2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

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绝密★启用前 黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数f(x) 求导得到再解方程得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 因为，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查求导，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2．曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式.‎ ‎【详解】‎ ‎， ，所以切线方程为，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求曲线的切线方程，同时考查了导数的几何意义.‎ 解题的关键是正确地求出导数.‎ ‎3．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中,与圆交于两点，则的长为（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把代入圆即得|OA|的值.‎ ‎【详解】‎ 把代入圆得.‎ 所以|OA|=1.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标的定义和解极坐标方程组，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4．函数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用导数求函数的单调区间，再求函数的最大值.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ 令，‎ 令，‎ 所以函数f(x)的增区间为，减区间为，‎ 所以函数的最大值为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5．已知直线与曲线相切，则实数的值为（ ）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点为，由题得，又，解方程组即得a的值.‎ ‎【详解】‎ 设切点为，‎ 由题得.‎ 又，‎ 所以0=1-a+2,‎ 所以a=3.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6．已知函数的导函数的图象如图所示，那么（ ）‎ A．是函数的极小值点 B．是函数的极大值点 C．是函数的极大值点 D．函数有两个极值点 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过导函数的图象可知；当在时，；当在时，，这样就可以判断有关极值点的情况.‎ ‎【详解】‎ 由导函数的图象可知：当在时，，函数单调递增；当在时，，函数单调递减，根据极值点的定义，可以判断是函数的极大值点，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通过函数导函数的图象分析原函数的极值点的情况.本题容易受导函数的单调性的干扰.本题考查了识图能力.‎ ‎7．若，则的最大值（ ）‎ A．9 B．3 C．1 D．27‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用柯西不等式求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 所以 所以-3≤x+y+3z≤3.‎ 所以的最大值为3.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎8．若函数在内单调递减，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，让导函数在内，恒小于等于零，可以化为：在内恒成立，构造新函数，求出新函数的值域，就可以求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 在内恒成立，即 在内恒成立，设所以在内是单调递增，因此，要想在内恒成立，只需即可，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知函数的单调性求参数问题.解决此类问题的关键是通过转化变形，构造新函数，利用新函数的值域，求出参数的范围.‎ ‎9．若存在,使成立,则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用绝对值三角不等式求的最小值，即得实数a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查绝对值三角不等式和绝对值不等式的能成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎10．若是函数的极值点，则的极大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据是函数的极值点求出a=1,再利用导数求函数的极大值得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 由题得 经检验得当a=1时，x=-1是函数的极值点，‎ 所以，‎ 令，得-1＜x＜3.‎ 令，得x＜-1或x＞3.‎ 所以的极大值为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎11．函数对恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得对恒成立，再构造函数求其最大值得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得对恒成立，‎ 设 所以，‎ 令，‎ 令，‎ 所以函数f(x)的最大值为.‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎12．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得构造函数（x＞0），求出函数的单调性，分析出函数f(x)的取值情况，再解不等式得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 所以 设（x＞0）‎ 所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递减.‎ 因为g(1)=ln1f(0)=0,‎ 所以在（0,1）上g(x)＞0，因为此时lnx＜0，所以f(x)＜0，‎ 因为在（1，+∞）上g(x)＜0，因为此时lnx＞0，所以f(x)＜0.‎ 所以函数f(x)在（0,1）和（1，+∞）上，f(x)＜0.‎ 因为f(x)是奇函数，‎ 所以函数f(x)在区间（-1,0）和（-∞，-1）上，f(x)＞0.‎ 所以等价于.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性的应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．函数的单调减区间为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：先求导数，再求导数小于零的解集.‎ 详解：因为，所以 因此单调减区间为.‎ 点睛：求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想.‎ ‎14．已知函数，则________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，令x=0即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 令x=0得，‎ 所以.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15．在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，设为曲线上一动点，则的取值范围为_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将曲线的极坐标化成直角坐标得，设，则，再求函数的最值得解.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以化成直角坐标得，‎ 设，‎ 所以，‎ 所以x+y的取值范围为[-2,2].‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查曲线的参数方程的应用，考查三角函数的图像和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得函数xf(x)在（0，+∞）上单调递增，所以，再分离参数求函数的最值即得实数a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为当时，不等式，‎ 所以，‎ 所以函数xf(x)在（0，+∞）上单调递增，‎ 由题得，‎ 所以，‎ 所以函数g(x)在（0,2）单调递减，在（2，+∞）上单调递增，‎ 所以g(x)的最大值为g(2)=.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知在与时都取得极值．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的单调区间和极值.‎ ‎【答案】（1）；（2）增区间 减区间，的极大值为，的极小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）函数在极值点处，其导数的值为零．因此可以列出，解方程组可得，的 值.(2)利用导数求函数的单调区间和极值得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）求导数，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，其导数为 当或时，，函数为增函数；‎ 而当时，，函数为减函数.‎ 函数的增区间为和；减区间为，.‎ 当x变化时，和y的变化情况如下表，‎ x ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ y 极大值 极小值0‎ 所以的极大值为，的极小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线与圆相交于两点，求的值．‎ ‎【答案】(1) x+y﹣7=0．x2+（y﹣3）2=9；（2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）有直线参数方程写出直线的普通方程为. 由得圆的直角坐标方程为；（2）把直线的参数方程（为参数），代入圆的直角坐标方程，得，得到韦达定理，则.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由直线的参数方程为（为参数），‎ 得直线的普通方程为.‎ 又由得圆的直角坐标方程为.‎ ‎（2）把直线的参数方程（为参数），代入圆的直角坐标方程，‎ 得，‎ 设是上述方程的两实数根，‎ 所以，，‎ ‎∴，‎ 所以.‎ ‎19．已知函数 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设正数满足，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用零点分类讨论法解不等式；（2）先利用基本不等式求出a+2b的最小值为9，再解不等式得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题得，‎ 当x＜-1时，3-2x+x+1＞-1,所以x＜5.所以x＜-1；‎ 当-1≤x≤时，3-2x-x-1＞-1，所以x＜1.所以；‎ 当x＞时，2x-3-x-1＞-1，所以x＞3.‎ 综合得不等式的解集为.‎ ‎(2)因为，所以.‎ 所以a+2b.‎ 当且仅当a=b=3时取等.‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式求最值和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20．如图，直棱柱ABC-中，D，E分别是AB，BB1的中点，=AC=CB=AB.‎ ‎（Ⅰ）证明：//平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角D--E的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）连结，交于点O，连结DO，则O为的中点，因为D为AB的中点，所以 OD∥，又因为OD平面， 平面，所以//平面；‎ ‎（Ⅱ）由=AC=CB=AB可设：AB=，则=AC=CB=，所以AC⊥BC，又因为直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线CA、CB、为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，‎ 则、、、，，，，，设平面的法向量为，则且，可解得，令，得平面的一个法向量为，同理可得平面的一个法向量为，则 ，所以，所以二面角D--E的正弦值为.‎ 本题第（Ⅰ）问，证明直线与平面平行,主要应用线面平行的判定定理，一般情况下，遇到中点想中位线的思想要用上，同时用上侧面为平行四边形的条件；第（Ⅱ）问，求二面角的大小，若图形中容易建立空间直角坐标系，则就求两个半平面的法向量，从需得出结果.对第（Ⅰ）问，证明线面平行时,容易漏掉条件；对第（Ⅱ）问，二面角的大小与两个法向量夹角相等或互补的关系，一部分同学容易得出它们相等.‎ ‎【考点定位】本小题考查空间中直线与平面平行等位置关系的证明、二面角的求解，考查同学们的逻辑推理能力、空间想象能力，考查分析问题以及解决问题的能力.‎ 视频 ‎21．已知 ．‎ ‎（1）讨论函数的单调区间；‎ ‎（2）若方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数结合分类讨论求函数的单调区间；（2）原命题等价于方程在上有两个不等实根，再利用导数研究函数的图像和性质得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题得（x＞0），‎ 分类讨论如下：‎ ‎（i）当时，函数的增区间为，减区间为；‎ ‎（ii）当时，函数的增区间为，减区间为；‎ ‎（iii）当时，函数的增区间为；‎ ‎（iv）当时，函数的增区间为，减区间为；‎ ‎（2）原命题等价于方程在上有两个不等实根，‎ 设，，令，得 ‎ x ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22．已知函数 ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若时，恒成立，求的取值范围.（参考数据：，）‎ ‎【答案】（1）增区间 减区间；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求函数的单调区间；（2）先分离参数，再利用导数求h(x)的最小值得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题得，‎ 令，‎ 令，‎ 所以函数f(x)的增区间为，减区间为.‎ ‎(2)由题得，‎ 设g(x)=xlnx+1（x＞），‎ 所以，‎ 所以函数g（x）单调递增，所以g(x)＞，‎ 所以，‎ 所以（x＞）‎ 令 所以函数h(x)在上单调递增.‎ 所以h(x)＞.‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎