数学理卷·2017届黑龙江省虎林市高级中学高三上学期期末考试（2017

数学理卷·2017届黑龙江省虎林市高级中学高三上学期期末考试（2017

‎ ‎ 数学（理科）试题 第Ⅰ卷（选择题 60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若实数满足，则的最小值是（ ）．‎ A．0 B．1 C． D．9‎ ‎3.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且满足，则的面积为（ ）．‎ A．1 B． C.2 D．4‎ ‎5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎（1）若，则；（2）若，且，则；‎ ‎（3）若，则；（4）若，且，则．‎ 其中正确命题的个数是（ ）．‎ A．1 B．2 C.3 D．4‎ ‎6.若随机变量，则有如下结论：‎ 高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（ ）．‎ A．19 B．12 C.6 D．5‎ ‎7.设函数的最小正周期为，且，则（ ）．‎ A．在单调递减 ‎ B．在单调递减 ‎ C. 在单调递增 ‎ D．在单调递增 ‎8.按下图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）．‎ A．45 B．47 C.49 D．51‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．‎ A． B． C. 4 D．3‎ ‎10.某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（ ）．‎ A． B． C. D．‎ ‎11.如图，将绘有函数的部分图像的纸片沿轴折成直二面角，若之间的空间距离为，则（ ）．‎ A．-2 B．2 C. D．‎ ‎12.设函数，（为自然对数的底数），若曲线上存在一点使得，则的取值范围是（ ）．‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上．）‎ ‎13.已知圆方程为：，直线过点，且与圆交于两点，若 ‎，则直线的方程是 ．‎ ‎14.在的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中项的系数为 ．‎ ‎15.已知函数和，作一条平行于轴的直线，交图像于两点，则的最小值为 ．‎ ‎16.已知数列满足是其前项和，若，且，则的最小值为 ．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为，且，又成等差数列．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表：‎ 年龄（单位：岁）‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关：‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 ‎（2）若从年龄在，的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“使用微信交流”人数为，求随机变量的分布列及数学期望.‎ 参考数据如下：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，且与椭圆有相同离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且椭圆上存在点，满足，（为坐标原点），求实数取值范围.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知定义域为的函数，其中.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ 已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且.‎ ‎（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BBDAB 6-10: CADBC 11、12：BD 二、填空题 ‎13.或 14. 15. （或） 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）∵成等差数列，∴…………………1分 由正弦定理得，………………………3分 ‎∴…………………………………………8分 ‎∴，解得…………………………………………12分 ‎18.解：（1）列联表如下：‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 ‎10‎ ‎27‎ ‎37‎ 不赞成 ‎10‎ ‎3‎ ‎13‎ 合计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎…………………………………………3分 所以，‎ ‎……………………………………………………10分 所以的分布列是：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以的期望值是……………………………12分 ‎19.解：（1）∵平面平面，∴……………………………2分 ‎∵，∴，∴，∴…………………4分 ‎∵面面，∴面………………………………5分 ‎∵面，∴面面…………………………………6分 ‎（2）如图，建立空间直角坐标系：‎ ‎，设，则，‎ ‎，‎ ‎∵面，∴为面的法向量，‎ 设直线与面所成角为，则，‎ ‎∴，∴……………………………………8分 设为面的法向量，则，∴，‎ ‎∴可取，∴…………………………………9分 设为面的法向量，则，∴，‎ ‎∴可取，∴，∴，‎ ‎∴二面角的余弦值为………………………12分 ‎20.解：（1）由已知可，解得，∴………………………3分 所求椭圆的方程……………………………………4分 ‎（2）建立方程组，‎ 消去，整理得，‎ ‎∴，‎ 由于直线与椭圆交于不同的两点，‎ ‎∴，有，①………………………………………6分 设，于是，‎ ‎，……………………………………8分 当时，易知点关于原点对称，则；‎ 当时，易知点不关于原点对称，则，‎ 此时，由，得，即，‎ ‎∵点在椭圆上，∴，‎ 化简得，∵，∴，②‎ 由①②两式可得，∴且.‎ 综上可得实数的取值范围是…………………………………………12分 ‎21.解：，‎ ‎①当时，，于是在上单调递减；‎ ‎②当时，，当时，，‎ 当时，，当时，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）当时，由（1）知在单调递减，‎ 又，∴时，，即时，成立，‎ 当时，由（1）知在上递减，在上递增，‎ 当时，由，即得在上成立，‎ 所以当时，有 ，‎ 下面证明，即，‎ 令，则，且，‎ 记，则，‎ 于是在上单调递增，‎ 又因为，所以存在唯一的使得 ‎，‎ 从而，于是在上单调递减，在上单调递增，‎ 此时，‎ 从而，即，亦即，‎ 因此不等式在上成立.‎ ‎22.解：（1）设数列的公比为，数列的公差为，由题意知.由已知，有消去，整理得，又因为，解得，所以.‎ 所以数列的通项公式为；数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）有，设的前项和为，则 上述两式相减得，‎ ‎，‎ 所以，.‎