2020届高考数学一轮复习单元检测（理·新人教A版）十二概率随机变量及其分布提升卷

2020届高考数学一轮复习单元检测（理·新人教A版）十二概率随机变量及其分布提升卷

单元检测十二　概率、随机变量及其分布(提升卷)‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．‎ ‎2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．‎ ‎3．本次考试时间100分钟，满分130分．‎ ‎4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的点数分别为X，Y，则log2XY＝1的概率为(　　)‎ A.B.C.D. 答案　C 解析　由题意知X，Y应满足Y＝2X，所以满足题意的有(1,2)，(2,4)，(3,6)三种，所以概率为＝.‎ ‎2．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为(　　)‎ A.B.C.D. 答案　D 解析　从中有放回地取2次，所取号码的情况共有8×8＝64(种)，其中编号和不小于15的有3种，分别是(7,8)，(8,7)，(8,8)，共3种．‎ 由古典概型概率公式可得所求概率为P＝.‎ ‎3．已知ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(　　)‎ A.B．1－C.D．1－ 答案　B 解析　根据几何概型得，取到的点到O的距离大于1的概率P＝＝＝＝1－.‎ ‎4．欧阳修《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．卖油翁的技艺让人叹为观止．设铜钱是直径为4cm的圆，它中间有边长为1cm的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴(不计油滴的大小)正好落入孔中的概率为(　　)‎ A.B.C.D. 答案　A 解析　由题意得，所求的概率为＝，故选A.‎ ‎5．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为(　　)‎ A.B.C.D. 答案　C 解析　一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为：‎ P＝＋×＝.‎ ‎6.如图所示，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O作为起点作射线OC，OD，则使∠AOC＋∠BOD＜45°的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　设∠AOC＝x°，∠BOD＝y°，把(x，y)看作坐标平面上的点，则试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤90,0≤y≤90}，若事件A表示∠AOC＋∠BOD＜45°，则其所构成的区域为A＝{(x，y)|x＋y<45,0≤x≤90,0≤y≤90}，即图中的阴影部分，故S阴影＝×45×45.由几何概型的概率公式，得所求概率P(A)＝＝.‎ ‎7．有一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金金额，‎ 其余商标牌的背面是一张笑脸，若翻到笑脸，则不得奖，参加这个游戏的人有三次翻牌的机会．某人前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么此人第三次翻牌获奖的概率是(　　)‎ A.B.C.D. 答案　B 解析　因为20个商标有5个中奖，翻了两个都中奖，所以还剩18个，其中还有3个会中奖，所以这位观众第三次翻牌获奖的概率是＝.故选B.‎ ‎8．(2018·福建省厦门外国语学校模拟)我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.7，则其速度超过120的概率为(　　)‎ A．0.05B．0.1C．0.15D．0.2‎ 答案　C 解析　由题意可得，μ＝100，且P(80＜ξ＜120)＝0.7，‎ 则P(ξ＜80或ξ＞120)＝1－P(80＜ξ＜120)＝1－0.7＝0.3.‎ ‎∴P(ξ＞120)＝P(ξ＜80或ξ＞120)＝0.15.‎ 则他速度超过120的概率为0.15.‎ ‎9．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)‎ A．0.4B．0.6C．0.75D．0.8‎ 答案　D 解析　设“某一天的空气质量为优良”为事件A, “随后一天的空气质量为优良”为事件B，‎ 则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，‎ ‎∴P(B|A)＝＝＝0.8.‎ ‎10．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)等于(　　)‎ X ‎0‎ ‎2‎ a P p A.2B．3C．4D．5‎ 答案　C 解析　p＝1－－＝，‎ E(X)＝0×＋2×＋a×＝2，则a＝3，‎ ‎∴D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1，‎ ‎∴D(2X－3)＝22D(X)＝4.‎ ‎11．(2018·黑龙江省哈尔滨市第六中学考试)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为(　　)‎ A.B.C.D. 答案　B 解析　由题意，甲获得冠军的概率为×＋××＋××＝，‎ 其中比赛进行了3局的概率为××＋××＝，‎ ‎∴所求概率为÷＝.‎ ‎12．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列满足：an＝如果Sn为数列的前n项和，那么S7＝3的概率为(　　)‎ A．C2·5 B．C2·5‎ C．C2·5 D．C2·5‎ 答案　B 解析　据题意可知7次中有5次摸到白球，2次摸到红球，由独立重复试验即可确定其概率，故选B.‎ 第Ⅱ卷(非选择题　共70分)‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)‎ ‎13．若某人在打靶时连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的对立事件是______________．‎ 答案　两次都未中靶 ‎14．若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m，第二次掷得的点数为n，则点P(m，n)落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．(骰子为正方体，且六个面分别标有数字1,2，…，6)‎ 答案　 解析　由题意得，基本事件总数为36，点P落在圆内包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8个，‎ 由古典概型概率公式可得所求概率为＝.‎ ‎15．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，c为常数，则P(0.5<ξ<2.5)＝________.‎ 答案　 解析　随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，‎ ‎∴＋＋＝1，‎ 即＝1，解得c＝，‎ ‎∴P(0.5＜ξ＜2.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)‎ ‎＝＋＝×＝.‎ ‎16．某篮球运动员投中篮球的概率为，则该运动员“投篮3次至多投中1次”的概率是________．(结果用分数表示)‎ 答案　 解析　“投篮3次至多投中1次”包括只投中一次，和全部没有投中，‎ 故“投篮3次至多投中1次”的概率是C·2·＋C·3＝.‎ 三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(12分)甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，，.‎ ‎(1)现3人各投篮1次，求3人至少一人投进的概率；‎ ‎(2)用ξ表示乙投篮4次的进球数，求随机变量ξ的分布列及均值E(ξ)和方差D(ξ)．‎ 解　(1)记“甲投篮1次投进”为事件A，“乙投篮1次投进”为事件B，“丙投篮1次投进”为事件C，“至少一人投进”为事件D.‎ P(D)＝1－P()P()P()＝.‎ ‎(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，‎ 且ξ～B，‎ 所以，P(ξ＝k)＝Ck4－k (k＝0,1,2,3,4)，‎ 故随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，‎ D(ξ)＝.‎ ‎18．(12分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x表示．‎ ‎(1)若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求x的值及乙组同学投篮命中次数的方差；‎ ‎(2)在(1)的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10的同学中，各随机选取1名，求这2名同学的投篮命中次数之和为16的概率．‎ 解　(1)依题意得＝－1，解得x＝6，乙＝，‎ s2＝ ＝1.76.‎ ‎(2)记甲组投篮命中次数低于10次的同学为A1，A2，A3，他们的命中次数分别为9,8,7.‎ 乙组投篮命中次数低于10次的同学为B1，B2，B3，B4，他们的命中次数分别为6,8,8,9.‎ 依题意，不同的选取方法有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，共12种．‎ 设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件C，其中恰含有(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B4)，共3种．‎ ‎∴P(C)＝＝.‎ ‎19．(13分)(2018·武汉重点中学模拟)某校为了更好地管理学生用手机问题，根据学生每月用手机时间(每月用手机时间总和)的长短将学生分为三类：第一类的时间区间在[0,30)，第二类的时间区间在[30,60)，第三类的时间区间在[60,720](单位：小时)，并规定属于第三类的学生要进入“思想政治学习班”进行思想和心理的辅导．现对该校二年级1014名学生进行调查，恰有14人属于第三类，这14名学生被学校带去政治学习．由剩下的1000名学生用手机时间情况，得到如图所示频率分布直方图.‎ ‎(1)求这1000名学生每月用手机时间的平均数；‎ ‎(2)利用分层抽样的方法从1000名选出10名学生代表，若从该10名学生代表中任选两名学生，求这两名学生用手机时间属于不同类型的概率；‎ ‎(3)若二年级学生长期保持着这一用手机的现状，学校为了鼓励学生少用手机，连续10个月，每个月从这1000名学生中随机抽取1名，若取到的是第一类学生，则发放奖品一份，设X为获奖学生人数，求X的均值E(X)与方差D(X)．‎ 解　(1)平均数为5×0.010×10＋15×0.030×10＋25×0.040×10＋35×0.010×10＋45×0.006×10＋55×0.004×10＝23.4(小时)．‎ ‎(2)由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10名学生，其中8名为第一类学生，2名为第二类学生，则从该10名学生代表中抽取2名学生且这两名学生不属于同一类的概率为＝.‎ ‎(3)由题可知，这1000名学生中第一类学生占80%，‎ 则每月从1000名学生中随机抽取1名学生，是第一类学生的概率为0.8，‎ 则连续10个月抽取，获奖人数X～B(10,0.8)，其均值E(X)＝np＝10×0.8＝8，方差D(X)＝np(1－p)＝10×0.8×0.2＝1.6.‎ ‎20．(13分)现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.‎ 月收入(单位：百元)‎ ‎[15，25)‎ ‎[25，35)‎ ‎[35，45)‎ ‎[45，55)‎ ‎[55，65)‎ ‎[65，75]‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎(1)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；‎ 月收入不低于55百元的人数 月收入低于55百元的人数 合计 赞成 a＝__________‎ c＝__________‎ 不赞成 b＝__________‎ d＝__________‎ 合计 ‎(2)若对在[15,25)，[25,35)的被调查的人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及均值．‎ 附：K2＝.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解　(1)2×2列联表如下：‎ 月收入不低于55百元的人数 月收入低于55百元的人数 合计 赞成 a＝3‎ c＝29‎ ‎32‎ 不赞成 b＝7‎ d＝11‎ ‎18‎ 合计 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 因为K2≈6.272<6.635，所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异．‎ ‎(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3，‎ P(ξ＝0)＝×＝×＝，‎ P(ξ＝1)＝×＋× ‎＝×＋×＝，‎ P(ξ＝2)＝×＋× ‎＝×＋×＝，‎ P(ξ＝3)＝×＝×＝，‎ 所以ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以ξ的均值 E(ξ)＝0＋1×＋2×＋3×＝.‎