高考理科数学复习圆锥曲线题型总结1

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高考理科数学复习圆锥曲线题型总结1

直线和圆锥曲线常考ian锥曲线经题型(1)‎ 运用的知识:‎ ‎1、中点坐标公式:,其中是点的中点坐标。‎ ‎2、弦长公式:若点在直线上,‎ 则,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,‎ 或者 ‎。‎ ‎3、两条直线垂直:则 两条直线垂直,则直线所在的向量 ‎4、韦达定理:若一元二次方程有两个不同的根,则。‎ 常见的一些题型:‎ 题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线与椭圆始终有交点,求的取值范围 解:根据直线的方程可知,直线恒过定点(0,1),椭圆过动点,如果直线和椭圆始终有交点,则,即。‎ 题型二:弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N :交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(,0),使得是等边三角形,若存在,求出;若不存在,请说明理由。‎ 解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。‎ 设直线,,,。 由消y整理,得 ①‎ ‎ 由直线和抛物线交于两点,得 即 ② 由韦达定理,得:。 则线段AB的中点为。 线段的垂直平分线方程为: 令y=0,得,则 为正三角形, 到直线AB的距离d为。 解得满足②式此时。‎ 题型三:动弦过定点的问题 例题3、已知椭圆C:的离心率为,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 (I)求椭圆的方程; (II)若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论 解:(I)由已知椭圆C的离心率,,则得。 从而椭圆的方程为 (II)设,,直线的斜率为,则直线 的方程为,由消y整理得 是方程的两个根, 则,, 即点M的坐标为, 同理,设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为 , 直线MN的方程为:, 令y=0,得,将点M、N的坐标代入,化简后得: 又,椭圆的焦点为 ,即故当时,MN过椭圆的焦点。 ‎ 题型四:过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A、B、C是椭圆E: 上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,直线BC过椭圆的中心O,且,,如图。 (I)求点C的坐标及椭圆E的方程; (II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线对称,求直线PQ的斜率。 ‎ 解:(I) ,且BC过椭圆的中心O ‎ ‎ 又 点C的坐标为。A是椭圆的右顶点, ,则椭圆方程为: 将点C代入方程,得, 椭圆E的方程为 (II) 直线PC与直线QC关于直线对称, 设直线PC的斜率为,则直线QC的斜率为,从而直线PC的方程为: ,即, 由消y,整理得: 是方程的一个根, 即 同理可得: = = = 则直线PQ的斜率为定值。‎ 题型六:面积问题 例题6、已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值。‎ 解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意 ‎,所求椭圆方程为。‎ ‎(Ⅱ)设,。‎ ‎(1)当轴时,。(2)当与轴不垂直时,‎ 设直线的方程为。‎ 由已知,得。‎ 把代入椭圆方程,整理得,‎ ‎,。‎ ‎。‎ 当且仅当,即时等号成立。当时,,‎ 综上所述。‎ 当最大时,面积取最大值。‎ 题型七:弦或弦长为定值问题 例题7、在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A、B两点。‎ ‎(Ⅰ)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;‎ ‎(Ⅱ)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由。‎ ‎(Ⅰ)依题意,点N的坐标为N(0,-p),可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.‎ 由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.‎ 于是 ‎=‎ ‎=‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)假设满足条件的直线l存在,其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q,PQ的中点为H,则 ‎=.‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ 令,得为定值,故满足条件的直线l存在,其方程为,‎ 即抛物线的通径所在的直线.‎ 解法2:‎ ‎(Ⅰ)前同解法1,再由弦长公式得 ‎=‎ 又由点到直线的距离公式得.‎ 从而,‎ ‎(Ⅱ)假设满足条件的直线t存在,其方程为y=a,则以AC为直径的圆的方程为 将直线方程y=a代入得 设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x2,y2),Q(x4,y4),则有 令为定值,故满足条件的直线l存在,其方程为.‎ 即抛物线的通径所在的直线。‎ 问题九:四点共线问题 例题9、设椭圆过点,且着焦点为 ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上 解 (1)由题意:‎ ‎ ,解得,所求椭圆方程为 ‎ ‎(2)方法一 ‎ 设点Q、A、B的坐标分别为。‎ 由题设知均不为零,记,则且 又A,P,B,Q四点共线,从而 于是 , ‎ ‎ , ‎ 从而 ‎ ‎ ,(1) ,(2)‎ 又点A、B在椭圆C上,即 ‎ ‎ ‎ (1)+(2)×2并结合(3),(4)得 即点总在定直线上 方法二 设点,由题设,均不为零。‎ 且 ‎ 又 四点共线,可设,于是 ‎ (1)‎ ‎ (2)‎ 由于在椭圆C上,将(1),(2)分别代入C的方程整理得 ‎ (3)‎ ‎ (4)‎ ‎(4)-(3)    得 ‎ 即点总在定直线上 问题十:范围问题(本质是函数问题)‎ 设、分别是椭圆的左、右焦点。‎ ‎(Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点,求·的最大值和最小值;‎ ‎(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且∠为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围。‎ 解:(Ⅰ)解法一:易知 所以,设,则 因为,故当,即点为椭圆短轴端点时,有最小值 当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值 解法二:易知,所以,设,则 ‎(以下同解法一)‎ ‎(Ⅱ)显然直线不满足题设条件,可设直线,‎ 联立,消去,整理得:‎ ‎∴‎ 由得:或 又 ‎∴‎ 又 ‎∵,即 ∴‎ 故由①、②得或 问题十一、存在性问题:(存在点,存在直线y=kx+m,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),圆)‎ 设椭圆E: (a,b>0)过M(2,) ,N(,1)两点,O为坐标原点,‎ ‎(I)求椭圆E的方程;‎ ‎(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。‎ 解:(1)因为椭圆E: (a,b>0)过M(2,) ,N(,1)两点,‎ 所以解得所以椭圆E的方程为 ‎(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 则△=,即 ‎,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.‎ 因为,‎ 所以,‎ ‎, ‎ ‎①当时 因为所以,‎ 所以,‎ 所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ② 当时,.‎ ③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,‎ 综上, |AB |的取值范围为即: ‎
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