高考安徽理科数学试卷及答案解析

高考安徽理科数学试卷及答案解析

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）‎ 数 学（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 考生注意事项：‎ 1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．‎ 2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．‎ 3． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效．‎ 4． 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ‎ ‎ 其中表示球的半径 如果事件相互独立，那么 ‎ ‎ 球的体积公式 ‎ 如果随机变量 其中表示球的半径 ‎ ‎ 第I卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）．复数 （ ）‎ A．2 B．－2 C． D． ‎ ‎（2）．集合，则下列结论正确的是（ ） ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎（3）．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则（ ）‎ A． （－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4） ‎ ‎（4）．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎（5）．将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（6）．设则中奇数的个数为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎（7）．是方程至少有一个负数根的（ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎（8）．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（9）．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称。而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎（10）．设两个正态分布和的密度函数图像如图所示。则有（ ）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎（11）．若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎（12）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）‎ 数 学（理科）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 考生注意事项：‎ ‎ 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎（13）．函数的定义域为 ．‎ ‎（14）在数列在中，，，,其中为常数，则的值是 ‎ ‎（15）若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为 ‎ ‎（16）已知在同一个球面上,若 ‎,则两点间的球面距离是 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 ‎（Ⅱ）求函数在区间上的值域 ‎（18）．（本小题满分12分 如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点 ‎（Ⅰ）证明：直线；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； ‎ ‎（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。‎ ‎(19)．（本小题满分12分）‎ 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。‎ ‎（Ⅰ）求n,p的值并写出的分布列；‎ ‎（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率 ‎（20）．（本小题满分12分）‎ 设函数 ‎（Ⅰ）求函数的单调区间； ‎ ‎（Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围。‎ ‎（21）．（本小题满分13分）‎ 设数列满足为实数 ‎（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：;‎ ‎（Ⅲ）设，证明：‎ ‎（22）．（本小题满分13分）‎ 设椭圆过点，且着焦点为 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上 ‎2008年高考安徽理科数学试题参考答案 一. 选择题 ‎1A 2D 3B 4D 5C 6A 7B 8C 9B 10A 11D 12C ‎(1).‎ ‎【解析】. ‎ ‎(2). 【解析】. ‎ ‎(3). 【解析】.‎ ‎(4). ‎ ‎【解析】若，则可相交，平行、异面均可，错；若，则可平行，也可相交，错误；若，的位置关系决定的关系，也错误；若，则（线面垂直的性质定理），故选. (5) .‎ ‎【解析】设，则平移后所得的函数为 ，图象关于点 对称，从而有，解得（其中），故选. (6).‎ ‎【解析】，奇遇都是偶数，选. ‎ ‎(7).‎ ‎【解析】这一题是课本习题改编题，当 ，显然有，则有一负数根，具备充分性；反之若方程有一负数根，或 或，得到，不具备必要性，因此选. (8). ‎ ‎【解析】点 在圆外，因此斜率必存在.设经过该点的直线方程为，所以有，解得 .从而选.‎ ‎(9) . 【解析】，在函数 的图象上，从而点在的图象上，因此点 在 的图象上，故有，即，因而选. ‎ ‎(10).‎ ‎【解析】正态分布函数图象关于直线对称，而，其大小表示变量集中程度，值越大，数据分布越广，图象越胖；值越小，量越集中，图象越瘦，因此选. ‎ ‎(11).‎ ‎【解析】，在上为增函数，有；，，此选. (12). 【解析】在后排选出2个人有种选法，分别插入到前排中去，有种方法，由乘法原理知共有种调整方案，选.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎13: 14: 1 15: 16: ‎ ‎（13）．‎ ‎【解析】由，解得：，值域为.‎ ‎（14）1.‎ ‎【解析】，，从而 ‎（15）.‎ ‎【解析】作出可行域,如右图，则直线扫过的面积为 ‎-2‎ ‎2‎ A O B C 即可.‎ B D A C O ‎（16）.‎ ‎【解析】、、‎ 都是直角三角形，因此球心为的中点，‎ ‎，又 则两点间的球间距离是.‎ 一. 解答题 ‎17解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由 函数图象的对称轴方程为 ‎ ‎（2）‎ 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 所以 当时，去最大值 1‎ 又 ，当时，取最小值 所以 函数 在区间上的值域为 ‎18 方法一（综合法）‎ ‎ （1）取OB中点E，连接ME，NE 又 ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎ 为异面直线与所成的角（或其补角）‎ ‎ 作连接 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 所以 与所成角的大小为 ‎ （3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 ‎ 于点Q，‎ ‎ 又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离 ‎ ，‎ ‎ ，所以点B到平面OCD的距离为 方法二(向量法)‎ 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系 ‎,‎ ‎(1)‎ 设平面OCD的法向量为,则 即 ‎ 取,解得 ‎(2)设与所成的角为,‎ ‎ , 与所成角的大小为 ‎(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值,‎ ‎ 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为 ‎19 (1)由得,从而 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得 ‎ 或 ‎ ‎20 解 (1) 若 则 列表如下 ‎ ‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎-‎ 单调增 极大值 单调减 单调减 ‎ (2) 在 两边取对数, 得 ,由于所以 ‎ (1)‎ 由(1)的结果可知,当时, , ‎ 为使(1)式对所有成立,当且仅当,即 ‎21解 (1) 必要性 ： ，‎ ‎ 又 ，即 充分性 ：设 ，对用数学归纳法证明 ‎ 当时，.假设 ‎ 则，且 ‎，由数学归纳法知对所有成立 ‎ (2) 设 ，当时，，结论成立 ‎ 当 时，‎ ‎ ‎ ‎ ,由（1）知，所以 且 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(3) 设 ，当时，，结论成立 ‎ 当时，由（2）知 ‎ ‎ ‎22解 (1)由题意：‎ ‎ ，解得，所求椭圆方程为 ‎ ‎(2)方法一 ‎ 设点Q、A、B的坐标分别为。‎ 由题设知均不为零，记,则且 又A，P，B，Q四点共线，从而 于是 ， ‎ ‎ ， ‎ 从而 ‎ ‎ ，（1） ，（2）‎ 又点A、B在椭圆C上，即 ‎ ‎ ‎ （1）+（2）×2并结合（3），（4）得 即点总在定直线上 方法二 设点，由题设，均不为零。‎ 且 ‎ 又 四点共线，可设,于是 ‎ （1）‎ ‎ （2）‎ 由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得 ‎ （3）‎ ‎ (4)‎ ‎(4)－(3) 　　　得 ‎ 即点总在定直线上