北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第4节

北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第4节

第四章 第四节 一、选择题 1．(文)函数 f(x)＝2sinxcosx 是( ) A．最小正周期为 2π的奇函数 B．最小正周期为 2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，最小正周期 T＝2π 2 ＝π， 且 f(x)是奇函数． (理)对于函数 f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是( ) A．f(x)在(π 4 ，π 2)上是增加的 B．f(x)的图像关于原点对称 C．f(x)的最小正周期为 2π D．f(x)的最大值为 2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，周期为π，最大值为 1，故 C、D 错；f(－x)＝sin(－2x)＝－2sinx，为奇函数，其图像关于原点对称，B 正确；函数的递 增区间为 kπ－π 4 ，kπ＋π 4 ，(k∈Z)排除 A． 2．函数 y＝sin2x＋sinx－1 的值域为( ) A．[－1,1] B．[－5 4 ，－1] C．[－5 4 ，1] D．[－1，5 4] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过 sinx＝t 换元转 化为 t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令 t＝sinx∈[－1,1]，y＝t2 ＋t－1，(－1≤t≤1)，显然－5 4 ≤y≤1，选 C． 3．(文)(2014·福建高考)将函数 y＝sinx 的图像向左平移π 2 个单位，得到函数 y＝f(x)的图 像，则下列说法正确的是( ) A．y＝f(x)是奇函数 B．y＝f(x)的周期为π C．y＝f(x)的图像关于直线 x＝π 2 对称 D．y＝f(x)的图像关于点(－π 2 ，0)对称 [答案] D [解析] 本题考查了正弦函数图像平移变换、余弦函数图像性质． 平移后图像对应函数为 y＝sin(x＋π 2)，即 y＝cosx，则由 y＝cosx 图像性质知 D 正确． (理)(2014·安徽高考)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x＋π)＝f(x)＋sinx.当 0≤x≤π时，f(x)＝0， 则 f(23π 6 )＝( ) A．1 2 B． 3 2 C．0 D．－1 2 [答案] A [解析] 由题意意 f(23π 6 )＝f(17π 6 )＋sin17π 6 ＝f(11π 6 )＋sin11π 6 ＋sin17π 6 ＝f(5π 6 )＋sin5π 6 ＋ sin11π 6 ＋sin17π 6 ＝0＋1 2 －1 2 ＋1 2 ＝1 2. 4．(文)函数 f(x)＝sinxcosx＋ 3 2 cos2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2 [答案] A [解析] 本题考查了辅助角公式、倍角公式和正弦型函数的性质． f(x)＝1 2sin2x＋ 3 2 cos2x＝sin(2x＋π 3)，周期 T＝π，振幅为 1，故选 A． (理)已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π 2 ”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] 若 f(x)是奇函数，则 f(x)＋f(－x)＝0，即 Acos(ωx＋φ)＋Acos(－ωx＋φ)＝0，整 理得 cosωxcosφ＝0 恒成立，故 cosφ＝0，φ＝kπ＋π 2 ，k∈Z，故“f(x)是奇函数”是“φ＝π 2 ” 的必要不充分条件． 5．已知函数 f(x)＝ 3sinx－cosx，x∈R，若 f(x)≥1，则 x 的取值范围为( ) A．{x|kπ＋π 3 ≤x≤kπ＋π，k∈Z} B．{x|2kπ＋π 3 ≤x≤2kπ＋π，k∈Z} C．{x|kπ＋π 6 ≤x≤kπ＋5π 6 ，k∈Z} D．{x|2kπ＋π 6 ≤x≤2kπ＋5π 6 ，k∈Z} [答案] B [解析] ∵f(x)＝ 3sinx－cosx＝2sin(x－π 6)， ∴f(x)≥1，即 2sin(x－π 6)≥1，∴sin(x－π 6)≥1 2 ， ∴π 6 ＋2kπ≤x－π 6 ≤5π 6 ＋2kπ，k∈Z. 解得π 3 ＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z. 6．使 f(x)＝sin(2x＋y)＋ 3cos(2x＋y)为奇函数，且在[0，π 4]上是减函数的 y 的一个值是 ( ) A．π 3 B．2π 3 C．4π 3 D．5π 3 [答案] B [解析] 因为 f(x)＝2sin(2x＋y＋π 3)是奇函数， 故 f(0)＝2sin(y＋π 3)＝0，排除 A、C；若 y＝5π 3 ， 则 f(x)＝2sin2x，在[0，π 4]上是增函数，故 D 错． 二、填空题 7．比较大小：(1)sin － π 18 ________sin － π 10 . (2)cos －23π 5 ________cos －17π 4 . [答案] (1)> (2)< [解析] (1)∵－π 2<－ π 10<－ π 18<π 2 ， y＝sinx 在 －π 2 ，π 2 上是增加的， ∴sin － π 10 sin － π 10 . (2)cos －23π 5 ＝cos23π 5 ＝cos 4π＋3π 5 ＝cos3π 5 ， cos －17π 4 ＝cos17π 4 ＝cos 4π＋π 4 ＝cosπ 4. ∵0<π 4<3π 5 <π， 且函数 y＝cosx 在[0，π]上是减少的， ∴cosπ 4>cos3π 5 ，即 cos －17π 4 >cos －23π 5 ， 即 cos －23π 5 0)个单位长度，所得函数的 图像关于 y 轴对称，则 a 的最小值是( ) A．7π 6 B．π 2 C．π 6 D．π 3 [答案] C [解析] ∵y＝sinx－ 3cosx＝2sin(x－π 3)，经平移后的函数图像所对应解析式为 y＝ 2sin(x－a－π 3)，它关于 y 轴对称，∴－a－π 3 ＝kπ＋π 2 ，k∈Z.又 a>0，由分析可知 a 的最小值 为 π 6.故选 C． (理)(2014·辽宁高考)将函数 y＝3sin(2x＋π 3)的图像向右平移π 2 个单位长度，所得图像对应 的函数( ) A．在区间[ π 12 ，7π 12]上单调递减 B．在区间[ π 12 ，7π 12]上单调递增 C．在区间[－π 6 ，π 3]上单调递减 D．在区间[－π 6 ，π 3]上单调递增 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的图像平移、三角函数的单调区间． y＝3sin[2(x－π 2)＋π 3]＝3sin(2x＋π 3 －π) ＝－3sin(2x＋π 3)． 2kπ－π 2 ≤2x＋π 3 ≤2kπ＋π 2 ， 2kπ－5π 6 ≤2x≤2kπ＋π 6 ，kπ－5π 12 ≤x≤kπ＋ π 12 ， ∴[kπ－5π 12 ，kπ＋ π 12](k∈Z)是减区间，[kπ＋ π 12 ，kπ＋7π 12](k∈Z)是增区间．故选 B． 二、填空题 3．若直线 y＝a 与函数 y＝sinx，x∈[－2π，2π)的图像有 4 个交点，则 a 的取值范围是 ________． [答案] (－1,1) [解析] 如图所示： y＝sinx，x∈[－2π，2π)有两个周期， 故若 y＝sinx 与 y＝a 有 4 个交点，则－10，|φ|<π 2)，给出下列四个论断： ①它的最小正周期为π； ②它的图像关于直线 x＝ π 12 成轴对称图形； ③它的图像关于点(π 3 ，0)成中心对称图形； ④在区间[－π 6 ，0)上是增函数． 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 ________(用序号表示即可) [答案] ①②⇒③④(也可填①③⇒②④) [解析] 若①、②成立，则ω＝2π π ＝2；令 2· π 12 ＋φ＝kπ＋π 2 ，k∈Z 且|φ|<π 2 ，故 k＝0，∴ φ＝π 3.此时 f(x)＝sin(2x＋π 3)，当 x＝π 3 时，sin(2x＋π 3)＝sinπ＝0，∴f(x)的图像关于(π 3 ，0)成中心 对称；又 f(x)在[－5π 12 ， π 12]上是增函数，在[－π 6 ，0)上也是增函数，因此①②⇒③④，用类似 的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④. 三、解答题 5．(文)(2014·福建高考)已知函数 f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)． (1)求 f(5π 4 )的值； (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间． [解析] (1)f(5π 4 )＝2cos5π 4 (sin5π 4 ＋cos5π 4 )＝－2cosπ 4(－sinπ 4 －cosπ 4)＝2. (2)因为 f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝ 2sin(2x＋π 4)＋1， 所以 T＝2π 2 ＝π. 由 2kπ－π 2 ≤2x＋π 4 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z， 得 kπ－3π 8 ≤x≤kπ＋π 8 ，k∈Z. 所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－3π 8 ，kπ＋π 8]，k∈Z. (理)(2014·福建高考)已知函数 f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－1 2. (1)若 0<α<π 2 ，且 sinα＝ 2 2 ，求 f(α)的值； (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间． [解析] (1)∵0<α<π 2 ，sinα＝ 2 2 ，∴cosα＝ 2 2 ∴f(α)＝ 2 2 ( 2 2 ＋ 2 2 )－1 2 ＝1 2 (2)∵f(x)＝sinxcosx＋cos2x－1 2 ＝1 2sin2x＋1＋cos2x 2 －1 2 ＝1 2sin2x＋1 2cos2x＝ 2 2 sin(2x＋π 4) ∴T＝2π 2 ＝π 由 2kπ－π 2 ≤2x＋π 4 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z 得 kπ－3 8π≤x≤kπ＋π 8 k∈Z ∴f(x)的单调递增区间为[kπ－3 8π，kπ＋π 8]k∈Z. 6．(文)已知函数 f(x)＝sinx－cosxsin2x sinx . (1)求 f(x)的定义域及最小正周期； (2)求 f(x)的单调递减区间． [解析] (1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈Z)， 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}． 因为 f(x)＝sinx－cosxsin2x sinx ＝sinx－cosx·2sinxcosx sinx ＝2cosx(sinx－cosx) ＝sin2x－cos2x－1＝ 2sin(2x－π 4)－1， 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)函数 y＝sinx 的单调递减区间为[2kπ＋π 2 ，2kπ＋3π 2 ](k∈Z)． 由 2kπ＋π 2 ≤2x－π 4 ≤2kπ＋3π 2 ，x≠kπ(k∈Z)， 得 kπ＋3π 8 ≤x≤kπ＋7π 8 (k∈Z)． 所以 f(x)的单调递减区间为[kπ＋3π 8 ，kπ＋7π 8 ](k∈Z)． (理)已知函数 f(x)＝sinx－cosxsin2x sinx . (1)求 f(x)的定义域及最小正周期； (2)求 f(x)的单调递增区间． [解析] (1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈Z)， 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}． 因为 f(x)＝sinx－cosxsin2x sinx ＝2cosx(sinx－cosx) ＝sin2x－cos2x－1 ＝ 2sin(2x－π 4)－1， 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)函数 y＝sinx 的单调递增区间为[2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2](k∈Z)． 由 2kπ－π 2 ≤2x－π 4 ≤2kπ＋π 2 ，x≠kπ(k∈Z)， 得 kπ－π 8 ≤x≤kπ＋3π 8 ，x≠kπ(k∈Z)． 所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－π 8 ，kπ)和(kπ，kπ＋3π 8 ](k∈Z)．