甘肃省金昌市永昌县第四中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

甘肃省金昌市永昌县第四中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

永昌四中2018-2019-2期末考试试卷 高二年级数学（理科）‎ 一、选择题。‎ ‎1.下列函数中与函数相同的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断各个选项中的函数和函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，从而得出结论．‎ ‎【详解】由于函数yt，和函数具有相同的定义域、值域、对应关系，‎ 故是同一个函数，故B满足条件．‎ 由于函数y和函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除D．‎ 由于函数,y|x|和函数的值域不同，故不是同一个函数，故排除A,C．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的三要素，只有两个函数的定义域、对应关系、值域都相同时，这两个函数才是同一个函数，属于基础题．‎ ‎2.不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】原不等式可转化为，‎ 等同于，‎ 解得或 故选C.‎ ‎3.已知的周长为9，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用正弦定理可得,再由余弦定理可得 cosC 的值．‎ ‎【详解】由题意利用正弦定理可得三角形三边之比为 3：2：4，再根据△ABC的周长为9，可得．‎ 再由余弦定理可得 cosC，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，求得是解题的关键，属于中档题．‎ ‎4.设是等差数列的前项和，已知，，则等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：依题意有，解得，所以.‎ 考点：等差数列的基本概念.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式 及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．‎ ‎5.把67化为二进制数为 A. 1100001(2) B. 1000011(2)‎ C. 110000(2) D. 1000111(2)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图：‎ 所以把67化为二进制数为1 000 011(2)．故选B.‎ 考点：二进制法.‎ ‎6.已知数据的中位数为，众数为，平均数为，方差为，则下列说法中，错误的是（ ）‎ A. 数据的中位数为 B. 数据的众数为 C. 数据的平均数为 D. 数据的方差为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用中位数、众数、平均数、方差的性质求解．‎ ‎【详解】若数据的中位数为，众数为，平均数为,则由性质知数据的中位数,众数，平均数均变为原来的2倍，故正确；‎ 则由方差的性质知数据的方差为4p,故D错误；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差的应用，解题时要认真审题，是基础题．‎ ‎7.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 故选 ‎8.如图所示是的图象的一段，它的一个解析式是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象的最高点和最低点求出A，根据周期T求ω，图象过（），代入求，即可求函数f（x）的解析式；‎ ‎【详解】由图象的最高点，最低点，可得A，‎ 周期Tπ，‎ ‎∴．‎ 图象过（），‎ ‎∴，‎ 可得：， ‎ 则解析式ysin（2）‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．‎ ‎9.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）‎ A. 36种 B. 48种 C. 96种 D. 192种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C．‎ 考点：分步计数原理 点评：本题需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可．‎ ‎10.若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，.‎ 考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎11.设，，若是与的等比中项，则的最小值为：（ ）‎ A. 8 B. ‎4 ‎C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设条件中的等比关系得出a+b＝1，代入中，将其变为2，利用基本不等式就可得出其最小值 ‎【详解】由是与的等比中项，得：，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ 当且仅当且，即时，上式等号成立，‎ 故选B．‎ 考点：基本不等式．‎ ‎【点晴】本题主要考查了学生应用基本不等式求最值，使用基本不等式一定要注意：一正、二定、三相等，只有当三个条件都满足时，所求最值才是正确的，特别是等号成立的条件，学生往往容易忽略，要引起足够的重视．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎12.若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式可整理为，然后转化为求函数y在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用单调性可求最值．‎ 详解】不等式，‎ 即不等式lglg3x﹣1，‎ ‎∴，整理可得，‎ ‎∵y在（﹣∞，1）上单调递减，‎ ‎∴∈（﹣∞，1），y1，‎ ‎∴要使原不等式恒成立，只需≤1，即的取值范围是（﹣∞，1]．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．‎ 二、填空题。‎ ‎13. 某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是________．‎ ‎【答案】19‎ ‎【解析】‎ 按系统抽样方法，分成4段的间隔为＝13，显然在第一段中抽取的起始个体编号为6，第二段应将编号6＋13＝19的个体抽出．这就是所要求的．‎ ‎14.二项式展开式中的系数为15，则等于______．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，展开式的通项为，令即可求解可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，展开式的通项为，令，则 ‎ 故答案为6．‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式的展开式的形式，区分某一项的系数与二项式系数．‎ ‎15.已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____。‎ ‎【答案】2；‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由可得，.故填2.‎ 考点：1.向量的运算.2.向量的数量积.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎16.函数的最小正周期为.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎∴函数的最小正周期 故答案为.‎ 三．解答题。‎ ‎17. 甲、乙两位同学学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5项预赛，成绩如下：‎ 甲：78 76 74 90 82‎ 乙：90 70 75 85 80‎ ‎（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；‎ ‎（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均数、方差的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由.‎ ‎【答案】(I)茎叶图见解析；(II)甲.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I)由图表给出的数据画出茎叶图；(II)根据公式求出两组数据的平均数及方差,结合计算结果,甲乙平均数相同,因此选方差较小的参加比赛.‎ 试题解析：解：（Ⅰ）用茎叶图表示如下： ……3分 ‎（Ⅱ），， ……7分 而 ‎， ……11分 因为，，所以在平均数一样的条件下，甲的水平更为稳定，所以我认为应该派甲去. …………12分 考点：1.茎叶图；2.平均数与方差.‎ ‎【方法点晴】本题考查的是茎叶图和平均数与方差的计算,属基础题目.根据计算结果选出合适的人参加数学竞赛,其中平均数反映的是一组数据的平均水平,平均数越大,则该名学生的平均成绩越高;方差式用来描述一组数据的波动大小的指标,方差越小,说明数据波动越小,即该名学生的成绩越稳定;要求学生结合算出的数据灵活掌握.‎ ‎18.已知是同一平面内的三个向量，其中．‎ ‎(1)若，且，求的坐标；‎ ‎(2)若，且与垂直，求与的夹角.‎ ‎【答案】(1) （2，4），或 （﹣2，﹣4）．(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设λ•（λ，2λ），，由||＝2，求得λ 的值，可得的坐标．（2）由条件根据（2）•（）20，化简可得 ，再利用两个向量的数量积的定义求得cos 的值，可得与的夹角．‎ ‎【详解】（1）由于，，是同一平面内的三个向量，其中（1，2），‎ 若||＝2，且∥，可设λ•（λ，2λ），则由||2，‎ 可得λ＝±2，∴（2，4），或 （﹣2，﹣4）．‎ ‎（2）平面内向量的夹角的取值范围是∈[0，π]．‎ ‎∵||，且2与垂直，∴（2）•（）20，‎ 化简可得 ，即 cos，∴cos＝﹣1，‎ 故与夹角．‎ ‎【点睛】本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．‎ ‎19.已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，α∈，且a⊥b.‎ ‎(1)求tanα的值；‎ ‎(2)求cos的值．‎ ‎【答案】（1）－（2）‎ ‎【解析】‎ ‎(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.‎ 而a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，‎ 故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，‎ 即＝0.‎ 由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0.‎ 解得tanα＝－或tanα＝.‎ ‎∵α∈，∴tanα＜0，‎ ‎∴tanα＝－.‎ ‎(2)∵α∈，∴∈.‎ 由tanα＝－，求得tan＝－或tan＝2(舍去)．‎ ‎∴sin＝，cos＝－，‎ ‎∴cos＝coscos－sin·sin＝－×－×＝－‎ ‎20.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：‎ ‎（1）随机变量ξ的分布列；‎ ‎（2）随机变量ξ的均值．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验．故ξ～B，由此能求出ξ的分布列．（2）由ξ～B，能求出Eξ．‎ ‎【详解】（1）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，‎ 故，‎ 即有，.‎ 由此可得的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎（2），.‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的合理运用．‎ ‎21.已知函数是奇函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断的单调性，并用定义加以证明；‎ ‎【答案】(1) ；(2) 在定义域上是减函数．证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接根据奇函数的性质f（0）＝0，求出a，再进行验证；（2）先判断函数单调递减，再利用函数单调性的定义用作差比较法证明；‎ ‎【详解】（1）由题知的定义域为，‎ 因为是奇函数，所以，即 解得.‎ 经验证可知是奇函数，‎ 所以.‎ ‎（2）在定义域上是减函数，‎ 由（1）知，，任取，且，‎ 所以.‎ ‎， ，‎ ‎，即 所以在定义域上是减函数．‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的综合应用，涉及函数的奇偶性，单调性，属于中档题．‎ ‎22.在考察黄烟经过药物处理和发生青花病的关系时，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断药物处理跟发生青花病是否有关系．‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为药物处理跟发生青花病是有关系的．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先完成列联表，计算的观测值，对照表格数据即可得结论 ‎【详解】由已知条件得列联表如下：‎ 药物处理 未经药物处理 合计 青花病 ‎25‎ ‎185‎ ‎210‎ 无青花病 ‎60‎ ‎200‎ ‎260‎ 合计 ‎85‎ ‎385‎ ‎470‎ 提出假设：经过药物处理跟发生青花病无关系．‎ 根据列联表中的数据，可以求得的观测值 ‎.‎ 因为当成立时，的概率约为0.005，而此时，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为药物处理跟发生青花病是有关系的．‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验，考查计算能力，是基础题