陕西省黄陵中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

陕西省黄陵中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

黄陵中学2019-2020学年度第一学期 本部高二数学期中考试试题 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.数列1,3,7,15,…的通项公式等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，，，，故可得，故选C.‎ ‎2.若，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件采用排除法即可选出答案.‎ ‎【详解】对于A,当时显然无意义，故不成立 ，错误；对于B, 时不成立，故错误；对于C,时显然不成立，故错误；因此选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式的性质，注意使用排除法，属于中档题.‎ ‎3.已知等差数列中，，，则的值是(　　)‎ A. 15 B. ‎30 ‎C. 31 D. 64‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由等差数列的性质得，，，故选A.‎ ‎4.不等式的解集是( )‎ A. {x|x＜－8或x＞－3} B. {x|x≤－8或x＞－3}‎ C. {x|－3≤x≤2} D. {x|－3＜x≤2}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将分式不等式转化为整式不等式，再解二次不等式即可得解.‎ ‎【详解】解:因为,所以,所以 ,解得或,‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了分式不等式的解法，主要要注意分母不为0，重点考查了二次不等式的解法及运算能力，属基础题.‎ ‎5.等比数列中, 则的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的性质可知，列出方程即可求出的值，利用即可求出的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出的前项和.‎ ‎【详解】，解得，‎ 又，则等比数列的前项和.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．‎ ‎6.等差数列，，，则此数列前项和等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，得 得a1+a20= ‎ 所以S20= ‎ 故选D ‎7.在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为( )‎ A. 5 B. 5 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由在△ABC中，B＝135°，C＝15°，得，再结合三角形的性质及正弦定理可得三角形的最大边长，得解.‎ ‎【详解】解：由在△ABC中，B＝135°，C＝15°，则，因为最大，由三角形的性质可得对应的边最大，由正弦定理可得，，‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了三角形的性质及三角形基本量的运算，重点考查了正弦定理，属基础题.‎ ‎8.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=( )‎ A. 5 B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由面积公式得：，解得，所以或，当时，‎ 由余弦定理得：=1，所以，又因为AB=1，BC=，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故选B.‎ 考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识.‎ ‎9.若实数a，b满足a＋b＝2，则的最小值是( )‎ A. 18 B. ‎6 ‎C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由重要不等式可得，再根据a＋b＝2，代入即可得解.‎ ‎【详解】解：由实数a，b满足a＋b＝2，有，当且仅当，即时取等号，‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了重要不等式的应用及取等的条件，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎10.若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是( )‎ A. m<－2或m>2 B. －22，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的图像，重点考查了函数的最值，属基础题.‎ ‎11.△ABC中, 如果, 那么△ABC是（ ）‎ A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，由正弦定理得，所以，‎ ‎,所以，同理可得，所以三角形是等边三角形.‎ 考点：正弦定理在三角形中的应用.‎ ‎12.在中, ，那么满足条件的 (   )‎ A. 有一个 B. 有两个 C. 不存在 D. 不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由正弦定理可得：，满足条件不存在，满足条件的不存在，故选C.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.若数列满足，，则_____________；前8项的和______________.（用数字作答）‎ ‎【答案】 (1). 16 (2). 255‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用递推式推导出数列为等比数列，利用通项公式和求和公式，代入即可求解, 属于基础题.‎ ‎【详解】由知是以1为首项，2为公比的等比数列，由通项公式及前 项和公式知 ‎ ‎【点睛】本题考察求通项和求前n项和的问题，属于基础题.‎ ‎14.给出四个条件：‎ ‎①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.能得出成立的有_____．(填序号)‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的充要条件为，再判断的充分条件即可.‎ ‎【详解】因为的充要条件为，‎ 对于①，当b>0>a时，能够推出；‎ 对于②，当0>a>b时，能够推出；‎ 对于③，当a>0>b时，则，不能推出；‎ 对于④，当a>b>0时，能够推出.‎ 故答案：①②④.‎ ‎【点睛】本题考查了分式不等式的解法，重点考查了充分条件，属基础题.‎ ‎15.在△ABC中，若b＝a，B＝‎2A，则△ABC为______三角形．‎ ‎【答案】等腰直角 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由B＝‎2A，得，由正弦的二倍角公式可得，‎ 又b＝a，由正弦定理可得，再运算即可得解.‎ ‎【详解】解：因为在△ABC中，若b＝a，B＝‎2A，‎ 所以，即，‎ 由正弦定理，则 ‎ 又b＝a，所以，‎ 又，‎ 所以，即，‎ 即△ABC为等腰直角三角形，‎ 故答案为：等腰直角.‎ ‎【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的形状及正弦的二倍角公式，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎16.函数的值域为________．‎ ‎【答案】(-∞，-2]‎ ‎【解析】‎ 令，由对勾函数可知，则的值域为。‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知方程ax2＋bx＋2＝0两根为和2.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)解不等式ax2＋bx－1>0.‎ ‎【答案】(1) a＝－2，b＝3. (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 结合二次方程的根与系数的关系即可得解；‎ ‎(2)由二次不等式的解法，结合不等式与方程的关系即可得解.‎ ‎【详解】解：(1)因为方程ax2＋bx＋2＝0两根为和2.‎ 由根与系数的关系，得 解得a＝－2，b＝3.‎ ‎(2)由（1）可知二次不等式ax2＋bx－1>0即为2x2－3x＋1<0，‎ 所以， 解得0的解集为：.‎ ‎【点睛】本题考查了二次方程根与系数的关系及解二次不等式，重点考查了不等式与方程的关系及运算能力，属基础题.‎ ‎18.已知{an}为等差数列,且a3=－6,a6=0.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)若等比数列{bn}满足b1=－8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和公式.‎ ‎【答案】解：（1）an=2(n-6)=2n-12‎ ‎（2）bn=-8,则前n项和为-8n..‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设等差数列的首项和公差，然后代入所给两项，解方程组，求解；（2）第一步，求等比数列的前两项，第二步，求公比，；第三步，代入等比数列的前项的和．‎ 试题解析：解 （1）设等差数列{an}的公差为d．‎ 因为a3＝－6，a6＝0，‎ 所以 解得a1＝－10，d＝2．‎ 所以an＝－10＋（n－1）×2＝2n－12．‎ ‎（2）设等比数列{bn}的公比为q．‎ 因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，‎ 所以－8q＝－24，q＝3．‎ 所以数列{bn}的前n项和公式为 Sn＝＝4（1－3n）．‎ 考点：1．等差数列的通项公式；2．等比数列的通项；3．等比数列的前项的和．‎ ‎19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A＝， sinB＝3sinC.‎ ‎(1)求tanC的值；‎ ‎(2)若a＝，求△ABC的面积．‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)因为A＝，所以B＋C＝，‎ 故sin＝3sinC，‎ 所以cosC＋sinC＝3sinC，即cosC＝sinC，得tanC＝.‎ ‎(2)由，sinB＝3sinC，得b＝‎3c.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝‎9c2＋c2－2×(‎3c)×c×＝‎7c2，‎ 又∵a＝，∴c＝1，b＝3，所以△ABC的面积为S＝bcsinA＝.‎ ‎20.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的通项公式．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求出等比数列的公比，再求出a1，a14的值，根据等差数列的通项公式求解；‎ ‎（Ⅱ）根据等差数列和等比数列的前n项和公式求数列{cn}的前n项和.‎ 试题解析：（Ⅰ）等比数列的公比，‎ 所以，．‎ 设等差数列的公差为．‎ 因为，，‎ 所以，即．‎ 所以（，，，）．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．‎ 因此．‎ 从而数列的前项和 ‎．‎ ‎【考点】等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力.‎ ‎【名师点睛】1.数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及的数学思想：函数与方程思想（如：求最值或基本量）、转化与化归思想（如：求和或应用）、特殊到一般思想（如：求通项公式）、分类讨论思想（如：等比数列求和，或）等.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎21.在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知.‎ ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若，求sinC的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：,再根据三角形内角范围化简得，；（Ⅱ）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）解：中，由，可得，又由，得，所以，得；‎ ‎（Ⅱ）解：由，可得，则.‎ ‎【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 ‎【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎22.正数x，y满足.‎ ‎(1)求xy的最小值；‎ ‎(2)求x＋2y的最小值．‎ ‎【答案】(1)36；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由基本不等式可得，再求解即可；‎ ‎(2)由，再求解即可.‎ ‎【详解】解：(1)由得xy≥36，当且仅当，即时取等号，‎ 故xy的最小值为36.‎ ‎(2)由题意可得，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 故x＋2y的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了拼凑法构造基本不等式，属中档题.‎