高中数学人教a必修5章末综合测评3word版含解析

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高中数学人教a必修5章末综合测评3word版含解析

章末综合测评(三) (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2016·菏泽高二期末)对于任意实数 a,b,c,d,下列四个命题中: ①若 a>b,c≠0,则 ac>bc; ②若 a>b,则 ac2>bc2; ③若 ac2>bc2,则 a>b; ④若 a>b>0,c>d,则 ac>bd. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 若 a>b,c<0 时,acd>0 时,ac>bd,④错,故选 A. 【答案】 A 2.直线 3x+2y+5=0 把平面分成两个区域.下列各点与原点位于同一区域 的是( ) A.(-3,4) B.(-3,-4) C.(0,-3) D.(-3,2) 【解析】 当 x=y=0 时,3x+2y+5=5>0,则原点一侧对应的不等式是 3x +2y+5>0,可以验证仅有点(-3,4)满足 3x+2y+5>0. 【答案】 A 3.设 A=b a +a b ,其中 a,b 是正实数,且 a≠b,B=-x2+4x-2,则 A 与 B 的大小关系是( ) A.A≥B B.A>B C.A2 b a·a b =2,即 A>2, B=-x2+4x-2=-(x2-4x+4)+2 =-(x-2)2+2≤2, 即 B≤2,∴A>B. 【答案】 B 4.已知 0<a<b<1,则下列不等式成立的是( ) 【导学号:05920084】 A.a3>b3 B.1 a <1 b C.ab>1 D.lg(b-a)<0 【解析】 由 0<a<b<1,可得 a3<b3,A 错误;1 a >1 b ,B 错误;ab<1,C 错误;0<b-a<1,lg(b-a)<0,D 正确. 【答案】 D 5.在 R 上定义运算☆:a☆b=ab+2a+b,则满足 x☆(x-2)<0 的实数 x 的 取值范围为( ) A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2) 【解析】 根据定义得,x☆(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2<0,解 得-22 【解析】 0logaa2=2,即 loga(xy)>2. 【答案】 D 7.不等式 2x2+2x-4≤1 2 的解集为( ) A.(-∞,-3] B.(-3,1] C.[-3,1] D.[1,+∞)∪(-∞,-3] 【解析】 由已知得 2x2+2x-4≤2-1,所以 x2+2x-4≤-1,即 x2+2x- 3≤0,解得-3≤x≤1. 【答案】 C 8.(2014·安徽高考)x,y 满足约束条件 x+y-2≤0, x-2y-2≤0, 2x-y+2≥0. 若 z=y-ax 取得 最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值为( ) A.1 2 或-1 B.2 或1 2 C.2 或 1 D.2 或-1 【解析】 如图,由 y=ax+z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距,故当 a>0 时,要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则 a=2;当 a<0 时,要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则 a=-1. 【答案】 D 9.已知正实数 a,b 满足 4a+b=30,当1 a +1 b 取最小值时,实数对(a,b)是( ) A.(5,10) B.(6,6) C.(10,5) D.(7,2) 【解析】 1 a +1 b = 1 a +1 b · 1 30·30 = 1 30 1 a +1 b (4a+b) = 1 30 5+b a +4a b ≥ 1 30 5+2 b a·4a b = 3 10. 当且仅当 b a =4a b , 4a+b=30, 即 a=5, b=10 时取等号. 【答案】 A 10.在如图 1 所示的可行域内(阴影部分且包括边界),目标函数 z=x+ay 取 得最小值的最优解有无数个,则 a 的一个可能值是( ) 图 1 A.-3 B.3 C.-1 D.1 【解析】 若最优解有无数个,则 y=-1 ax+z a 与其中一条边平行,而三边 的斜率分别为1 3 ,-1,0,与-1 a 对照可知 a=-3 或 1, 又因 z=x+ay 取得最小值,则 a=-3. 【答案】 A 11.某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货 物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站 10 km 处建仓库,则土 地费用和运输费用分别为 2 万元和 8 万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应 建在离车站( ) A.5 km 处 B.4 km 处 C.3 km 处 D.2 km 处 【解析】 设车站到仓库距离为 x,土地费用为 y1,运输费用为 y2,由题意 得 y1=k1 x ,y2=k2x,∵x=10 时,y1=2,y2=8,∴k1=20,k2=4 5 ,∴费用之和为 y=y1+y2=20 x +4 5x≥2 20 x ×4 5x=8,当且仅当20 x =4x 5 ,即 x=5 时取等号. 【答案】 A 12.设 D 是不等式组 x+2y≤10, 2x+y≥3, 0≤x≤4, y≥1 表示的平面区域,则 D 中的点 P(x, y)到直线 x+y=10 的距离的最大值是( ) A. 2 B.2 2 C.3 2 D.4 2 【解析】 画出可行域,由图知最优解为 A(1,1),故 A 到 x+y=10 的距离 为 d=4 2. 【答案】 D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横 线上) 13.函数 y=2-x-4 x(x>0)的值域为________. 【解析】 当 x>0 时,y=2- x+4 x ≤2-2 x×4 x =-2.当且仅当 x=4 x ,x =2 时取等号. 【答案】 (-∞,-2] 14.规定记号“⊙”表示一种运算,定义 a⊙b= ab+a+b(a,b 为正实数), 若 1⊙k<3,则 k 的取值范围为________. 【解析】 由题意得 k+1+k<3,即( k+2)·( k-1)<0,且 k>0,因此 k 的 取值范围是(0,1). 【答案】 (0,1) 15.(2015·山东高考)若 x,y 满足约束条件 y-x≤1, x+y≤3, y≥1, 则 z=x+3y 的最 大值为________. 【解析】 根据约束条件画出可行域如图所示,平移直线 y=-1 3x,当直线 y=-1 3x+z 3 过点 A 时,目标函数取得最大值.由 y-x=1, x+y=3, 可得 A(1,2),代入 可得 z=1+3×2=7. 【答案】 7 16.(2015·浙江高考)已知实数 x,y 满足 x2+y2≤1,则|2x+y-4|+|6-x-3y| 的最大值是________. 【解析】 ∵x2+y2≤1,∴2x+y-4<0,6-x-3y>0,∴|2x+y-4|+|6-x- 3y|=4-2x-y+6-x-3y=10-3x-4y. 令 z=10-3x-4y 如图,设 OA 与直线-3x-4y=0 垂直,∴直线 OA 的方程为 y=4 3x. 联立 y=4 3x, x2+y2=1, 得 A -3 5 ,-4 5 , ∴当 z=10-3x-4y 过点 A 时,z 取最大值,zmax=10-3× -3 5 -4× -4 5 = 15. 【答案】 15 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)(2016·苏州高二检测)已知函数 f(x)=x2+2 x ,解不等式 f(x)-f(x-1)>2x-1. 【解】 由题意可得 x2+2 x -(x-1)2- 2 x-1>2x-1, 化简得 2 xx-1<0, 即 x(x-1)<0, 解得 00 且 x≠0,即-10 时, ∵ x2 1+x>0,∴ 1 1+x>1-x. 19.(本小题满分 12 分)已知 x,y,z∈R+,且 x+y+z=1,求证:1 x +4 y +9 z ≥36. 【导学号:05920085】 【证明】 ∵(x+y+z) 1 x +4 y +9 z =14+y x +4x y +z x +9x z +4z y +9y z ≥14+4+6+ 12=36, ∴1 x +4 y +9 z ≥36. 当且仅当 x2=1 4y2=1 9z2,即 x=1 6 ,y=1 3 ,z=1 2 时,等号成立. 20.(本小题满分 12 分)一个农民有田 2 亩,根据他的经验,若种水稻,则 每亩每期产量为 400 千克;若种花生,则每亩每期产量为 100 千克,但水稻成本 较高,每亩每期需 240 元,而花生只要 80 元,且花生每千克可卖 5 元,稻米每 千克只卖 3 元,现在他只能凑足 400 元,问这位农民对两种作物各种多少亩,才 能得到最大利润? 【解】 设水稻种 x 亩,花生种 y 亩,则由题意得 x+y≤2, 240x+80y≤400, x≥0, y≥0, 即 x+y≤2, 3x+y≤5, x≥0,y≥0, 画出可行域如图阴影部分所示 而利润 P=(3×400-240)x+(5×100-80)y =960x+420y(目标函数), 可联立 x+y=2, 3x+y=5, 得交点 B(1.5,0.5). 故当 x=1.5,y=0.5 时, P 最大值=960×1.5+420×0.5=1 650, 即水稻种 1.5 亩,花生种 0.5 亩时所得到的利润最大. 21.(本小题满分 12 分)(2015·周口高二检测)已知函数 f(x)=x2+3 x-a (x≠a,a 为非零常数). (1)解不等式 f(x)a 时,f(x)有最小值为 6,求 a 的值. 【解】 (1)f(x)0 时, x+3 a (x-a)<0, ∴解集为 x|-3 a0, 解集为 x|x>-3 a 或 x0). ∴f(x)=t2+2at+a2+3 t =t+a2+3 t +2a ≥2 t·a2+3 t +2a =2 a2+3+2a. 当且仅当 t=a2+3 t , 即 t= a2+3时,等号成立, 即 f(x)有最小值 2 a2+3+2a. 依题意有:2 a2+3+2a=6, 解得 a=1. 22.(本小题满分 12 分)(2015·济南师大附中检测)已知函数 f(x)=x2-2x-8, g(x)=2x2-4x-16, (1)求不等式 g(x)<0 的解集; (2)若对一切 x>2,均有 f(x)≥(m+2)x-m-15 成立,求实数 m 的取值范围. 【解】 (1)g(x)=2x2-4x-16<0, ∴(2x+4)(x-4)<0, ∴-22 时,f(x)≥(m+2)x-m-15 恒成立, ∴x2-2x-8≥(m+2)x-m-15, 即 x2-4x+7≥m(x-1). ∴对一切 x>2,均有不等式x2-4x+7 x-1 ≥m 成立. 而x2-4x+7 x-1 =(x-1)+ 4 x-1 -2≥2 x-1× 4 x-1 -2=2(当且仅当 x=3 时 等号成立), ∴实数 m 的取值范围是(-∞,2].
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