数学文卷·2019届河南省西华县第一高级中学高二上学期期末选拔考试（2018-01）

数学文卷·2019届河南省西华县第一高级中学高二上学期期末选拔考试（2018-01）

高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.‎ ‎1．命题，则命题的否定为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．　‎ ‎2．给出如下三个命题：‎ ‎①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；‎ ‎②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为 “若a≤b，则2a≤2b﹣1”；‎ ‎③在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．‎ 其中不正确的命题的个数是（　　）‎ A．0 B．3 C．2 D．1　‎ ‎3．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2‎ ‎4．已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎5．抛物线的准线方程是（ ）‎ A． B． C． D．　‎ ‎6．已知f（x）=x2+sin（+x），f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的奇偶性是 A．函数f′（x）为奇函数 B．函数f′（x）为偶函数 ‎ C．函数f′（x）即为奇函数又为偶函数 D．函数f′（x）为非奇非偶函数　‎ ‎7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8=8，S8=36，则数列{}的前100项和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎8．在△ABC中，已知sinAcosA=sinBcosB，则△ABC是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎9．焦点为渐近线方程为的双曲线的方程是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．　‎ ‎10．若数列，则称数列{an}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b9=90，则b4•b6的最大值是（）‎ ‎ A． 10 B． 100 C． 200 D． 400‎ ‎　‎ ‎11．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接了AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．函数在[﹣2，3]上的最大值为2，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． C．（﹣∞，0] D．　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.‎ ‎13．已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为　　　　　　．‎ ‎14．已知数列的前n项和公式为，则a8=___　　　　．　‎ ‎15．已知点，椭圆与直线交于点，则的周长为 ‎16．若函数在单调递增,则a的取值范围是　　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．(本小题满分10分)已知实数a满足a＞0且a≠1．命题P：函数y=loga（x+1）在（0，+∞）内单调递减；命题Q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎18． (本小题满分12分)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2csinA．‎ ‎（Ⅰ）确定角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．‎ ‎19．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1•Sn，n∈N*‎ ‎（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和．‎ ‎　‎ ‎20．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且AB=9．‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）求A，B两点坐标．‎ ‎　‎ ‎21．(本小题满分12分)投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入一前n年的总支出一投资额）．‎ ‎（1）该厂从第几年开始盈利？‎ ‎（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以10万元出售该厂，问哪种方案更合算？‎ ‎22．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎　‎ 高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.‎ ‎1．D ‎2．C解：①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；故错；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得，故命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；正确；‎ ‎③在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可得：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故正确．其中不正确 的命题的个数是：2．故选C．‎ ‎3．C解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．‎ 若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选C．‎ ‎4．D解：约束条件 对应的平面区域如下图示：当直线z=2x+y过A（2，2）时，Z取得最大值6．当直线z=2x+y过B（1，1）时，Z取得最小值3，故z=2x+y的最大值与最小值的比值为：2．故选D．‎ ‎　‎ ‎5．D．　6．A解：∵f（x）=x2+sin（+x），∴f′（x）=x+cos（）=x﹣sinx．‎ ‎∴函数f′（x）为奇函数　‎ ‎7．A 8.D 9．B ‎ ‎10．B解：由已知数列为调和数列可得bn+1﹣bn=d（d为常数）‎ ‎∴{bn}为等差数列，由等差数列的性质可得，b1+b2+…+b9=9b5=90，∴b4+b6=2b5=20，又bn＞0，‎ ‎∴．故选B ‎11．B 解：如图所示，‎ 在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，‎ 设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．‎ ‎∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故选B．‎ ‎　‎ ‎12．D解：由题意，当x≤0时，f（x）=2x3+3x2+1，可得f′（x）=6x2+6x，解得函数在[﹣1，0]上导数为负，函数为减函数，在[﹣∞，﹣1]上导数为正，函数为增函数，‎ 故函数在[﹣2，0]上的最大值为f（﹣1）=2；又有x∈（0，3]时，f（x）=eax，为增函数，‎ 故要使函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则当x=3时，e3a的值必须小于等于2，即e3a≤2，解得a∈（﹣∞，ln2]．故选：D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.‎ ‎13． 3x+y﹣4=0 14．125 15．8 16．．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．解：先看命题P ‎∵函数y=loga（x+1）在（0，+∞）内单调递减，a＞0，a≠1，‎ ‎∴命题P为真时⇔0＜a＜1…（2分）‎ 再看命题Q 当命题Q为真时，二次函数对应的一元二次方程根的判别式满足 ‎△=（2a﹣3）2﹣4＞0⇒或…………（4分）‎ 由“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，知P、Q有且只有一个正确．…………（5分）‎ ‎（1）当P正确且Q不正确⇒………（8分）‎ ‎（2）当P不正确且Q正确，⇒‎ 综上所述，a取值范围是………（10分）‎ ‎18．解：（1）由及正弦定理得：，‎ ‎∵sinA≠0，∴在锐角△ABC中，．…………（6分）‎ ‎（2）∵，，由面积公式得，即ab=6①‎ 由余弦定理得，即a2+b2﹣ab=7②‎ 由②变形得（a+b）2=25，故a+b=5．…………（12分_‎ ‎　‎ ‎19．解：（Ⅰ）令n=1，得2a1﹣a1=，即，∵a1≠0，∴a1=1，‎ 令n=2，得2a2﹣1=1•（1+a2），解得a2=2，‎ 当n≥2时，由2an﹣1=Sn得，2an﹣1﹣1=Sn﹣1，‎ 两式相减得2an﹣2an﹣1=an，即an=2an﹣1，‎ ‎∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，‎ ‎∴an=2n﹣1，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1………（6分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，nan=n•2n﹣1，设数列{nan}的前n项和为Tn，‎ 则Tn=1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1，①‎ ‎2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②‎ ‎①﹣②得，﹣Tn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n ‎=2n﹣1﹣n•2n，∴Tn=1+（n﹣1）2n．………（12分）‎ ‎20．解：（1）直线AB的方程是y=2（x﹣），与y2=2px联立，从而有4x2﹣5px+p2=0，所以x1+x2=．由抛物线定义得AB=x1+x2+p=9，‎ 所以p=4，从而抛物线方程是y2=8x．………（6分）‎ ‎（2）由题意，A在第四象限，B在第一象限．‎ 由（1），方程为x2﹣5x+4=0，∴x=1或4，‎ x=1时，y=﹣2；x=4时，y=4‎ 所以A，B两点坐标为A（1，﹣2），B（4，4）．………（12分）‎ ‎　　‎ ‎21．解：（1）由题意，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，可知每年的支出构成一个等差数列，用g（n）表示前n年的总支出，‎ ‎∴g（n）=12n+×4=2n2+10n（n∈N*）…………（2分）‎ ‎∵f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额 ‎∴f（n）=50n﹣（2n2+10n）﹣72=﹣2n2+40n﹣72．…………（4分）‎ 由f（n）＞0，即﹣2n2+40n﹣72＞0，解得2＜n＜18．…由n∈N*知，从第三年开始盈利．‎ ‎…………（6分）‎ ‎（2）方案①：年平均纯利润为=40﹣2（n+）≤16，当且仅当n=6时等号成立．‎ 故方案①共获利6×16+48=144（万元），此时n=6．…………（9分）‎ 方案②：f（n）=﹣2（n﹣10）2+128．‎ 当n=10时，[f（n）]max=128．故方案②共获利128+10=138（万元）．比较两种方案，选择方案①更合算．…………（12分）‎ ‎　‎ ‎22．解：（1）f′（x）=lnx+1，令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴f（x）的单调递减区间是（0，）令f'（x）＞0得：，‎ ‎∴f（x）的单调递增区间是……（4分）‎ ‎（2）g′（x）=3x2+2ax﹣1，由题意2xlnx≤3x2+2ax+1∵x＞0，‎ ‎∴a≥lnx﹣x﹣恒成立　①‎ 设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣=﹣‎ 令h′（x）=0得：x=1，x=﹣（舍去）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；‎ 当x＞1时，h'（x）＜0∴当x=1时，h（x）有最大值﹣2若①恒成立，则a≥﹣2，‎ 即a的取值范围是[﹣2，+∞）．………（12分）‎