【数学】2019届一轮复习人教A版 坐标系与参数方程 学案

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第93题 坐标系与参数方程 I．题源探究·黄金母题 ‎【例1】（1）在同一平面直角坐标系中，直线经过伸缩变换后，变成直线 ；‎ ‎（2）在极坐标系中，已知两点，则线段的长度为 ；‎ ‎（3）直角坐标方程的极坐标方程为 ；‎ ‎（4）极坐标方程的直角坐标方程为 ；‎ ‎（5）在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为 ．‎ ‎【答案】（1）；（2）6；（3）；（4）；（5）．‎ ‎【解析】（1）由已知得代入得，即所求的直线方程为．‎ ‎（2）把的极坐标化为直角坐标即，由两点间距离公式得．‎ ‎（3）把代入，得 精彩解读 ‎【试题 】例1：人教A版选修4-4P15习题1．2T2，3，4改编；例2：人教A版选修4-4P39习题2．3T1改编．‎ ‎【母题评析】这类题主要考查直线与圆的极坐标方程、直线与椭圆的参数方程等，考查考生的分析问题解决问题、转化与化归以及基本计算能力．‎ ‎【思路方法】(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式，‎ ‎，．‎ ‎(2)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧．‎ ‎．‎ ‎（4），把，，代入化简得所求的直角坐标方程为．‎ ‎（5）如图，在圆上任取一点，则．‎ 在中，．‎ ‎【例2】（1）曲线(为参数)的对称中心 （ ）‎ A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．在直线 ‎（2）极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是 （ ）‎ A．直线、直线 B．圆、圆 C．直线、圆 D．圆、直线 ‎（3）曲线的长度是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】（1）B；（2）D；（3）A．‎ ‎【解析】（1）由得．曲线是以为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为，在直线上．‎ ‎（2）由，得，将代入上式得，故极坐标方程表示的图形为圆；由消去参数整理得，故参数方程表示的图形为直线，故选D．‎ ‎（3）消去参数得，它表示圆心角为的一段弧，弧长为，故选A．‎ II．考场精彩·真题回放 ‎【例1】【2017高考新课标I文22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）若，求与的交点坐标；‎ ‎（2）若上的点到的距离的最大值为，求．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先将曲线和直线 ‎【命题意图】这类题主要考查直线与圆的极坐标方程、直线与椭圆的参数方程等，考查考生的分析问题解决问题、转化与化归以及基本计算能力．‎ ‎【考试方向】这类试题在考查题型上，解答题的形式出现，难度中等偏易．‎ ‎【难点中心】‎ 化成普通方程，然后联立求出交点坐标；（2）直线的普通方程为，设上的点，的距离为．对a进行讨论当和当时，求出的值．‎ 试题解析：（1）曲线的普通方程为．当时，直线的普通方程为．由解得或．从而与的交点坐标为，．‎ ‎（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为．‎ 当时，的最大值为．由题设得，所以；‎ 当时，的最大值为．由题设得，所以．‎ 综上，或．‎ ‎【例2】【2017高考新课标II文22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎1．直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式：，‎ ‎；‎ ‎2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．‎ ‎3．化参数方程为普通方程主要是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决．‎ ‎4．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中及的取值范围的影响．‎ ‎（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）设出的极坐标，然后利用题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程；（2）利用（1）中的结论，设出的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值．‎ 试题解析：（1）设的极坐标为，的极坐标为，由题设知．‎ 由得的极坐标方程，因此的直角坐标方程为．‎ ‎（2）设点B的极坐标为，由题设知，于是的面积 当时，S取得最大值，所以面积的最大值为．‎ ‎【例3】【2017高考新课标III文22】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．设与的交点为，当变化时，‎ 的轨迹为曲线．‎ ‎（1）写出的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设：，为与的交点，求的极径．‎ ‎【答案】（1） ；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用题意首先得到曲线 的参数方程，然后消去参数即可得到曲线 的普通方程；‎ ‎（2）联立两个极坐标方程可得，代入极坐标方程进行计算可得极径的值为 ‎ 试题解析：（1）消去参数 得 的普通方程；消去参数m得l2的普通方程．设，由题设得，消去 得．所以C的普通方程为．‎ ‎（2）C的极坐标方程为．联立得．故，从而．代入得，所以交点M的极径为．‎ ‎【例4】【2017高考江苏】在平面坐标系中中，已知直线 的参考方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：直线的普通方程为．在曲线上，设，则点到直线的的距离，易知当时，．因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值．‎ III．理论基础·解题原理 ‎1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系的概念 在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．‎ 点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为．有序数对叫做点的极坐标，记为．‎ 注：极坐标与表示同一个点．极点的坐标为．‎ 若，则，规定点与点关于极点对称，即与表示同一点．‎ 如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的．‎ 极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(，＋)或（，＋），( )．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等．‎ 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．‎ ‎3．极坐标与直角坐标的互化 设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，从图中可以得出：‎ r q q r cos = x q r sin = y ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ r = + y x ‎)‎ ‎0‎ ‎(‎ tan ¹ = x x y q ï ï î ï ï í ì ï ï î ï ï í ì y y x O M H N ‎（直极互化图）‎ ‎4．常见曲线的极坐标方程 曲 线 图 形 极坐标方程 过极点，倾斜角为的直线 ‎（1）和 ‎（2）和 过点，与极轴垂直的直线 过点，与极轴平行的直线 过点，倾斜角为的直线 圆心为极点，半径为的圆 圆心为，半径为的圆 圆心为，半径为的圆 :学 XX ]‎ ‎5．参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．‎ ‎6．常见曲线的参数方程 ‎（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程（为参数）．‎ 设是直线上的任意一点，则表示有向线段的数量．参数的几何意义是有向线段的数量．‎ ‎（2）圆的参数方程为（为参数）；‎ ‎（3）椭圆的参数方程为（为参数）；‎ 椭圆的参数方程为（为参数）；‎ ‎（4）双曲线的参数方程（为参数）；‎ 双曲线的参数方程（为参数）；‎ ‎（5）抛物线参数方程为参数，）；‎ 参数的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．‎ ‎6．参数方程与普通方程之间的互化 在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致．‎ 参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过．根据t的取值范围导出的取值范围．‎ IV．题型攻略·深度挖掘 ‎【考试方向】‎ 这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等偏易．‎ ‎【技能方法】‎ ‎1．利用直线的参数方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长的计算，有时比较方便．方法是：‎ 把：代入圆锥曲线：，即可消去；而得到关于的一元二次方程：．‎ ‎①当时，与无交点；‎ ‎②当时，与有一公共点；‎ ‎③当时，与有两个公共点；此时方程有两个不同的实根，把参数代入的参数方程，即可求得与的两个交点的坐标；另外，由参数的几何意义，可知弦长 ‎．‎ ‎2．化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法．‎ ‎3．化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数，先确定一个关系（或），再代入普通方程，求得另一关系（或）．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．‎ ‎【易错指导】‎ ‎1．直角坐标化为极坐标时的两个注意点 ‎（1）根据终边相同的角的意义，角的表示方法具有周期性，故点的极坐标的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定时，除极点外，点的极坐标是唯一的．‎ ‎（2）当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角应注意判断点所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角的值．‎ ‎2．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致．参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过．根据t的取值范围导出的取值范围．‎ V．举一反三·触类旁通 考向1 极坐标与直角坐标的互化 曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式，，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方、两边同时乘以等．有些时候，如果要判断曲线的形状，我们可以将方程化为直角坐标方程再进行判断，这时我们直接应用，即可．‎ ‎【例1】（1）已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，求点到直线的距离；‎ ‎（2）已知圆的极坐标方程为，求圆的半径．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【分析】（1）由，得．‎ 由点的极坐标得点的直角坐标为点到直线的距离．‎ ‎（2）以极坐标系的极点为直角坐标系的原点，以极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系．‎ 圆的极坐标方程为，化简得，‎ 圆的直角坐标方程为，即，圆的半径为．‎ ‎【名师点睛】极坐标与直角坐标的互化技巧 ‎1．巧用极坐标方程两边同乘以（或除以）或同时平方，将极坐标方程构造成含有的形式，然后利用公式代入化简得到直角坐标方程；‎ ‎2．巧借两角和差三角公式，转化或或 或的结构形式，进而利用互化公式得到直角坐标方程；‎ ‎3．将直角坐标方程中的换成，换成，即可得到其极坐标方程．‎ ‎【例2】【2018四川蓉城名校高中高三4月联考】已知曲线的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知直线的参数方程为（为参数），，当直线被曲线截得的弦长最小时，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎2）可知直线过定点，倾斜角为，若直线被曲线截得的弦长最小，则，由此可求的值．‎ 试题解析：（1）由，即，将代入得曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）由直线的参数方程为可知直线过定点，倾斜角为，若直线被曲线截得的弦长最小，则，即，则，故，，则．‎ ‎【例3】【2018内蒙古呼和浩特市高三第一次质量调研】在直角坐标系中，直线 ‎（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线．‎ ‎（1）求曲线被直线截得的弦长；‎ ‎（2）与直线垂直的直线与曲线相切于点，求点的直线坐标．‎ ‎【答案】(1)2；(2) ．‎ 试题解析：（1）将直线（为参数）化为直角坐标方程为，经过坐标原点，所以其极坐标方程为，将代入解得，即曲线被直线截得的弦长为． ‎ ‎（2）如图所示，因为直线的倾斜角为，所以，又因为，所以，所以得直线的倾斜角为，所以其极坐标方程为，将代入计算得，设点的直角坐标为，则．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．在极坐标系中，点在圆上，点的坐标为，则的最小值为___________．‎ ‎【答案】1 ‎ ‎【分析】将圆的极坐标方程化为普通方程为，整理为，圆心，点是圆外一点，所以的最小值就是．‎ ‎2．【2018河南名校高三一模】已知圆和圆的极坐标方程分别为．‎ ‎（1）将圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ ‎【答案】（1）圆：，圆：；（2）．‎ ‎【分析】 （1）由知．‎ ‎．‎ ‎（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 ‎．化为极坐标方程为 ‎，即．‎ ‎3．【2018衡水金卷信息卷（一）】在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程与圆的普通方程；‎ ‎（2）点为直线上的一动点，过点作直线与圆相切于点，求四边形的面积的最小值．‎ ‎【答案】(1) ． (2) 四边形的面积的最小值为1‎ 试题解析：（1）由，得，[ :学 X X ]‎ 所以直线的直角坐标方程为．‎ 由（为参数），得，所以圆的普通方程为．‎ ‎（2）．‎ 由切线性质，可知．‎ 当时，取最小值，所以，所以 ‎，‎ 即四边形的面积的最小值为1．‎ 考向2 求曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的步骤：①建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点；②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略．‎ ‎【例4】将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线．‎ ‎（1）写出曲线的方程；‎ ‎（2）设直线：与的交点为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）设为圆上的点，在已知变换下变为曲线上的点，依题意，得由得，即曲线的方程为．‎ ‎（2）由解得或不妨设，则线段的中点坐标为，所求直线斜率为，于是所求直线的方程为，化为极坐标方程，并整理：，即．‎ ‎【名师点睛】求曲线的极坐标方程，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先在直角坐标系中求出曲线方程，然后再转化为极坐标方程．‎ ‎【例5】【2018东北三省四市高三一模】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，曲线：（）．‎ ‎（1）求与交点的极坐标；‎ ‎（2）设点在上，，求动点的极坐标方程．‎ ‎【答案】（1）（2），．‎ 试题解析：‎ 解：（1）联立 ，∵，，，∴所求交点的极坐标．‎ ‎（2）设，且，，由已知，得 ‎∴，点的极坐标方程为，．‎ ‎【例6】【2018江苏南通、徐州、扬州等六市高三二模】在极坐标系中，求以点为圆心且与直线：相切的圆的极坐标方程．‎ ‎【答案】‎ 试题解析：以极点为原点，极轴为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．则点的直角坐标为．将直线：的方程变形为：，化为普通方程得．∴到直线：的距离为：．‎ ‎∴所求圆的普通方程为，化为极坐标方程得，．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018齐鲁名校教 研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟考试】在直角坐标系中，直线的参数方程为 以O为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 与圆C交于点O，P，与直线交于点Q．‎ ‎（Ⅰ）求直线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求线段PQ的长度．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2．‎ ‎ 则线段PQ的长度为．‎ 试题解析：（Ⅰ）将直线的参数方程化为普通方程为[ :学 ]‎ 再结合，，得直线的极坐标方程为 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）联立 联立 ‎ 则线段PQ的长度为3－1=2．学 ‎ ‎2．【2018四川德阳市高三二诊】在平面直角坐标系中，直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线：．‎ ‎（1）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2） 记射线与直线和曲线的交点分别为点和点（异于点），求的最大值．‎ ‎【答案】（1）． ．（2）．‎ 试题解析：（1）由题意得直线的普通方程为：，所以其极坐标方程为：．‎ 由得：，所以，所以曲线的直角坐标方程为：．‎ ‎（2）由题意，，‎ 所以 ，‎ 由于，所以当时，取得最大值：．‎ ‎3．在极坐标系中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．‎ ‎【答案】．‎ ‎【分析】在中，令，得圆的圆心坐标为，如图所示，‎ 圆经过点圆的半径，于是圆过极点，圆的极坐标方程为．‎ 考向3 极坐标方程的应用 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．‎ ‎【例7】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎（2）设点的极坐标为，由题设知，于是面积 当时，取得最大值．所以面积的最大值为．‎ ‎【名师点睛】‎ ‎1．已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．‎ ‎2．在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．‎ ‎【例8】【2018河北石家庄市高三下学期一模】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切；‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎，由此可求面积的最大值．‎ 试题解析：（1）由题意可知直线的直角坐标方程为，‎ 曲线是圆心为，半径为的圆，直线与曲线相切，可得：；可知曲线C的方程为，所以曲线C的极坐标方程为，‎ 即．‎ ‎(2)由（1）不妨设M（），，（），‎ ‎，‎ 当 时，，所以△MON面积的最大值为．‎ ‎【例9】【2018吉林长春十一中、东北师大附中、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联考】在直角坐标系中，直线的方程是，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）射线（其中）与曲线交于，两点，与直线交于点 ‎，求的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ．‎ ‎（II）将分别带入，得，，‎ ‎∴．‎ 试题解析：（Ⅰ）∵，∴直线的极坐标方程是，‎ 由消参数得，∴曲线的极坐标方程是．‎ ‎（Ⅱ）将分别带入，得，‎ ‎∴，讨论，的范围，可得的取值范围，‎ ‎∵，∴ ∴，∴的取值范围是．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【分析】直线为，圆为，圆心到直线的距离，直线与圆相交，有两个交点．‎ ‎2．（2017广州模拟）在极坐标系中，求直线被圆截得的弦长．‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】由得可化为．圆可化为，圆心到直线的距离，由圆的弦长公式得：，故所求弦长为．学 ‎ ‎3．【2018衡水金卷高三信息卷 （二）】以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (为参数)，曲线的参数方程为 (为参数)，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线和的公共点的极坐标；‎ ‎（2）若为曲线上的一个动点，求到直线的距离的最大值．‎ ‎【答案】(1) ，，， (2) ‎ 试题解析：（1）因为曲线的参数方程为，( 为参数)‎ 所以曲线的直角坐标方程为．‎ 因为，所以曲线的直角坐标方程为．‎ 两方程联立得或或或 所以其极坐标分别为，，，．‎ ‎（2）直线的普通方程为．‎ 设点，则点到l的距离，‎ 当，即，时，．‎ 考向4 参数方程与普通方程的互化 ‎1．参数方程化为普通方程 基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式等．‎ ‎2．普通方程化为参数方程 ‎（1）选择参数的一般原则：曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定的值．‎ ‎（2）具体步骤 第一步，引入参数，但要选定合适的参数；‎ 第二步，确定参数与变量或的一个关系式（或）；‎ 第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程，求得另一关系（或），问题得解．‎ ‎【例10】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．‎ ‎（1）写出的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设：，为与的交点，求的极径．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【分析】（1）消去参数得的普通方程；消去参数得的普通方程．设，由题设得，消去得．所以的普通方程为．‎ ‎（2）的极坐标方程为．联立得．故，从而．代入得，所以交点M的极径为．‎ ‎【名师点睛】化参数方程为普通方程主要是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决．‎ ‎【例11】【2018凉山州高三二诊】在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的单位长度，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．‎ ‎（1）求曲线，的直角坐标方程；‎ ‎（2）若、分别是曲线和上的任意点，求的最小值．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ 试题解析：（1）曲线中，由题∴‎ 曲线中，∵，∴，∴，即：，‎ ‎（2）设上任意点，∴到圆圆心距离 ‎ ，‎ ‎∴．‎ ‎【例12】【2018衡水金卷三】在平面直角坐标系中，已知点（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．‎ ‎【答案】（1）点的轨迹的方程为，直线的直角坐标方程为；（2）曲线上的点到直线的距离的最大值为．‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）设点，所以，（ 为参数），消去参数，得，‎ 即点的轨迹的方程为，‎ 直线 ，‎ 所以直线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）由（1），可知点的轨迹是圆心为，半径为1的圆，‎ 则圆心到直线的距离为．‎ 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程和直角坐标方程互化，考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查圆上的点到直线距离的最大值与最小值问题．涉及三角函数的消参方法往往是利用，极坐标与直角坐标转化用公式和．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018湖北武汉蔡甸区汉阳一中高三四模】已知直线的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为． ‎ ‎（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）点、分别在直线和圆上运动，求的最小值．‎ ‎【答案】(1) ，；（2）．‎ 试题解析：‎ ‎(1)直线的普通方程为，圆的直角坐标方程：．‎ ‎(2)由平面几何知识知：最小值为圆心C到l的距离减半径，∵，‎ ‎∴的最小值为．‎ ‎2．【2018安徽黄山高三一模】已知圆锥曲线 (是参数)和定点，、是圆锥曲线的左、右焦点．‎ ‎(1)求经过点且垂直于直线的直线的参数方程；[ :学 ]‎ ‎(2)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．‎ ‎【答案】(1) (为参数)．(2) ．‎ ‎【解析】试题分析：[ :学 ]‎ ‎(2)设是直线上任一点，由题意有，整理可得其极坐标方程为．‎ 试题解析：‎ ‎(1)圆锥曲线化为普通方程，所以，则直线的斜率，于是经过点且垂直于直线的直线的斜率，直线的倾斜角是．所以直线的参数方程是 (为参数)，即 (为参数)．‎ ‎(2)直线的斜率，倾斜角是，设是直线上任一点，‎ 则，即，则．‎ ‎3．【2018江西重点中学盟校高三第一次联考】在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为．‎ ‎（1）写出直线与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点M平行于直线的直线与曲线交于两点，若，求点M轨迹的直角坐标方程．‎ ‎【答案】(1) 直线 曲线 (2) 点M的轨迹是椭圆夹在平行直线之间的两段弧 试题解析：（1）直线 曲线 ‎ ‎（2）设点及过点M的直线为 由直线与曲线相交可得：‎ ‎ ，即：，表示一椭圆，‎ ‎ 取代入得：，由得，‎ 故点M的轨迹是椭圆夹在平行直线之间的两段弧．‎ 考向5 参数方程的应用 ‎1．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路如下：‎ 第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；‎ 第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．‎ ‎2．当直线经过点，且直线的倾斜角为，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成（为参数），交点对应的参数分别为，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出，得到．‎ ‎【例13】【2018河北模拟】平面直角坐标系中，曲线：．直线经过点，且倾斜角为．‎ ‎（1）求圆和直线的参数方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）；（2）或或．‎ ‎（2）设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入中，得，所以，由题意得，得或．‎ ‎【名师点睛】（1）解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，‎ 再根据直线与圆的位置关系来解决问题；（2）对于形如（为参数），当时，应先化为标准形式后才能利用的几何意义解题．‎ ‎【例14】在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）2．‎ 设为点的极坐标，则有解得 由于，线段的长度为2．‎ ‎【名师点睛】解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．‎ ‎【例15】【2018河南九校联考】在直角坐标系中，设倾斜角为的直线：（为参数）与曲线：（为参数）相交于不同的两点．‎ ‎（1）若，求线段的中点的坐标；‎ ‎（2）若，其中，求直线的斜率．‎ ‎【答案】（1）；．‎ ‎【解析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程是．‎ 当时，设点对应的参数为．直线的方程为（为参数），代入曲线的普通方程，得，设直线上的点对应参数分别为．‎ 则，所以点的坐标为．学 ‎ ‎（2）将代入曲线的普通方程，得，‎ ‎，得．‎ 由于直线的斜率为．‎ ‎【名师点睛】圆与椭圆参数方程的异同 圆 椭圆 不同点 参数的几何意义为圆心角 参数的几何意义为离心角 相同点 利用三角代换可由一般方程化为参数方程 ‎【例16】【2018四川资阳市高三4月模拟考试（三诊）】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ．‎ 试题解析：（1）由消去参数t，得直线l的普通方程为．‎ 又由得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2） 过点且与直线平行的直线的参数方程为 将其代入得，则，‎ 所以．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角），圆的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）若直线经过圆的圆心，求直线的斜率；‎ ‎（2）若直线与圆交于两个不同的点，求直线的斜率的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ 当直线与圆交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即，即，两边同除以，由此解得，即直线的斜率的取值范围为．‎ ‎2．【2018河北唐山模拟】已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线．‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）若点在曲线上，点D(1，3)．当点在曲线上运动时，求AD中点P的轨迹方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎（2）设点，又且的中点为，‎ 又点在曲线上，∴将点坐标代入的普通方程，得，‎ ‎∴动点的轨迹方程为．‎ ‎3．【2018河南郑州模拟】将曲线：上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到曲线，为与轴正半轴的交点，直线经过点且倾斜角为，记与曲线的另一个交点为B，与曲线在第一、三象限的交点分别为．‎ ‎（1）写出曲线的普通方程及直线的参数方程；‎ ‎（2）求．‎ ‎【答案】（1）（为参数）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意可得：，对曲线，令，得，：（为参数）． . ‎ ‎（2）将代入，整理得．设点对应的参数分别为，则，且．又，故．‎ 考向6 极坐标方程与参数方程的综合应用 ‎【例17】【2018长沙高三一模】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为（为实数）．‎ ‎（1）判断曲线与直线的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若曲线和直线相交于两点，且，求直线的斜率．‎ ‎【答案】（1）当时，，直线与曲线相切；当时，，直线 与曲线相交；（2）．‎ 当时，，直线与曲线相切；‎ 当时，，直线与曲线相交．‎ ‎（2）由于曲线和直线相交于两点，且，‎ 故圆心到直线的距离，解得，所以直线的斜率为．‎ ‎【名师点睛】处理极坐标、参数方程综合问题的方法 ‎（1）涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎（2）数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．‎ ‎【例18】【2018广东深圳高三一模】在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，在以为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为．‎ ‎(1)求直线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点，设直线与曲线的两个交点为，，若，求的值．‎ ‎【答案】（1）直线的直角坐标方程为，的直角坐标方程为；（2）或．‎ 试题解析：(1)因为，所以，所以．‎ 故直线的直角坐标方程为．‎ 由，得．‎ 又，所以，得．故的直角坐标方程为．‎ ‎(2)设，的两个参数分别为，．‎ 则，即，整理得．所以．‎ 由，得．则，，或．‎ 当时，，解得．‎ 当时，，解得．‎ 综上，或．‎ ‎【例19】【2018河北衡水金卷高三模拟一】在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，是大于0的常数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．‎ ‎（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．‎ ‎【答案】(1) ， (2) ，‎ 试题解析：（1）圆：（是参数）消去参数，‎ 得其普通方程为，‎ 将，代入上式并化简，‎ 得圆的极坐标方程，‎ 由圆的极坐标方程，得．‎ 将，，代入上式，‎ 得圆的直角坐标方程为．‎ ‎（2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，‎ ‎，‎ ‎∵圆与圆外切，‎ ‎∴，解得，‎ 即圆的极坐标方程为．‎ 将代入，得，得；‎ 将代入，得，得；‎ 故．‎ ‎【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化以及极径的几何意义，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只需利用转化即可．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长．‎ ‎【答案】（1），表示以为圆心，为半径的圆；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为，①‎ 曲线表示以为圆心，为半径的圆．将代入①并化简，得，即曲线的极坐标方程为．‎ ‎（2）∵直线的直角坐标方程为，∴圆心到直线的距离为，∴弦长为．‎ ‎2．【2018贵州普高等学校招生适应性考试】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为．‎ ‎（1）求与交点的直角坐标；‎ ‎（2）过原点作直线，使与，分别相交于点，（，与点均不重合），求的最大值．‎ ‎【答案】(1) 和．(2)4．‎ 试题解析：‎ ‎（1）曲线的直角坐标方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为．‎ 联立，解得或．‎ 所以与交点的直角坐标为和．‎ ‎（2）曲线的极坐标方程为．‎ 设直线的极坐标方程为．‎ 则点的极坐标为，点的极坐标为．‎ 所以．‎ 当时，取得最大值，最大值是4．此时，，与点均不重合．‎ ‎3．【2018贵州黔东南州高三下学期二模】在平面直角坐标系中，将曲线 (为参数)上任意一点经过伸缩变换后得到曲线的图形．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线和直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）点P为曲线上的任意一点，求点P到直线的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标．‎ ‎【答案】（1），（2），P 试题解析：（I）由已知有（为参数），消去得．‎ 将代入直线的方程得 ‎ 曲线的方程为，直线的普通方程为． ‎ ‎（II）由（I）可设点为，．则点到直线的距离为：‎ ‎，‎ 故当，即时取最大值．此时点的坐标为．‎