数学理卷·2017届辽宁省本溪市高级中学高三12月月考(2016

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数学理卷·2017届辽宁省本溪市高级中学高三12月月考(2016

‎2016—2017学年上学期本溪县高级中学高三第二次月考试题 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷(选择题 60分)‎ 一、 选择题(本大题共12小题每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。)‎ ‎1.已知集合,,则A∩B=‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若实数满足则的最小值是 ‎ A.0 B.‎1 ‎ C. D.9‎ ‎3.设是空间三条直线,是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是 A. 当时,若,则 ‎ B. 当时,若,则 ‎ C.当,且是在内的射影时,若,则 ‎ D.当,且时,若,则 ‎ ‎4.已知点M是椭圆上一点,是椭圆的焦点,且满足,则的面积为 A.1 B. C. 2 D.4‎ ‎5.在平行四边形中,,,为的中点.若,则的长为 ‎. . . .‎ ‎6.若随机变量(),则有如下结论:‎ ‎,,‎ 高三(1)班有40名同学,一次数学考试的成绩服从正态分布,平均分为120,方差为100,理论上说在130分以上人数约为 A.19 B.‎12 C.6 D.5‎ ‎7.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(﹣x)=f(x),则 A . f(x)在单调递减 ‎ B. f(x)在(,)单调递减 C. f(x)在(0,)单调递增 ‎ D . f(x)在(,)单调递增 ‎8.按右图所示的程序框图,若输入,则输出的 A. 45 B. ‎47 C. 49 D. 51‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. B. ‎ C.4 D.3‎ ‎10.某校校庆期间,大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作,根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加,则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为 A. B. C. D.‎ ‎11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:今有蒲(水生植物名)生长了一日,长为三尺;莞(植物名,俗称水葱)生长了一日,长为一尺。蒲的生长逐日减半,莞的生长逐日增加一倍。问当蒲和莞长度相等时,其长度是 A.五尺 B.六尺 C.七尺 D.八尺 ‎12.已知函数的图像上关于轴对称的点至少有对,则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的横线上。)‎ ‎13.已知圆方程为:,直线过点,且与圆交于两点,若,则直线的方程是_______.‎ ‎14.在的展开式中二项式系数的和为64,则展开式中项的系数为______.【来源:全,品…中&高*考+网】‎ ‎15.已知函数和,作一条平行于轴的直线,交图象于两点,则的最小值为__________________.‎ ‎16.已知数列满足,是其前项和,若,且,则的最小值为____________.‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在中,角,,的对边分别为,,,且,又,,成等差数列.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方式,某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取 了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表:‎ 年龄(单位:岁)‎ 频数【来源:全,品…中&高*考+网】‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎(1)若以“年龄45岁为分界点”,由以上统计数据完成下面列联表,判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关:‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 ‎(2)若从年龄在的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的4人中赞成“使用微信交流”人数为,求随机变量的分布列及数学期望。‎ 参考数据如下:‎ ‎0.050【来源:全,品…中&高*考+网】‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知四棱锥,其中,, 且,平面,为的中点.‎ ‎ (1)画出平面ADE与平面ABC的交线(保留作图痕迹);‎ ‎(2)求证://平面;‎ ‎(3)设是的中点,若与平面所成角的正切值为,求平面与平面夹角的余弦值.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 椭圆的中心在原点,焦点在轴上,焦距为,且与椭圆 有相同离心率. ‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线与椭圆交于不同的两点,且椭圆上存在点,满足,(为坐标原点),求实数取值范围.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知定义域为的函数,其中.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)证明:当时,.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 设数列的前项和为,已知,().‎ ‎(1)证明:数列是等比数列;‎ ‎(2)令,求数列的前项和为.‎ 高三上学期第二次月考数学(理科)试卷 参考答案 一、 选择题 ‎1.C 2.B 3.B 4.A 5.D 6.C 7.A 8.D 9.B 10.C 11.A 12.A 二、填空题 ‎13. 或 14. 15.(或)16.‎ ‎ 三、解答题 ‎17.解:(I),,成等差数列,, (1分)‎ 由正弦定理得, (3分)‎ 又,可得, (4分)‎ ‎, (6分)‎ ‎,,‎ ‎. (8分)‎ ‎,解得. (12分)‎ ‎18.解:(1)列联表如下:‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 ‎10‎ ‎27‎ ‎37‎ 不赞成 ‎10‎ ‎3‎ ‎13‎ 合计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎.....................................................................3分 所以 ‎,‎ ‎,‎ ‎............................10分 所以的分布列是:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以的期望值是.........................12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ 解:(1)如图,AH为所求。……………2分 ‎(2)取中点,连结、‎ ‎∵分别是、的中点,‎ ‎∴,且.‎ 又∵且 ‎ ‎ ∴四边形是平行四边形,‎ ‎∴, 面且,,‎ ‎∴∥面……………6分 ‎(3)∵平面 y A F z D E B x C M ‎∴为与平面所成角,‎ ‎∵为的中点,且,,得 ‎∵与平面所成角的正切值为,‎ ‎∵,, …………………………8分 以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系 则 ‎∴‎ 设平面的法向量为 由得即,取 …………………………10分 而平面的法向量为 由【来源:全,品…中&高*考+网】‎ 得平面与平面夹角的余弦值为 ……………12分 ‎20.解:(1)由已知可 解得. ………………………3分 ‎ 所求椭圆的方程. …………………………4分 ‎(2)建立方程组 ‎ 消去,整理得. ‎ ‎.‎ 由于直线直线与椭圆交于不同的两点,‎ ‎,有.① ………………………………6分 ‎ 设,于是,. ………………………8分 当时,易知点关于原点对称,则; ‎ 当时,易知点不关于原点对称,则.‎ 此时,‎ 由,得即 ‎ 点在椭圆上,∴. ‎ 化简得..②‎ 由①②两式可得. ‎ 综上可得实数的取值范围是. ………………………12分 ‎21.解:(1),【来源:全,品…中&高*考+网】‎ ‎①当时,,于是在上单调递减;‎ ‎②当时,,当时,,‎ 当时,,当时,,‎ 所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎(2)当时,由(1)知在单调递减,‎ 又,∴时,,即时,成立,‎ 当时,由(1)知在上递减,在上递增,‎ 当时,由,即得在上成立,‎ 所以当时,有,‎ 下面证明,即,‎ 令,,则,且,‎ 记,则,‎ 于是在上单调递增,‎ 又因为,,所以存在唯一的使得,‎ 从而,于是在上单调递减,在上单调递增,‎ 此时,‎ 从而,即,亦即,‎ 因此不等式在上成立,‎ ‎22.解:(1) 由,及,得,‎ 整理,得,∴,又,‎ ‎∴是以1为首项,2为公比的等比数列. ………………………5分 ‎ (2) 由(1)得 ,,所以 ‎ ,‎ 于是 ,,‎ ‎ ‎
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