九师联盟2020届高三上学期9月联考数学试题

九师联盟2020届高三上学期9月联考数学试题

九师联盟2019~2020学年高三9月质量检测数学（理科）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）‎ A. B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据化简根据虚部的定义即可选出答案．‎ ‎【详解】由，所以虚部为．故选A．‎ ‎【点睛】本题考查复数运算，以及虚部的定义，需要注意的是复数的实部为 ，虚部为，属于基础题．‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合，再由并集的定义写出即可．‎ ‎【详解】由，‎ 则．故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的并集，正确求解一元二次不等式，是首要条件．属于基础题 ‎3.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ）‎ A. 128.5米 B. 132.5米 C. 136.5米 D. 110.5米 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案．‎ ‎【详解】胡夫金字塔原高为 ，则 ，即米，‎ 则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C．‎ ‎【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案．属于常规题型．‎ ‎4.函数的图象在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出，再由点斜式写出切线方程，即可选出答案．‎ ‎【详解】由，则，所以函数的图象在点处的切线方程为．故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数上某点的切线方程，需熟练掌握函数的求导法则，属于基础题．‎ ‎5.已知向量，，若，则单位向量（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，计算出，再根据与即可解出．‎ ‎【详解】因为，，所以，又，所以存在实数，使，所以，所以，所以或．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量平行，单位向量的定义，属于基础题．‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按程序框图计算-判断-循环即可得出答案．‎ ‎【详解】时，，；‎ 时，，，‎ 时，，；‎ 时，，，输出结果为．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查程序框图的条件循环，按程序框图依次循环计算即可，属于基础题．‎ ‎7.记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意联立方程组，即可解出与，即可写出，．‎ ‎【详解】设公比为q，有解得则．故选D.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前项和公式，根据题意列出方程组，解出基本量是首要条件，属于基础题．‎ ‎8.从1，3，5，7，9中任取两个数，从0，2，4，6，8中任取2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）‎ A. 2100 B. 2200 C. 2160 D. 2400‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为四位数的千位数不能是0，故需讨论4个数中是否含有0，分别计算出再求和即可得出答案．‎ ‎【详解】①这4个数中没有零时，组成没有重复数字的四位数的个数为；②这4个数中有零时，组成没有重复数字的四位数的个数为．所以组成没有重复数字的四位数的个数为．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查排列组合与简单的计数问题，其中还涉及分步计数原理与分类计数原理，解本题的关键在于对特殊数字0的处理．属于基础题．‎ ‎9.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为奇函数排除B，再由，排除D,再由即可选出答案．‎ ‎【详解】由，知函数为奇函数，函数图象关于原点对称，排除B；当时，，可得，排除D；当时，‎ ‎，当时，，故当时，此时（利用不等），可排除A．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数图像的识别，本题采用排除法，一般需要考虑函数的奇偶性、单调性、最值，与轴或轴的交点等，需注意观察所给选项的特征．属于基础题．‎ ‎10.设函数，若对任意的实数恒成立，则取最小值时，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对任意的实数恒成立即说明在处取最大值，即可求出的最小值，即可求出的值．‎ ‎【详解】由题意可知，得，则，可得的最小值为5，此时，则．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数值，其关键在于根据其在取最大值解出三角函数，属于基础题．‎ ‎11.已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的各个顶点都在球的球面上，且球的表面积为，则该正方体的棱长为（ ）‎ A. B. 5 C. D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据球的表面积可求出其半径，再由多面体与正方体的位置关系可知正方体的棱长为其外接圆半径的2倍，即可得出答案．‎ ‎【详解】设球O的半径为R，有，可得，由正方体的中心到多面体的各个顶点的距离都相等，得球O为该正方体的内切球，所以正方体的棱长为．故选A．‎ ‎【点睛】本题考查根据正方体内切球表面积求正方体的棱长，读懂题意，理解其位置关系是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点，若为等边三角形，则的所有取值的积为（ ）‎ A. B. C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据过的直线与双曲线交于两点,则分都在双曲线的右支上与在双曲线的两支上，根据题意分别求出其对应的值，再求积即可得出答案．‎ ‎【详解】设双曲线 的焦距为2c．‎ ‎①如图，当直线与双曲线C右支和交于两点时，设，则．‎ 由为等边三角形，有，可得．‎ 又由双曲线的性质知，故，‎ 所以，可得，有，．‎ ‎②如图，当直线与双曲线两支相交于两点时，设，则．‎ 由为等边三角形，有，可得，‎ 由双曲线的性质知，可得，‎ 则，．‎ 在中，，得，．‎ 由①②知的所有取值的积为．故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用双曲线与直线的位置关系解双曲线的标准方程，其中涉及到利用余弦定理的使用， 属于中档题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，，则的大小关系为_________．（用“>”连接）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的性质，将其化简作差与0 比较，即可判断大小关系．‎ ‎【详解】由，有．所以 ‎【点睛】本题考查利用作差法比较大小，解本题的关键在于熟练掌握同底对数的运算性质，属于基础题．‎ ‎14.驾驶员“科目一”考试，又称科目一理论考试、驾驶员理论考试，是机动车驾驶证考核的一部分．根据《机动车驾驶证申领和使用规定》，考试内容包括驾车理论基础、道路安全法律法规、地方性法规等相关知识．考试形式为上机考试100道题，90分及以上过关．考试规则是：若上午第一次考试未通过，当场可以立刻补考一次；如果补考还没过，那么出了考场缴费后，下午可以再考，若还未通过可再补考一次．已知小王每一次通过考试的概率均为0.5，且每一场考试与补考是否通过相互独立，则当天小王通过“科目一”考试的概率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意知小王当天有4次机会通过考试，且每次考试通过的概率都为，小王要通过考试考试，4次机会中只需通过一次，而不通过，则需4次机会全部不过，这天考试小王只会出现两种结果，过与不过，因此可先求出其不通过的概率．再算通过的概率．‎ ‎【详解】小王当天没有通过考试的概率为，则小王当天通过考试的概率为．‎ ‎【点睛】本题考查随机事件的概率，本题若正面去求小王通过考试的概率，则需要讨论小王第一次考试就通过、第二次才通过、第三次才通过、第四次才通过；但是根据对立事件的概念，即可先求出其不通过的概率，再求通过的概率，这样就简化了解题思路，属于基础题．‎ ‎15.已知等差数列的前n项和为，且，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据等式，建立 与 的方程组，解出 与，写出，再利用裂项相消求及可求出．‎ ‎【详解】设等差数列的公差为d，有解得所以，所以，则．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，等差数列前项和公式，利用裂项相消求方法前项和，正确解出是本题的关键，属于基础题．‎ ‎16.如图，已知椭圆，点, 分别是椭圆上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线与椭圆交于另一点，直线，的斜率的乘积恒为，则椭圆的离心率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出，根据与可得到，即可计算出，‎ ‎，再根据点在椭圆上与，求出，再结合 化简即可得出答案．‎ ‎【详解】设点的坐标为，有，可得点的坐标为，点的坐标为，直线的斜率为，可得直线的方程为，代入，可求得点的坐标为；直线的斜率为，‎ 则直线的斜率为，有，‎ 可得，有，得．‎ ‎【点睛】本题考查根据椭圆中两直线斜率为定值求其离心率，设出点，用点表示出与是解本题的关键，属于中档题．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.在中，角的对边分别为，．‎ ‎（1）求角 的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理，将中的边化为角，化简再利用辅助角公式即可求出角的值．‎ ‎（2）根据可求出，再利用边的余弦定理即可求出的值．‎ ‎【详解】（1）因为，所以由正弦定理，得 ‎，因为，所以，所以，即，又，所以，所以． ‎ ‎（2）由，得．‎ 由余弦定理，得．‎ ‎【点睛】本题考查解三角形，正弦定理一般用于等式两边为边或角正弦值的齐次式时边角的互化，余弦定理一般用于等式两边含有角的余弦值时或具有两边的平方和减第三边的平方的时候，属于基础题．‎ ‎18.如图，在直三棱柱中，点M，N分别为线段，的中点，，，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取线段的中点 ，连接，．通过说明，即平面，来说明．‎ ‎（2）以点C为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由题意知为平面的法向量，计算出平面 的法向量，再利用公式即可计算出平面与平面所成锐二面角．‎ ‎【详解】（1）证明：如图，取线段的中点 ，连接，．‎ ‎∵，，∴．‎ 在直三棱柱中，，‎ ‎∴．‎ ‎∵，，∴．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∵，平面，平面，∴平面．‎ ‎∵平面，∴． ‎ ‎（2）解：如图，以点C为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，． ‎ ‎∵，，∴．∵．∴平面，‎ 故为平面的一个法向量． ‎ 设平面的法向量为，由，，‎ 则所以取，则． ‎ 可得，又，，∴．‎ 故平面与平面所成锐二面角的大小为． ‎ ‎【点睛】本题考查异面直线垂直，两平面所成锐二面角的大小．几何法证明线线垂直，需先证明线面垂直，根据线面垂直的性质定理说明线线垂直．若用向量法，则直接建系，利用两向量的数量积为0来说明两直线垂直．要求面面角一般利用平面的法向量公式来求．属于基础题．‎ ‎19.已知抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线C相交于A，B两点．‎ ‎（1）若的面积为3，求直线的方程；‎ ‎（2）试判断以线段为直径圆与点F的位置关系，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）或；（2）点F在以线段为直径的圆内．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设直线为，再与抛物线联立方程，即可得到，‎ 再利用公式解出即可．‎ ‎（2）令，,则由（1）知，，判断的正负即可说明点与以线段为直径的圆的位置关系．‎ ‎【详解】（1）由题意知焦点F的坐标为．‎ 设，两点的坐标分别为，，直线的方程为．‎ 联立方程消去，整理得，可得，， ‎ 则．‎ 由的面积为3，可得，解得，‎ 故直线的方程为或．‎ ‎（2）由（1）知，． ‎ 又由，，‎ 可得,‎ ‎．‎ 故为钝角，点F在以线段为直径的圆内．‎ ‎【点睛】本题考查根据抛物线与直线相交三角形的面积求直线方程，利用向量的数量积小于0说明点在圆的外面．属于中档题．‎ ‎20.某超市采购了一批袋装进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为，且各袋牛肉干是否变质相互独立．依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可以要求超市退一赔三．为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进行销售．‎ ‎（1）若销售完这批牛肉干后得到的利润为X，且，求p的取值范围；‎ ‎（2）已知，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中．请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？‎ ‎【答案】（1）；（2）由，以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）Y表示这1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量，首先计算出1000袋牛肉干变质的期望值，再代入，再解出不等式即可．‎ ‎（2）对这批牛肉干来说，变质牛肉干不管数量有多少，未变质牛肉干销售后产生的利润与变质牛肉干作废物处后产生的费用是不变的．是否聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，产生的费用是工资和给消费者赔付的费用．即只需判断赔付费用与工资的大小关系即可说明是否需要聘请兼职员工．‎ ‎【详解】（1）令Y表示这1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量．‎ 由题意有，则，‎ 故． ‎ 由，有，解得：．‎ 故当时，p的取值范围为． ‎ ‎（2）‎ 当时，由（1）知，． ‎ 设需要赔付给消费者的费用为Z元，有．‎ 由，以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质．‎ ‎【点睛】本题考查根据数学期望求概率，数学期望在实际生活中应用，读懂题意理解数学期望的意义是解本题的关键，属于中档题．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）证明：函数在区间存在唯一的极小值点，且；‎ ‎（2）证明：函数有且仅有两个零点．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，再说明在区间单调递增，且，即可．‎ ‎（2）验证，即是函数的一个零点；说明当 无零点；当时有且仅有一个零点．即得证．‎ ‎【详解】证明：（1）由．‎ 令，当时，函数为增函数，指数函数也为增函数，故当时，函数为增函数． ‎ 又因为，可得，有，‎ ‎，故存在唯一的使得． ‎ 所以当时，即；当时，，即，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以函数在区间存在唯一的极小值点，且． ‎ ‎（2）①由，可得是函数的一个零点； ‎ ‎②当时，，，可得，此时函数没有零点； ‎ ‎③当时，由． ‎ 由（1）知，可得函数在区间上有且仅有一个零点．‎ 综上，函数有且仅有两个零点．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点与零点，需要区分极值点是 的异号零点，函数的零点是 的解．属于难题．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数）,以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点P为曲线C上任一点，求点P到直线的距离的最大值，并求此时点P的坐标．‎ ‎【答案】（1）,；（2），．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线消参即可得到直线的直角坐标方程，利用公式 化简即可得出答案．‎ ‎（2）写出曲线 的参数方程，再代入点到直线的距离公式 ，化简计算即可得出最大值，以及此时的P点的坐标．‎ ‎【详解】（1）将直线的参数方程消去参数可得直线的直角坐标方程为．‎ 将代入曲线C的极坐标得，即，‎ 故曲线的直角坐标方程为． ‎ ‎（2）设曲线C的参数方程为（为参数，），‎ 则点P的坐标为，‎ 所以点P到直线的距离为 ‎，‎ 当时，点P到直线的距离取得最大值，最大值为， ‎ 此时，点P的坐标为．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标的互化，利用椭圆的参数方程求椭圆上动点到定直线的最大值，熟练掌握点到直线的距离公式与三角函数的最值求法是解本题的关键，属于中档题．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知 为正数，且满足．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证即证即，由即可得证．‎ ‎（2）要证，可证，因为，，即，将带入即得证．‎ ‎【详解】证明：（1）因为（当且仅当时取等号），所以．‎ 又由，因为，所以．‎ 故有． ‎ ‎（2）因为（当且仅当时取“=”），‎ ‎（当且仅当时取“=”），‎ ‎（当且仅当时取“=”），‎ 三式相加可得（当且仅当时，“=”成立）．‎ 又由，得．‎ 故有．‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的简单应用，需要注意的是“一正、二定、三相等”缺一不可，本类题型难点在于如何配凑使用基本不等式得到目标式子．属于中档题．‎ ‎ ‎