广东省江门市2020届高三调研测试数学文科试题

广东省江门市2020届高三调研测试数学文科试题

‎2019-2020学年广东省江门市高三（上）12月调研数学试卷（文科）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合A=｛x｜x是小于9的正整数｝，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以求出集合，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】解：∵，，‎ ‎∴．‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎2.复数的共轭复数是(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.‎ ‎【详解】因为，所以复数的共轭复数是，选C.‎ ‎【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.‎ ‎3.函数的最小正周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．‎ ‎【详解】解：函数 ‎，其最小正周期为，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题．‎ ‎4.若且，则（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行分类讨论，然后结合对数函数的单调性即可判断．‎ ‎【详解】解：∵且，‎ 当时，有，‎ 当时，有，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性比较函数值大小，属于基础题．‎ ‎5.数列的通项，当取最大值时，（ ）‎ A. 336 B. 337 C. 336或337 D. 338‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据数列的通项公式，结合二次函数的知识，分析计算即可得到当取最大值时的值．‎ ‎【详解】解：依题意，，表示抛物线当为正整数时对应的函数值，‎ 又为开口向下的抛物线，‎ 故到对称轴距离越近的点，函数值越大，‎ 故当时，有最大值，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了数列与函数的关系，考查了二次函数的最大值问题，主要考查分析和解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，俯视图是有一条公共边的两个正三角形．该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．‎ ‎【详解】解：由题意，几何体的直观图如图：是两个三棱锥的组合体，底面是正三角形，边长为2，棱锥的高为1，‎ 所以几何体的表面积为，.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．‎ ‎7.若向量、满足，则一定有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对两边平方，进行数量积的运算即可得出．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎8.“”是“直线与直线平行”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当代入直线表达式可得两直线平行，而当两直线平行时，由题可知斜率都存在，则斜率相等可计算出.‎ ‎【详解】解：当时，直线即为，直线即为，此时两直线平行；‎ 当直线与直线平行时，解得或，‎ 当时，与平行，‎ 当时，与重合，不满足条件，‎ 故当两直线平行时．‎ 故“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：‎ ‎【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及两直线平行的性质，属于基础题．‎ ‎9.函数的一个单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对已知函数进行化简，然后结合余弦函数与二次函数的单调性及复合函数的单调性的性质，结合选项即可判断．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 则，开口向下，对称轴，‎ 当，不单调，不符合题意，‎ 当时，单调递减且，即，‎ 根据二次函数的性质可知，当，函数单调递减，‎ 根据复合函数的单调性可知，在上单调递增．‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间的求解，二次函数的性质的应用是求解问题的关键．‎ ‎10.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若，，则 ‎②若，，，则 ‎③若，，则 ‎④若，，则 其中正确命题的序号是（ ）‎ A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．‎ ‎【详解】解：对于①，因为，所以经过作平面，使，可得，‎ 又因为，，所以，结合得．由此可得①是真命题；‎ 对于②，因为且，所以，结合，可得，故②是真命题；‎ 对于③，设直线、是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，‎ 而平面是正方体下底面所在的平面，‎ 则有且成立，但不能推出，故③不正确；‎ 对于④，设平面、、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，‎ 则有且，但是，推不出，故④不正确．‎ 综上所述，其中正确命题的序号是①和②‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．‎ ‎11.在平面直角坐标系中，、是双曲线的焦点，以为直径的圆与双曲线右支交于、两点．若是正三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，求得的坐标，代入双曲线方程求解双曲线的离心率．‎ ‎【详解】解：如图，由是正三角形，得，‎ 代入，得，‎ ‎∴，‎ 整理得：，解得或（舍）．‎ ‎∴．‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．‎ ‎12.设函数，则函数的零点的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数与方程的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【详解】由得，‎ 作出与的图象，由图象知两个函数共有4个交点，‎ 则函数的零点个数为4个，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合或者定义法是解决本题的关键．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知命题：若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除．写出它的逆命题：_____．‎ ‎【答案】若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆命题定义，原命题的条件做结论，结论当条件，写出即可．‎ ‎【详解】解：原命题：若一个整数末位数字是0，则这个整数能被5整除；‎ 则，逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0．‎ 故答案为：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0．‎ ‎【点睛】本题考查了命题的逆命题的写法，注意语句的连贯性和表达的准确性，属于基础题．‎ ‎14.若，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由利用二倍角公式将式子化成齐次式，结合同角基本关系化简可求．‎ ‎【详解】解：∵，‎ 则 ‎．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角平分关系及商的关系在求解三角函数值中的应用，属于基础试题．‎ ‎15.已知实数、满足，则的最大值为_____．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把变形为，所以当直线在轴上截距最小时，取最大值，由题意可知点在圆上或圆内，当直线与圆相切时，截距最小值，从而求出的最大值．‎ ‎【详解】解：∵实数、满足，‎ 设点，则点在圆上或圆内，‎ 令直线为 ‎∴当直线与圆，相切时，取得最值，‎ ‎∴，∴，或，‎ ‎∴的最小值为，‎ ‎∴的最大值为8，‎ ‎∴的最大值为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，是中档题．‎ ‎16.若曲线在点处的切线与直线垂直，则切线的方程为_____．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可设，并且可据题意得出在点处的切线斜率为1，从而可得出，解出，从而可得出点的坐标，根据直线的点斜式方程进而求出切线的方程．‎ ‎【详解】解：据题意设，且在点处的切线斜率为1，，‎ ‎∴，解得，或1，‎ ‎∴，或，‎ ‎∴切线的方程为或．‎ 故答案为：或．‎ ‎【点睛】本题考查了相互垂直的直线的斜率的关系，导数的几何意义，直线的点斜式方程，考查了计算能力，属于基础题．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17.已知是等比数列，其前项和，为常数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）； （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，，，利用等比数列，列方程解出；‎ ‎（2）写出数列，的通项公式，根据错位相消法，求出即可．‎ ‎【详解】解：（1），，，‎ 是等比数列，，解得，；‎ ‎（2）由（Ⅰ）得，公比为2，，，‎ ‎，‎ 所以，，‎ 错位相减得，，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其用错位相消法求前项和公式，中档题．‎ ‎18.的角、、的对边为、、，.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【答案】（1） （2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两角和差的正弦公式进行化简即可 ‎（2）结合正弦定理或余弦定理，以及基本不等式进行证明．‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ 因为，所以，，‎ 则．‎ ‎（2）（方法一）由正弦定理 ‎.‎ 所以，，．‎ ‎（方法二）由余弦定理，‎ 由基本不等式，‎ 所以，，.‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合两角和差的三角公式以及余弦定理，正弦定理结合基本不等式是解决本题的关键．难度中等．‎ ‎19.如图，是正方体，、分别是、的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，交于，连接，证明是平行四边形，推出，证明，，‎ 即可证明平面．‎ ‎（2）通过，转化求解点到面的距离．‎ ‎【详解】（1）证明：连接，交于，连接，‎ 依题意，是的中点，，且，‎ 是的中点，所以，且，‎ 所以，且，是平行四边形，‎ ‎，又因为，，所以，，‎ 又，所以平面．‎ ‎（2）解：由（Ⅰ）知，‎ ‎.‎ 设点到平面的距离为，‎ 则，‎ ‎，即解得，即点到面的距离为．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．‎ ‎20.已知椭圆的焦距为2，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线经过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直，设直线与椭圆交于、两点，（是坐标系的原点），证明：直线与直线的斜率之积为常数．‎ ‎【答案】（1） （2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件求出，，得到椭圆方程．‎ ‎（2）右焦点为，设直线的方程为，由，设，、，、，，利用韦达定理，求出直线的斜率，然后推出为常数．‎ ‎【详解】解：（1）依题意，，，‎ 解得，，，‎ 椭圆方程为．‎ ‎（2）证明：右焦点为，设直线的方程为，‎ 由得，‎ 设、、，则，‎ ‎，．‎ 直线的斜率为，‎ ‎∴为常数．‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．‎ ‎21.设函数，其中为常数．‎ ‎（1）当时，求证：有且仅有一个零点；‎ ‎（2）若函数在定义域内既有极大值，又有极小值，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求出函数的单调性和极值，结合极值的大小即可证出有且仅有一个零点；‎ ‎（2）因为函数在定义域内既有极大值，又有极小值，所以有两个正根，再利用根与系数的关系即可求出的取值范围．‎ ‎【详解】（1），，，‎ 解，得，，‎ 列表如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 因为极大值，所以在无零点，从而在无零点，‎ 又因为，，所以在有零点，因为在单调递增，所以在有唯一零点，即有且仅有一个零点；‎ ‎（2），‎ ‎∵函数在定义域内既有极大值，又有极小值，∴有两个正根，‎ 即有两个正根、，‎ 所以，，‎ 解得，‎ ‎∴的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，以及根与系数的关系，是中档题．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）求和交点的直角坐标．‎ ‎【答案】（1）， （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由曲线的参数方程，结合二倍角的余弦可得曲线的直角坐标方程为，由，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）直接联立两曲线的直角坐标方程求解得答案．‎ ‎【详解】解：（1）由曲线的参数方程为（为参数，），‎ 得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，‎ 由，可得直线的直角坐标方程为；‎ ‎（2）由，解得或，‎ ‎∵，‎ ‎∴和交点为．‎ ‎【点睛】本题考查简单曲线极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是基础题．‎ ‎23.设，且．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【答案】（1） （2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）原不等式即为，直接解出即可；‎ ‎（2）通过化简可得，再利用基本不等式即可得证．‎ ‎【详解】解：（1）由，且可知，即，‎ ‎∴，解得，且，‎ ‎∴的取值范围为；‎ ‎（2）证明：，‎ 由基本不等式，，，，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式的运用，考查化简求解能力及逻辑推理能力，属于基础题．‎ ‎ ‎