福建省龙岩市长汀县长汀连城一中等六校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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福建省龙岩市长汀县长汀连城一中等六校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

福建省长汀、连城一中等六校2019-2020学年高二年上学期期中考联考数学试题 一、选择题(本大题共12小题)‎ ‎1.某校有高一学生450人,高二学生540人,高三学生630人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从这些学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高一学生中抽取15人,则n为(  )‎ A. 45 B. 60 C. 50 D. 54‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用分层抽样的定义和方法,求出n的值.‎ ‎【详解】解:根据题意可得=,求得 n=54,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法,属于基础题.‎ ‎2.设m、n表示不同的直线,α、β表示不同的平面,且m⊂α,n⊂β,则“α∥β”是“m∥β且n∥α”的(  )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线面面面平行的判定与性质定理即可判断出关系.‎ ‎【详解】解:m、n表示不同的直线,α、β表示不同的平面,且m⊂α,n⊂β,‎ 则“α∥β”⇒“m∥β且n∥α”,反之两平面可能相交,不成立.‎ ‎∴“α∥β”是“m∥β且n∥α”的充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了线面、面面平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎3.命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0≥x02-1”的否定为(  )‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.‎ ‎【详解】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以:命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0≥x02-1”的否定为:∀x∈(0,+∞),lnx<x2-1.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定.特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.‎ ‎4.从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球,那么下列给出的两个事件互斥而不对立的是(  )‎ A. 恰有一个红球与恰有两个红球 B. 至少一个红球与至少一个白球 C. 至少一个红球与都是白球 D. 至少一个红球与都是红球 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用互斥事件与对立事件的定义直接求解.‎ ‎【详解】解:从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球,‎ 在A中,恰有一个红球与恰有两个红球不能同时发生,但能同时不发生,‎ ‎∴恰有一个红球与恰有两个红球是互斥而不对立事件,故A正确;‎ 在B中,至少一个红球与至少一个白球能同时发生,不是互斥事件,故B错误;‎ 在C中,至少一个红球与都是白球不能同时发生,不能同时不发生,‎ 故至少一个红球与都是白球不能同时发生是对立事件,故C错误;‎ 在D中,至少一个红球与都是红球能同时发生,不是互斥事件,故D错误.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查互斥而不对立事件的判断,考查互斥事件与对立事件的定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.‎ ‎5.已知椭圆,则以点M(-1,1)为中点的弦所在直线方程为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可采用“点差法”,即先设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程后作差,可求出直线的斜率,再结合过点M,写出点斜式方程.‎ ‎【详解】解:设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),‎ ‎∴,,两式相减得,‎ ‎∴=-•,①‎ 又∵M(-1,1)为AB的中点,‎ ‎∴x1+x2=-2,y1+y2=2代入①式得=,‎ 即kAB=,‎ ‎∴直线AB方程为y-1=(x+1),即4x-5y+9=0.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查“点差法”,考查基本分析求解能力,属中档题.‎ ‎6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为棱C1D1的中点,则异面直线AM与BD所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以D为原点建立空间直角坐标系,写出A,M,B,D坐标,求出对应向量,即可求出结果.‎ ‎【详解】解:正方体ABCD-A1B1C1D1,M为A1B1的中点,‎ 设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,‎ A(1,0,0),M(0,,1),B(1,1,0),D(0,0,0),‎ ‎=(-1,,1),,‎ ‎=,‎ 所以异面直线AM与BD所成角的余弦值为,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查向量法解异面直线所成的角,中档题.‎ ‎7.一个包装箱内有6件产品,其中正品4件,次品2件.现随机抽出两件产品,则抽到都是正品的概率是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出基本事件总数n==15,抽到都是正品包含的基本事件个数m==6,由此能求出抽到都是正品的概率.‎ ‎【详解】解:一个包装箱内有6件产品,其中正品4件,次品2件.现随机抽出两件产品,‎ 基本事件总数n==15,‎ 抽到都是正品包含的基本事件个数m==6,‎ 则抽到都是正品的概率是p=.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.‎ ‎8.甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学,在一次数学测试中,成绩统计用茎叶图表示如图,若甲、乙两个小组的平均成绩分别是,,标准差分别是s1,s2,则下列说法正确的是(  )‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由茎叶图中数据计算平均数和标准差即可.‎ ‎【详解】解:由茎叶图中数据,计算平均数 ‎=×(88+89+90+91+92)=90,‎ ‎=×(85+86+88+88+93)=88,‎ 标准差为s1==,‎ s2==,‎ ‎∴>,s1<s2.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了平均数与标准差的计算问题,是基础题.‎ ‎9.已知F是抛物线x2=y的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到x轴的距离为(  )‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B的中点纵坐标,求出线段AB的中点到x轴的距离.‎ ‎【详解】解:抛物线x2=y的焦点F(0,)准线方程y=-,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2)‎ ‎∴|AF|+|BF|=y1++y2+=3‎ 解得y1+y2=,‎ ‎∴线段AB的中点纵坐标为,‎ ‎∴线段AB的中点到x轴的距离为,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离.‎ ‎10.双曲线的左焦点为,点A的坐标为(0,1),点P为双曲线右支上的动点,且△APF1周长的最小值为6,则双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得AF1|=2,可得|PA|+|PF1|的最小值为4,设F2为双曲线的右焦点,由双曲线的定义可得|PA|+|PF2|+2a的最小值为4,当A,P,F2三点共线时,取得最小值,可得a ‎=1,由离心率公式可得所求值.‎ ‎【详解】解:由|AF1|==2,三角形APF1的周长的最小值为6,‎ 可得|PA|+|PF1|的最小值为4,‎ 又F2为双曲线的右焦点,可得|PF1|=|PF2|+2a,‎ 当A,P,F2三点共线时,|PA|+|PF2|取得最小值,且为|AF2|=2,‎ 即有2+2a=4,即a=1,c=,‎ 可得e==.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质,主要是离心率的求法,考查三点共线取得最小值的性质,考查方程思想和运算能力,属于中档题.‎ ‎11.如图,在直三棱柱中,,,点G与E分别为线段和的中点,点D与F分别为线段AC和AB上的动点。若,则线段DF长度的最小值是( )‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立坐标系,设,由可得,然后结合空间两点的距离公式,利用二次函数的性质可得结果.‎ ‎【详解】‎ 建立坐标系,如图,‎ 令 则 因为 即,‎ 时,最小为,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1‎ ‎)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎12.已知椭圆的左、右顶点分别为,为椭圆的右焦点,圆上有一动点,不同于两点,直线与椭圆交于点,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意得, .‎ 设点的坐标为,则 ‎ .‎ ‎∴,‎ 又且,‎ ‎∴或,‎ 故的取值范围为.选D.‎ 二、填空题(本大题共4小题)‎ ‎13.已知向量,,若,则实数λ=______.‎ ‎【答案】-10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量垂直的性质直接求解.‎ ‎【详解】解:∵向量,,,‎ ‎∴=λ+6+4=0,‎ 解得实数λ=-10.‎ 故答案为:-10.‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.‎ ‎14.与双曲线有共同的渐近线,且过点(3,2)的双曲线方程为______.‎ ‎【答案】-=1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意,设与双曲线有共同的渐近线的双曲线为:=m,m≠0,且m≠1,代入点解出m即可.‎ ‎【详解】解:设与双曲线有共同的渐近线的双曲线为:=m,m≠0,且m≠1,‎ 则由题意可得,‎ ‎3-1=m,‎ 故m=2,‎ 故双曲线方程为-=1.‎ 故答案为:-=1.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的性质应用,双曲线方程的求法,属于基础题.‎ ‎15.若命题:∃x∈[0,3],使x2-2x-a≥0为真命题,则实数a的取值范围是______.‎ ‎【答案】a≤3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题∃x∈[0,3],使x2-2x-a≥0为真命题,得出不等式a≤x2-2x在x∈[0,3]能成立;求出f(x)=x2-2x在x∈[0,3]内的最大值,即可求得实数a的取值范围.‎ ‎【详解】解:命题∃x∈[0,3],使x2-2x-a≥0为真命题,‎ 即a≤x2-2x在x∈[0,3]能成立;‎ 设f(x)=x2-2x,其中x∈[0,3];‎ 则f(x)=(x-1)2-1,‎ 且当x=3时,f(x)取得最大值f(3)=3,‎ 所以实数a的取值范围是a≤3.‎ 故选:a≤3.‎ ‎【点睛】本题考查根据命题真假求参数,是基础题.‎ ‎16.以下四个关于圆锥曲线的命题中 ‎①设A、B为两个定点,k为非零常数,,则动点P的轨迹为双曲线;‎ ‎②曲线表示焦点在y轴上的椭圆,则;‎ ‎③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;‎ ‎④双曲线与椭圆有相同的焦点.‎ 其中真命题的序号为______(写出所有真命题的序号)‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据双曲线的定义知|k|<|AB|时方程表示双曲线的一支;‎ ‎②根据方程表示焦点在y轴上的椭圆时求出t的取值范围即可;‎ ‎③求出方程2x2-5x+2=0的两根,再判断两个根是否能作为椭圆的离心率和双曲线的离心率;‎ ‎④分别求出双曲线和椭圆焦点坐标,判断是否相同即可.‎ ‎【详解】解:对于①,根据双曲线的定义知,当k的范围满足|k|<|AB|时方程表示双曲线的一支,∴①错误;‎ 对于②,令,解得<t<4,此时曲线表示焦点在y轴上的椭圆,∴②正确;‎ 对于③,解方程2x2-5x+2=0,得x=或x=2;可作为椭圆的离心率,2可作为双曲线的离心率,∴③正确;‎ 对于④,双曲线中,c==,焦点坐标为F1(-,0)、F2(,0);‎ 椭圆中,c′==,焦点坐标为F1′(-,0)、F2(,0),‎ 它们的焦点相同,∴④正确;‎ 综上知,其中真命题的序号是②③④.‎ 故答案为:②③④.‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥曲线的定义与简单的几何性质问题,是基础题.‎ 三、解答题(本大题共6小题)‎ ‎17.已知集合A={x|1-a≤x≤1+a}(a>0),B={x|x2-5x+4≤0}.‎ ‎(1)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)对任意x∈B,不等式x2-mx+4≥0都成立,求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】(1)[3,+∞);(2)(-∞,4].‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,即可得出a满足的条件.‎ ‎(2)要使任意x∈B,不等式x2-mx+4≥0都成立,又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}.由x2-mx+4≥0,得,只要,即可得出.‎ ‎【详解】解:(1)A={x|1-a≤x≤1+a}(a>0),B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}.‎ 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,即B⫋A,‎ 所以,或,‎ 所以,,或,‎ 所以a≥3.‎ 所以,实数a的取值范围是[3,+∞).‎ ‎(2)要使任意x∈B,不等式x2-mx+4≥0都成立,又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}.‎ 由x2-mx+4≥0,得,‎ 则只要,又,当且仅当,即x=2时等号成立.‎ 实数m的取值范围(-∞,4].‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎18.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)过抛物线C的焦点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点,求弦长|AB|.‎ ‎【答案】(1)y2=4x;(2)8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义可得p的方程,求得p,即可得到所求抛物线方程;‎ ‎(2)求得直线l的方程为y=x-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立抛物线方程,消去y,可得x的方程,运用韦达定理和弦长公式,计算可得所求值.‎ ‎【详解】解:(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(,0),准线方程为x=-,‎ ‎∵|MF|=4,由抛物线的定义可得,‎ ‎∴p=2.故所求抛物线方程为y2=4x;‎ ‎(2)由(1)得p=2,焦点F(1,0),所以直线l的方程为y=x-1,‎ 并设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立,消去y,得x2-6x+1=0,‎ 所以x1+x2=6,‎ 可得x1+x2+p=8,‎ 所以|AB|=8.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质,考查联立直线方程和抛物线方程,运用韦达定理,考查方程思想和运算能力,属于基础题.‎ ‎19.某地实施乡村振兴战略,对农副产品进行深加工以提高产品附加值,已知某农产品成本为每件3元,加工后的试营销期间,对该产品的价格与销售量统计得到如下数据:‎ 单价x(元)‎ ‎6‎ ‎6.2‎ ‎6.4‎ ‎6.6‎ ‎6.8‎ ‎7‎ 销量y(万件)‎ ‎80‎ ‎74‎ ‎73‎ ‎70‎ ‎65‎ ‎58‎ 数据显示单价x与对应的销量y满足线性相关关系.‎ ‎(1)求销量y(件)关于单价x(元)的线性回归方程;‎ ‎(2)根据销量y关于单价x的线性回归方程,要使加工后收益P最大,应将单价定为多少元?(产品收益=销售收入-成本).‎ 参考公式:==,‎ ‎【答案】(1);(2)6.5元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意计算平均数和回归系数,即可写出回归直线方程;‎ ‎(2)由题意写出收益函数P的解析式,求出P取最大值时对应的x值即可.‎ ‎【详解】解:(1)由题意得,=×(6+6.2+6.4+6.6+6.8+7)=6.5,‎ ‎=×(80+74+73+70+65+58)=70;‎ 则,‎ ‎;‎ 所以 ,‎ 所以所求回归直线方程为.‎ ‎(2)由题意可得,,‎ 整理得P=-20(x-6.5)2+245,‎ 当x=6.5时,P取得最大值为245;‎ 所以要使收益达到最大,应将价格定位6.5元.‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题,也考查了计算与推理能力,是基础题.‎ ‎20.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是矩形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=2,AC=1,,.‎ ‎(1)求证:AA1⊥平面ABC;‎ ‎(2)在线段BC1上是否存在一点D,使得AD⊥A1B?若存在求出的值,若不存在请说明理由.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)存在,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知先证明AA1⊥AC,利用面面垂直的性质可证AA1⊥平面ABC.‎ ‎(2)假设存在.设D(x1,y1,z1)是线段BC1上一点,且(λ∈[0,1]),求出 ‎,解得λ的值,即可求解.‎ ‎【详解】解:(1)因为侧面AA1C1C是矩形,‎ 所以AA1⊥AC,‎ 因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,‎ 所以AA1⊥平面ABC.‎ ‎(2)由(1)知AA1⊥AC,AA1⊥AB.‎ 由题意知AB=2,AC=1,,‎ 所以AB⊥AC,‎ 如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz,‎ 则A(0,0,0),B(0,2,0),,,‎ 假设D(x1,y1,z1)是线段BC1上一点,其中,,,‎ 设(λ∈[0,1]),即(x1,y1-2,z1)═,‎ 解得x1=λ,y1=2-2λ,,‎ 所以.‎ 若在线段BC1上存在一点D,使得AD⊥A1B,‎ 则,即,‎ 得4-6λ=0,解得,‎ 因为,‎ 所以在线段BC1上存在一点D,使得AD⊥A1B,此时.‎ ‎【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质,空间向量的数量积的应用,考查空间想象能力以及计算能力,属于中档题.‎ ‎21.某校学生社团组织活动丰富,学生会为了解同学对社团活动的满意程度,随机选取了100位同学进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100]分成6组,制成如图所示频率分布直方图.‎ ‎(1)求图中x的值;‎ ‎(2)求这组数据的中位数;‎ ‎(3)现从被调查的问卷满意度评分值在[60,80)的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解,再从这5人中随机抽取2人作主题发言,求抽取的2人恰在同一组的概率.‎ ‎【答案】(1)0.02;(2)75;(3)0.4‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)由面积和为1,可解得x的值;‎ ‎(2)由中位数两侧的面积相等,可解得中位数;‎ ‎(3)列出所有基本事件共10个,其中符合条件的共4个,从而可以解出所求概率.‎ ‎【详解】解:(1)由(0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x)×10=1,解得x=0.02.‎ ‎(2)中位数设为m,则0.05+0.1+0.2+(m-70)×0.03=0.5,解得m=75.‎ ‎(3)可得满意度评分值在[60,70)内有20人,抽得样本为2人,记为a1,a2 ‎ 满意度评分值在[70,80)内有30人,抽得样本为3人,记为b1,b2,b3,‎ 记“5人中随机抽取2人作主题发言,抽出的2人恰在同一组”为事件A,‎ 基本事件有(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),‎ ‎(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共10个,A包含的基本事件个数为4个,‎ 利用古典概型概率公式可知P(A)=0.4.‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图,中位数和古典概型,属于基础题.‎ ‎22.已知椭圆的离心率为,且椭圆上的点到焦点的最长距离为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过点P(0,2)的直线l(不过原点O)与椭圆C交于两点A、B,M为线段AB的中点.‎ ‎(ⅰ)证明:直线OM与l的斜率乘积为定值;‎ ‎(ⅱ)求△OAB面积的最大值及此时l的斜率.‎ ‎【答案】(1);(2)(ⅰ)详见解析;(ⅱ)△AOB面积的最大值是,此时l的斜率为±.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意得,解得即可求出方程,‎ ‎(2)(i)设直线l为:y=kx+2,根据韦达定理和斜率公式即可求出,‎ ‎(ii)先根据弦长公式求出|AB|及原点到直线的距离,再令=t,表示出三角形的面积,利用基本不等式即可求出.‎ ‎【详解】解:(1)由题意得,解得,‎ ‎∴a2=2,b2=a2-c2=1,‎ ‎∴椭圆C的方程为;‎ ‎(2)(ⅰ)设直线l为:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),‎ 由题意得,∴(1+2k2)x2+8kx+6=0,‎ ‎∴△=8(2k2-3)>0,即,‎ 由韦达定理得:x1+x2=-,x1x2=,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴直线OM与l的斜率乘积为定值.‎ ‎(ⅱ)由(ⅰ)可知: ,‎ 原点到直线AB的距离为 令=t,则t>0,‎ ‎∴S△AOB==≤=,‎ 当且仅当t=2时等号成立,此时k=±,且满足△>0,‎ ‎∴△AOB面积的最大值是,此时l的斜率为±.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,韦达定理,三角形的面积,弦长公式,基本不等式,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎
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