则在上至多有一个零点”时，要做的假设是在上至少有两个零点，故选D.‎ 点睛：反证法的适用范围是，（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“‎ 无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．‎ ‎8．在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为，则的系数为（ ）‎ A. 21 B. 63 C. 189 D. 729‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：令得各项系数和，由已知比值求得指数，写出二项展开式通项，再令的指数为4求得项数，然后可得系数．‎ 详解：由题意，解得，∴，令，解得，∴的系数为．‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在的展开式中二项式系数和为，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为．‎ ‎9．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）‎ A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 在上是增函数 D. 在时，取极大值 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果.‎ 详解：根据导函数图象可知，‎ 在上先减后增，错；‎ 在上先增后减，错；‎ 在上是增函数，对；‎ 在时，取极小值，错，故选C.‎ 点睛：本题考查函数的单调性与导函数的关系，意在考查对基本性质掌握的熟练程度以及数形结合思想的应用，属于中档题.‎ ‎10．若是离散型随机变量，，，又已知，，则的值为（ ）‎ A. B. C. 3 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由期望公式和方差公式列出的关系式，然后变形求解．‎ 详解：∵，∴随机变量的值只能为，‎ ‎∴，解得或，‎ ‎∴．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题关键是确定随机变量只能取两个值，从而再根据其期望与方差公式列出方程组，以便求解．‎ ‎11．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种 A. 19 B. 26 C. 7 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：乙只能付现金，甲付现金或用支付宝与微信，然后按丙与甲乙相同的支付方式或不同的支付方式分类．‎ 详解：由题意支付方法数有．‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查排列组合的综合应用，属于特殊元素与特殊位置优先安排问题．解题时关键是怎么分类，本题可以按乙甲丙丁顺序分步分类安排它们的支付方式．有一定的难度．‎ ‎12．已知在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：构造新函数，利用已知不等式确定的单调性，‎ 详解：设，则，由已知得，‎ ‎∴是减函数．∵是偶函数，∴的图象关于直线对称，‎ ‎∴，，的解集为，即的解集为．‎ 故选A．‎ 点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，解题关键是是构造新函数，对于含有的已知不等式，一般要构造新函数如，，，等等，从而能利用已知条件确定的单调性，再解出题中不等式的解集．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．某研究性学习小组调查研究学生玩手机对学习的影响，部分统计数据如表 玩手机 不玩手机 合计 学习成绩优秀 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ 学习成绩不优秀 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 合计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 经计算的值，则有__________的把握认为玩手机对学习有影响．‎ 附：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎，.‎ ‎【答案】99.5‎ ‎【解析】分析：由已知列联表计算出后可得．‎ 详解：，‎ ‎∵，∴有99.5%的把握认为玩手机对学习有影响．‎ 点睛：本题考查独立性检验，解题关键是计算出，然后根据对照表比较即可．‎ ‎14．由曲线与围成的封闭图形的面积是__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 分析：由于两函数都是奇函数，因此只要求得它们在第一象限内围成的面积，由此求得它们在第一象限内交点坐标，得积分的上下限．‎ 详解：和的交点坐标为，‎ ‎∴ ．‎ 故答案为1．‎ 点睛：本题考查用微积分定理求得两函数图象围成图形的面积．解题关键是确定积分的上下限及被积函数．‎ ‎15．对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数，计算__________．‎ ‎【答案】2018‎ ‎【解析】分析：求出二阶导数，再求出的拐点，即对称点，利用对称性可求值．‎ 详解：，，由得，，‎ 即的图象关于点对称，∴，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎．‎ 故答案为2018．‎ 点睛：本题考查导数的计算，考查新定义，解题关键是正确理解新概念，转化新定义．通过求出的拐点，得出对称中心，从而利用配对法求得函数值的和．‎ ‎16．对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数.下列函数为2倍值函数的是__________（填上所有正确的序号）．‎ ‎① ②‎ ‎③ ④‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】分析：为倍值函数等价于，的图象与有两个交点，且在上递增，由此逐一判断所给函数是否符合题意即可.‎ 详解：为倍值函数等价于，的图象与有两个交点，‎ 且在上递增：‎ 对于①，与，有两个交点，‎ 在上递增，值域为，①符合题意.‎ 对于②，与，有两个交点，‎ 在上递增，值域为，②符合题意.‎ 对于③，与，没有交点，不存在，‎ ‎，值域为，③不合题意.‎ 对于④，与两个交点，‎ 在上递增，值域为，④合题意，故答案为①②④.‎ 点睛：本题考查函数的单调性以及函数的图象与性质、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知，，为实数.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数，的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）-3，2‎ ‎【解析】分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简，利用复数模的公式求解即可；（2）利用复数除法的运算法则将，化为，由复数相等的性质可得，从而可得结果.‎ 详解：（1）∵，∴.‎ ‎∴ ，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴，的值为：-3，2.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分 ‎18．已知函数.‎ ‎（1）若在处取得极值，求的单调递减区间；‎ ‎（2）若在区间内有极大值和极小值，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由，可得，利用，即，可得，从而可得结果；（2）在内有极大值和极小值，等价于 在内有两不等实根，结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可.‎ 详解：，‎ ‎（1）∵在处取得极值，‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎∴，令，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数的单调递减区间为.‎ ‎（2）∵在内有极大值和极小值，‎ ‎∴在内有两不等实根，对称轴，‎ ‎∴，‎ 即 ，‎ ‎∴.‎ 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.‎ ‎19．某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一箱矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：‎ 售出水量（单位：箱）‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ 收入（单位：元）‎ ‎165‎ ‎142‎ ‎148‎ ‎125‎ ‎150‎ 学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21～50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金.‎ ‎（1）若售出水量箱数与成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？‎ ‎（2）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和的分布列及数学期望.‎ 附：回归直线方程，其中，.‎ ‎【答案】（1）206；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：(1)先求出君子，代入公式求 ， ，再求线性回归方程自变量为9的函数值，(2)先确定随机变量取法，在利用概率乘法求对应概率，列表可得分布列，根据数学期望公式求期望.‎ 试题解析：‎ ‎（1），经计算，所以线性回归方程为，‎ 当时，的估计值为206元；‎ ‎（2）的可能取值为0，300，500，600，800，1000；‎ ‎；；；‎ ‎；；；‎ ‎0‎ ‎300‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎800‎ ‎1000‎ 所以的数学期望．‎ ‎20．如图（1）是一个仿古的首饰盒，其左视图是由一个半径为分米的半圆和矩形组成，其中长为分米，如图（2）.为了美观，要求.已知该首饰盒的长为分米，容积为4立方分米（不计厚度），假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米2百元，上半部制作费用为每平方分米4百元，设该首饰盒的制作费用为百元.‎ ‎（1）写出关于的函数解析式；‎ ‎（2）当为何值时，该首饰盒的制作费用最低？‎ ‎【答案】（1）；（2）当分米时，该首饰盒制作费用最低.‎ ‎【解析】分析：该几何体下面是一个长方体，上面是半个圆柱，由体积求得，然后分别求出上半部分和下半部分的面积，从而可得关于的解析式，注意要由 可求得的取值范围．‎ ‎（2）利用导数可求得的最小值．‎ 详解：（1）由题知，‎ ‎∴.‎ 又因，得，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎（2）令，‎ ‎∴，‎ 令则，‎ ‎∵，‎ 当时，函数为增函数.‎ ‎∴时，最小.‎ 答：当分米时，该首饰盒制作费用最低.‎ 点睛：本题考查导数的实际应用．解题关键是求出费用关于的函数解析式，解题中要注意求出的取值范围．然后就可由导数的知识求得最小值．‎ ‎21．已知函数在点处的切线与直线垂直.‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）极大值为，函数无极小值；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由函数在点处的切线与直线垂直，利用导数的几何意义求得，利用导数研究函数的单调性，从而可得函数的极值；（2）在上恒成立，等价于在上恒成立，令，利用导数可得当时，在上是增函数，，故当时，，再证明当时不合题意即可.‎ 详解：（1）函数的定义域为，，‎ 所以函数在点处的切线的斜率.‎ ‎∵该切线与直线垂直，所以，解得.‎ ‎∴， ，‎ 令，解得.‎ 显然当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.‎ ‎∴函数的极大值为，函数无极小值.‎ ‎（2）在上恒成立，等价于在上恒成立，‎ 令，则，‎ 令，则在上为增函数，即，‎ ‎①当时，，即，则在上是增函数，‎ ‎∴，故当时，在上恒成立.‎ ‎②当时，令，得，‎ 当时，，则在上单调递减，，‎ 因此当时，在上不恒成立，‎ 综上，实数的取值范围是.‎ 点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于、两点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）将参数方程利用代入法消去参数可得直线的普通方程，利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）先证明直线过定点 ‎，点在圆的内部.当直线与线段垂直时，取得最小值，利用勾股定理可得结果..‎ 详解：（1）将（为参数，）消去参数，‎ 得直线，，即.‎ 将代入，得，‎ 即曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设直线的普通方程为，其中，又，‎ ‎∴，则直线过定点，‎ ‎∵圆的圆心，半径，，‎ 故点在圆的内部.‎ 当直线与线段垂直时，取得最小值，‎ ‎∴.‎ 点睛：本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及勾股定理求圆的弦长，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.‎ ‎23．已知函数，.‎ ‎（1）若恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）已知，若使成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由，可得若恒成立，只需 ‎，从而可得结果；（2）使成立等价于，成立，利用基本不等式求出的最小值为，从而可得结果.‎ 详解：（1）∵，若恒成立，需，‎ 即或，‎ 解得或.‎ ‎（2）∵，∴当时，，‎ ‎∴，即，成立，‎ 由，‎ ‎∵，∴（当且仅当等号成立），‎ ‎∴.‎ 又知，∴的取值范围是. ‎ 点睛：本题主要考基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得 的最大值.‎