数学理卷·2019届广东省湛江一中高二上学期第一次大考（2017-10）
湛江一中2017—2018学年度第一学期第一次大考
高二级理科数学试卷
考试时间：120分钟，满分：150分 命题人：杨善茂
参考公式:用最小二乘法求线性回归方程系数公式
，.
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.请把答案填写在答题卷中）.
1．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为( )
A．30 B．25 C．20 D．15
2．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为cm的圆，中间有边长为cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，,,，则边的长为（ ）
A． B. C. D.
4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
5．已知与之间的几组数据如下表：
1
2
3
4
5
6
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为．若某同学根据上表中前两组数据和求得的直线方程为，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．源:学
6．用三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都不
同的概率是（ ）
A. B. C. D.
7．甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，
若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列叙述正确的是( )
A．x甲>x乙；乙比甲成绩稳定 B．x甲>x乙；甲比乙成绩稳定
C．x甲
S
S=S+5
n=n+2
T=T+n
输出T
结束
是
否
:二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）.
13．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出高了
一个容量为的样本，其频率分布直方图如下图所示，
其中高.考.资.支出在元的同学有人，则的值为 ．
14．．执行右边的程序框图，输出的 .
15．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排
一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）
16．在中，设角的对边分别是，且，，
则 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：
（Ⅰ）3只全是红球的概率；
（Ⅱ）3只颜色全相同的概率；
（Ⅲ）3只颜色不全相同的概率．
18．（本小题满分12分）
假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：
2
3
4
5
6
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知，对呈线性相关关系，试求：
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；
（Ⅱ）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
（参考数据：）
19．（本小题满分12分）
湛江统计局就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分
布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在）。
（I）求居民月收入在的频率；
（II）根据频率分布直方图估算出样本数据的平均数和中位数；
20．（本小题满分12分）
已知中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若为边上一点，且的面积为，求的正弦值．
21．（本小题满分12分）
已知关于的不等式的解集为，且.
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）求集合.
22．（本小题满分12分）
设数列的前项和为，且 .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：.
高二级理科数学第一次大考考试参考答案
一、选择题答题卡（共12个小题，每小题5分，共60分）。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
B
C
B
C
C
A
A
D
A
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）.
13． 14. ．
15. 16.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：
（Ⅰ）3只全是红球的概率；（Ⅱ）3只颜色全相同的概率；（Ⅲ）3只颜色不全相同的概率．
解法一：由于是有放回地取球，因此袋中每只球每次被取到的概率均为． ……2分
（Ⅰ）3只全是红球的概率为P1＝··＝． ……5分
（Ⅱ）3只颜色全相同的概率为P2＝2·P1＝2·＝． ……8分
（Ⅲ）3只颜色不全相同的概率为P3＝1－P2＝1－＝． ……10分
解法二：利用树状图我们可以列出有放回地抽取3次球的所有可能结果：
，． ……3分
由此可以看出，抽取的所有可能结果为8种．所以 ……4分
（Ⅰ）3只全是红球的概率为P1＝． ……5分
（Ⅱ）3只颜色全相同的概率为P2＝＝． ……8分
（Ⅲ）3只颜色不全相同的概率为P3＝1－P2＝1－＝． ……10分
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题列表如下：
．………………6分
．
回归直线方程为．………………8分
（Ⅱ）当时，万元．
即估计使用10年时,维修费约为万元．………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（I）月收入在的频率为 。……4分
（II），，
，
在、、、、、的频率分别为、、、、、 ……………6分
平均数为：
………………9分
样本数据的中位数为（元）；…………12分
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）因，所以，由得，
，…2分
，
所以，即.…5分
又因为，所以，从而得，
所以.……6分
（Ⅱ）由已知得，所以，……7分
在中，由余弦定理得，，
，……10分
由正弦定理得，，故.……12分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），当时，有，即
，即的取值范围是………………4分
（Ⅱ） ……5分
（由（1）知） ………………6分
又由知：……………………7分
当时，，则集合 …………9分
当时，原不等式解集为空集………………………………………10分
当时，，则集合……………………11分
综上所述：当时，集合；
当时，原不等式解集为空集；
当时，，则集合.……………………12分
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当时，. ……………………………1分
当时，
. ………………………………3分
∵不适合上式,
∴ …………………………………4分
（Ⅱ）证明: ∵. 当时， ……………5分
当时，, ①
. ②
①－②得:
得，
此式当时也适合.
· ∴N. ………………8分
· ∵， ∴. ………9分
当时，，…………10分
· ∴. ∵，∴. ………………11分
· 故，即.
综上，． ………………………………12分
