2017-2018学年浙江省金华十校高二上学期期末联考数学试题（解析版）

2017-2018学年浙江省金华十校高二上学期期末联考数学试题（解析版）

绝密★启用前 浙江省金华市十校2017-2018学年高二上学期期末联考数学卷 考试范围：常用逻辑用语、立体几何、解析几何.考试时间：120分钟 ‎【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷覆盖面广，涵盖了高中数学的常用逻辑用语、立体几何、解析几何等内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点考查.全卷仿高考试卷命制，突出基础知识、基本运算能力及推理论证能力的考查，选题贴近高考.‎ 第I卷（选择题）‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知平面的法向量为， ，则直线与平面的位置关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. 与相交但不垂直 D. ‎ ‎2．已知命题：“若，则”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎3．长方体， ，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知命题直线过不同两点，命题直线的方程为 ，则命题是命题的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5．已知圆截直线所得弦长为4，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．以下关于空间几何体特征性质的描述，正确的是（ ）‎ A. 以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥 B. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 D. 两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台 ‎7．空间中， 是三个互不重合的平面， 是一条直线，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若， ，则 B. 若， ，则 C. 若， ，则 D. 若， ，则 ‎8．斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中不正确的是（ ）‎ A. 为定值 B. 为定值 C. 点的轨迹为圆的一部分 D. 点的轨迹是圆的一部分 ‎9．在正方体中，点为对角面内一动点，点分别在直线和上自由滑动，直线与所成角的最小值为，则下列结论中正确的是（ ）‎ A. 若，则点的轨迹为双曲线的一部分 B. 若，则点的轨迹为双曲线的一部分 C. 若，则点的轨迹为双曲线的一部分 D. 若，则点的轨迹为双曲线的一部分 ‎10．定义在上的函数，其导函数为，若和都恒成立，对于，下列结论中不一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 第II卷（非选择题）‎ 评卷人 得分 二、填空题 ‎11．已知为实数，直线，直线，若，则__________；若，则__________．‎ ‎12．已知抛物线，则其焦点坐标为__________，直线与抛物线交于两点，则 __________．‎ ‎13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________，表面积为__________．‎ ‎14．已知函数，（1）若函数的图像在点处的切线斜率为6，则实数__________；（2）若函数在内既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是__________．‎ ‎15．已知是双曲线的左、右焦点， 是其渐近线在第一象限内的点，点在双曲线上，且满足， ，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎16．正四面体的棱长为2，半径为的球过点， 为球的一条直径，则的最小值是__________．‎ ‎17．已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时， 的内心的轨迹方程为__________．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎18．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.‎ ‎19．如图，在直四棱柱中，底面为菱形， ， , 为中点.‎ ‎（Ⅰ）证明： 面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎20．点是圆上一动点，点.‎ ‎（Ⅰ）若，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线的垂线，垂足为，求的取值范围.‎ ‎21．如图，在三棱锥中， ， ， ， ，直线与平面成角， 为的中点， ， .‎ ‎（Ⅰ）若，求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.‎ ‎22．已知椭圆的长轴长为4，过点的直线交椭圆于两点， 为中点，连接并延长交椭圆于点，记直线和的斜率为分别为和，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）当为直角时，求的面积.‎ ‎1．A【解析】.‎ 本题选择A选项.‎ ‎3．A【解析】异面直线与所成的角即为与所成的角.‎ 在中，‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：‎ ‎①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；‎ ‎②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；‎ ‎③计算：求该角的值，常利用解三角形；‎ ‎④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．‎ ‎4．C【解析】当时，过不同两点的直线方程为，即 ‎ ，‎ 又当时，直线为，也满足上式，‎ 当时，直线为，也满足上式，‎ 所以，过不同两点的直线方程为 .‎ 反过来，直线的方程为 ，则当时， ，所以直线过点同理，当时， ，所以直线过点即直线过不同两点.‎ 所以命题是命题的充要条件.‎ 本题选择C选项.‎ ‎6．D【解析】以直角三角形的一个直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥，可得A错误.‎ 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体可能是棱台，不一定是棱柱，故B错误.‎ 有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故C错误.‎ 根据棱台的定义，可得D正确.‎ 本题选择D选项.‎ ‎7．C【解析】若l∥α，l∥β，则α与β可能平行也可能相交(此时交线与l平行)，故A错误；‎ 若， ，则l∥α或l⊂α，故B错误；‎ 若， ，则l与β可能平行也可能相交，故D错误；‎ 若l∥β，则存在直线m⊂β，使得l∥m，又由l⊥α可得m⊥α，故α⊥β，故C正确；‎ 本题选择C选项.‎ ‎8．C【解析】设抛物线上两点坐标分别为，则两式做差得， ，‎ 整理得为定值，所以A正确.‎ 因为焦点，所以直线AB方程为.由得，则 ‎.‎ 为定值.故B正确.‎ 点的轨迹是以OF为直径的圆的一部分，故D正确.‎ 本题选择C选项.‎ 由圆锥的特征结合平面与平面所成角的平面角为可知：‎ 当时截面为双曲线的一部分；‎ 当时截面为圆的一部分；‎ 当时截面为椭圆的一部分.‎ 本题选择A选项.‎ ‎10．D【解析】由题意可得： ，构造函数：‎ ‎，则，‎ 则函数单调递减， ，‎ 即： ，选项A正确；‎ ‎，则，‎ 则函数单调递增， ，‎ 即： ，选项B正确；‎ 点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。‎ ‎11． 4 -9【解析】‎ ‎12． 【解析】抛物线，其焦点坐标为.‎ 由 ‎13． 【解析】如图所示，在长宽高分别为的长方体中，三视图对应的几何体为图中的四棱锥，其中点为棱的中点，‎ 其体积，‎ 考查各个面的面积：‎ ‎， ,,‎ 等腰△PAD中，AD=2， ，则其面积为： ，‎ 则其表面积为： .‎ 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎14． -1 【解析】函数在内既有极大值又有极小值，则在内有两个不同的实数根，则 ‎15．2【解析】由题意可知， 为直角三角形，则，‎ 设点的坐标为，‎ 结合点在渐近线上可得：‎ ‎，解得： ，则，‎ 且，设，由题意有：‎ ‎，‎ 则： ，‎ 据此可得： ，则在双曲线上：‎ ‎，‎ 即： ，则： ，‎ 结合可得： .‎ 即双曲线的离心率为2.‎ 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ 当向量反向时， 取得最小值： .‎ ‎17．【解析】考查更为一般的问题：设P为椭圆C: 上的动点， 为椭圆的两个焦点， 为△PF1F2的内心，求点I的轨迹方程．‎ 解法一：如图，设内切圆I与F1F2的切点为H，半径为r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z， ，则.‎ 离心率e满足的椭圆，‎ 其标准方程为.‎ 解法二：令，则．三角形PF1F2的面积：‎ ‎，‎ 其中r为内切圆的半径，解得.‎ 另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：‎ 从而有．消去θ得到点I的轨迹方程为：‎ ‎.‎ 本题中： ，代入上式可得轨迹方程为： .‎ ‎18．(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ），则.‎ ‎∴，‎ ‎∴在单调递减，在单调递增.‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）由已知在上恒成立，∴.‎ 令， .‎ ‎∴在上单调递减，∴.‎ ‎∴.‎ 点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k ‎，把所求问题转化为求函数的最小值问题．‎ ‎(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．‎ ‎19．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）设，连，由中位线的性质可得，结合线面平行的判断定理可得面.‎ ‎（Ⅱ）过作，垂足为，连，则是二面角的平面角.‎ 由题意可得， ， .即二面角的余弦值为.‎ ‎（Ⅱ）过作，垂足为，连，‎ ‎∵面， ，∴面.‎ ‎∴是二面角的平面角.‎ ‎∵， ，∴， .‎ 故二面角的余弦值为.‎ ‎20．(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）由题意可得圆的标准方程为.由结合关系可知，满足题意时是的切线.‎ 求得斜率为.直线的方程为： .‎ ‎（Ⅱ）由题意可知在以为直径的圆上，设， ， ，‎ 原问题等价于与与有交点，据此可得.‎ ‎（Ⅱ）∵，∴在以为直径的圆上 ‎，‎ 设， ， ，‎ 与有交点，‎ ‎∴.‎ ‎21．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：由题意可得直线与平面所成角是，即.‎ 设，则， ，由余弦定理得或.‎ ‎（Ⅰ）若，则，由勾股定理可得，又，据此可得平面，平面平面.‎ ‎（Ⅱ）若，则，故， ，‎ 设是到面的距离， 是到面的距离，则，‎ 由等体积法可得， .‎ 设直线与平面所成角为，则 ，据此可得直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.‎ ‎（Ⅰ）若，则，∴在中.∴，‎ 又， ，∴平面，∴平面平面.‎ ‎（Ⅱ）若，∴，∵，∴， ，‎ 设是到面的距离， 是到面的距离，则，‎ 由等体积法： ，‎ ‎∴，∴.‎ 设直线与平面所成角为，则 ‎ .‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴‎ 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.‎ ‎22．(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅱ）由题意结合(Ⅰ)的结论可得，点，则 .‎ 由直线垂直的条件可得，可解得.则.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由已知，设直线，联立椭圆方程消去可得：‎ ‎，‎ 则，即.‎ 设， ， ，由韦达定理可得： ，‎ 点为中点，则， ，故，‎ 由得，所以，‎ 故椭圆方程为： .‎ ‎∴ .‎ ‎∵为直角，∴，可解得.‎ 故 .‎ 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎