2017-2018学年山东省曲阜师大附中高二下学期第一次考试（4月）数学（理）试题 Word版

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2017-2018 学年山东省曲阜师大附中高二下学期第一次考试 （4 月） 数学（理）试题 命题人：张松 审题人：李加敏、宋修江 试卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域. 答在试题卷、草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.请将答题卡上交. 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数 z 满足 ，则 =（ ） A． B．2 C． D． 2．函数 从 1 到 4 的平均变化率为（ ） A． B． C．1 D．3 3. 下列各式中正确的是( ) A． B． C． D． 4. “∵四边形 ABCD 是矩形，∴四边形 ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提 是( ) A.正方形的对角线相等 B.矩形的对角线相等 C.等腰梯形的对角线相等 D.矩形的对边平行且相等 5．设 ，若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 6．若函数 在 内无极值，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．函数 的图像与 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A. B．1 C．2 D. 8．已知曲线 ，在点 的曲线的切线方程为（ ） A. B． C． 和 D．切线不存在 9.已知 ，且 ，则方程 在区间 上( ) A．至少有三个实数根 B．至少有两个实根 C．有且只有一个实数根 D．有两种情况，有一个根或有三个根 10 ． 设 分 别 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 ， 当 时 ， ，且 ，则不等式 的解集是（ ） A．(－3，0)∪(3，+∞) B．(－3， 0)∪(0，3) C．(－∞，－3)∪(3，+∞) D．(－∞，－3)∪(0，3) 11. 设函数 满足 ， ，若函数 有三 个不同的零点，则 c 的取值范围是（ ） A．(0， ) B．( ，0) C．(－∞，0)∪( ，+∞) D．(－∞， )∪(0，+∞) 12. 函数 的值域是[0，2]，则实数 a 的范围是（ ） A．[0， ] B．[1， ] C．[1， ] D．[ ，2] 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答 错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 13.设 ，若 ，则实数 ________ 14.函数 的导函数为 ，且满足 ，则 15.已知 , ,则 t= ________ 16. 已 知 ， ， ， … ， ，…，（ ， ）．则 的值为 ______． 三、解答题：(本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．（本小题满分 10 分）已知 ，求 的单调区间. 18．（本小题满分 12 分）已知数列 满足 . （1）求 ； （2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明. 19. （本小题满分 12 分） 某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据， 该昆虫的数量 （万只）与时间 （年）（其中 ）的关系为 ．为有效控制有 害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值 （其中 为常数， 且 ）来进行生态环境分析． (1)当 时，求比值 的最小值； (2)经过调查，环保部门发现：当比值 不超过 时不需要进行环境防护，现恰好．．3 年 不需要进行保护，求实数 的取值范围． 20.(本小题满分 12 分) 设函数 ，其中 . (1)若 在 处取得极值，求常数 的值； (2)若 在(－∞，0)上为增函数，求 的取值范围． 21．（本小题满分 12 分）已知函数 ． (1)求函数 的极值； (2)设函数 ，存在实数 ，使得 成 立，求实数 的取值范围． 22．（本小题满分 12 分）直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 C 的方程为 ，直线 方程为 （t 为参数），直 线 与 C 的公共点为 T. (1)求点 T 的直角坐标; (2)过点 T 作直线 ， 被曲线 C 截得的线段长为 2，求直线 的极坐标方程. 答案 1-5 CADBB 6-10 DABCD 11A 12C 13、1 14、-1 15、 16、 17、解： 18、解 （1）由 可得 （2）猜想 下面用数学归纳法证明： ①当 时，左边 右边 猜想成立. ②假设 时猜想成立，即 ， 当 时， ，故当 时，猜想也成立. 由①，②可知，对任意 都有 成立. 19、解 （1）当 时， ，∴ ； 、 的变化如表所示， 1 2 － 0 ＋ ↓¯ 极小值 ↑ ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴ 在 时取最小值；此时 （2）∵ 根据（1）知： 在 上单调减，在 上单调增； ∵恰好 3 年不需要进行保护，∴， 解得 ，即实数 的取值范围为 ． 20、解 (1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)． 因 f(x)在 x＝3 处取得极值， 所以 f′(3)＝6(3－a)(3－1)＝0，解得 a＝3. 经检验知当 a＝3 时，x＝3 为 f(x)的极值点． (2)令 f′(x)＝6(x－a)(x－1)＝0 得 x1＝a，x2＝1. 当 a<0 时，若 x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，则 f′(x)>0，所以 f(x)在(－∞，a)和(1， ＋∞)上为增函数． 当 0≤a<1 时，f(x)在(－∞，0)上为增函数． 当 a≥1 时，若 x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，则 f′(x)>0， 所以 f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上为增函数，从而 f(x)在(－∞，0)上为增函数． 综上可知，当 a≥0 时，f(x)在(－∞，0)上为增函数． 21、解 (1)函数的定义域为 R，f′(x)＝－ x ex，令 f′(x)＝0，得 x=0. 、 的变化如表所示， 0 ↑ 极大值 ↓ 则 x=0 处取得极大值 =1 (2)存在 x1，x2∈[0,1]，使得 2φ(x1)<φ(x2)成立， 则 2[φ(x)]min<[φ(x)]max. ∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝ ， ∴φ′(x)＝ ＝ . ①当 t≥1 时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即 t>3－ e 2>1； ②当 t≤0 时，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即 t<3－2e<0； ③当 00，φ(x)在(t,1)上单调递增，∴2φ(t)

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