数学理卷·2018届吉林省普通中学高三第二次调研测试(2018

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数学理卷·2018届吉林省普通中学高三第二次调研测试(2018

吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第二次调研测试 理科数学 本试卷共22小题,共150分,共6页,考试时间120分钟,考试结束后,将答题卡和试题卷一并交回。‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条 形码、姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。‎ ‎2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案 的标号;非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、‎ 笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案 ‎ 无效。‎ ‎4. 作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5. 保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮 ‎ 纸刀。‎ 一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求。‎ ‎1. 已知全集,则图中阴影部分表示的 集合是 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎2. 设是虚数单位,复数为纯虚数,则实数的值为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知表示两个不同平面,直线是内一条直线,则“∥” 是“∥”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4. 已知是公差为的等差数列,前项和为,若,则的值是 ‎ A.    B. C. D. ‎ 是 否 ‎5. 《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位 ‎ 所著,该作完善了珠算口诀,确立了算盘用法,完成了由 ‎ 筹算到珠算的彻底转变,该作中有题为“李白沽酒”“ ‎ ‎ 李白街上走,提壶去买酒。遇店加一倍,见花喝一斗,三 ‎ 遇店和花,喝光壶中酒。借问此壶中,原有多少酒?”,‎ ‎ 右图为该问题的程序框图,若输出的值为0,则开始输 ‎ 入的值为 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎6. 已知向量和的夹角为,且, 则等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 有如下四个命题:‎ ‎ ‎ ‎ 若,则 ‎ 其中假命题的是 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎8. 已知双曲线的一条渐近线为,则该双曲线的离心率 ‎ 等于 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知函数对任意都满足,则 ‎ 函数的最大值为 ‎ ‎ A.5 B.3 C. D.‎ ‎10.如图所示,在边长为1的正方形组成的网格中,‎ ‎ 画出的是一个几何体的三视图,则该几何体的 ‎ 体积是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎11. 已知函数是定义在上的奇函数,当时,,给出下列命题:‎ ‎ ① 当时,;‎ ‎ ② 函数的单调递减区间是;‎ ‎ ③ 对,都有.‎ ‎ 其中正确的命题是 ‎ ‎ A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②‎ 12. ‎ 已知为抛物线的焦点,点在该抛物线上且位于轴的两侧,而且 ‎ (为坐标原点),若与的面积分别为和,则 最小值是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13. 已知实数满足条件, 则的最大值是 ‎ ‎14. 某公司招聘员工,有甲、乙、丙三人应聘并进行面试,结果只有一人被录用,当三人 ‎ 被问到谁被录用时,‎ ‎ 甲说:丙没有被录用;乙说:我被录用;丙说:甲说的是真话. ‎ ‎ 事实证明,三人中只有一人说的是假话,那么被录用的人是 ‎ ‎15. 已知数列中,前项和为,且,则的最大值为 ‎ ‎16. 三棱锥中,底面是边长为的等边三角形,面,,则三棱锥外接球的表面积是 . ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(10分) ‎ ‎ 在中,角所对边分别是,满足 ‎ (1)求角;‎ ‎ (2)若,求面积的最大值. ‎ ‎18.(12分) ‎ ‎ 已知各项均为正数的等比数列,前项和为,.‎ ‎ (1)求的通项公式;‎ ‎ (2)设,的前项和为,证明:. ‎ ‎19.(12分) ‎ ‎ 某高中一年级600名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成组:[20,30),[30,40),┄,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:‎ ‎ (1)从总体的600名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;‎ ‎ (2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;‎ ‎ (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.‎ ‎20.(12分) ‎ ‎ 四棱锥中,底面为菱形,,为等边三角形 ‎ (1)求证: ;‎ ‎ (2)若,求二面角 的余弦值. ‎ ‎21.(12分) ‎ ‎ 设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为,短轴长为,已知是抛物线的焦点. ‎ ‎ (1)求椭圆的方程和抛物线的方程; ‎ ‎ (2)若抛物线的准线上两点关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点),直线与轴相交于点,若的面积为,求直线的方程. ‎ ‎22.(12分) ‎ ‎ 已知函数 ‎ (1)求曲线在点处的切线方程; ‎ ‎ (2)令,讨论的单调性并判断有无极值,若有,求出极值. ‎ ‎ ‎ 吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第二次调研测试 理科数学参考答案与评分标准 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C A A D C D B C C A B B 二、填空题 ‎13. 7 ; 14. 甲 ; 15. 2 ; 16. ‎ 三、解答题 ‎17. ‎ 解(1)由已知得: --------------------------------2分 ‎ ‎ ‎ --------------------------------------4分 ‎ ‎ ‎ 因为,所以, ------------------------------------------5分 ‎(2) 由余弦定理得:‎ ‎ , ------------------------------------------7分 ‎ 当时取等号 ---------------------------------------------------8分 ‎ ‎ ‎ 所以面积的最大值为 ---------------------------------------------------------10分 ‎18.‎ 解(1)设公比为,由题意 ---------------------------------------------------------------1分 ‎, ----------------------------------------------------------------3分 由(2)得:‎ 将(1)代入得: ------------------------------------------5分 代入(1)得:,所以 -------------------------------------------------------------6分 ‎(2) --------------------------------9分 ‎ ------------------------------------------------------12分 ‎19.‎ 解:(1)(0.02+0.04)×10=0.6, 1-0.6=0.4 ‎ ‎ 样本分数小于70的频率为0.4, 所以总体中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计 为0.4 ---------------------------------------------4分 ‎(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为,‎ ‎ 分数在区间内的人数为. -----------------6分 所以总体中分数在区间内的人数估计为. --------------8分 ‎(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为,‎ 所以样本中分数不小于70的男生人数为. -------------------------10分 所以样本中的男生人数为,女生人数为,男生和女生人数的比例为.‎ 所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为. ----------12分 ‎20.‎ ‎(1)证明:取AD中点E,连结PE,BE --------------------------------------------------1分 ‎ ABCD为菱形,,为等边三角形 ‎ -------------------------------------------------------------------------------3分 ‎ 为等边三角形, ‎ ‎ ‎ ‎ ----------------4分 ‎(2) 为等边三角形,边长为2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ -------------------------------------------------------------6分 如图,以EA,EB,EP为x,y,z轴建立空间直角坐标系 ‎ --------------------------------7分 ‎ 设平面PCD的法向量为 ‎,‎ ‎ 取,则 ------------------------9分 ‎ 设平面PCB的法向量为 ‎,‎ 取,则 ---------------------------------------------10分 设二面角的平面角为 二面角的余弦值等于0 -------------------------------------------------------------12分 ‎21. ‎ 解(1) -------------------1分 ‎ ‎,所以椭圆方程为 ----------------------------------------------3分 ‎ 所以抛物线方程为 ---------------------------------------------5分 ‎ (2)设直线AP方程为,与直线的方程联立 可得点,‎ 联立AP跟椭圆方程消去x,整理得,‎ 解得,可得, -----------------------------------------7分 由,直线BQ方程,‎ 令y=0,解得,即 --------------------------------------------9分 所以有, --------------------------------10分 整理得, 解得 ---------------------------11分 所以,直线AP的方程为:‎ ‎ -----------12分 ‎22. ‎ 解:(1) ------------2分 ‎ 则切线方程为y=1 ------------------------4分 ‎(2)g(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2)﹣a(x2+2cosx) g′(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2)+ex(﹣sinx﹣cosx+2)﹣a(2x﹣2sinx) =2(x﹣sinx)(ex﹣a)=2(x﹣sinx)(ex﹣elna). ------------------------------------6分 令u(x)=x﹣sinx,则u′(x)=1﹣cosx≥0,∴函数u(x)在R上单调递增. ∵u(0)=0,∴x>0时,u(x)>0;x<0时,u(x)<0. --------------------------------7分 当a≤0时,ex﹣a>0,‎ ‎ ∴x>0时,g′(x)>0,函数g(x)在(0,+∞)单调递增; x<0时,g′(x)<0,函数g(x)在(﹣∞,0)单调递减. ∴x=0时,函数g(x)取得极小值, ‎ ‎ 无极大值 ------------------------------------------------------------------------------8分 当a>0时,令g′(x)=2(x﹣sinx)(ex﹣elna)=0.解得x1=lna,x2=0. ①0<a<1时,‎ ‎ x∈(﹣∞,lna)时,ex﹣elna<0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增; x∈(lna,0)时,ex﹣elna>0,g′(x)<0,函数g(x)单调递减; x∈(0,+∞)时,ex﹣elna>0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增. ∴当x=0时,函数g(x)取得极小值,. 当x=lna时,函数g(x)取得极大值,‎ ‎ g(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2]. -------------------9分 ②a=1时,lna=0,x∈R时,g′(x)≥0,‎ ‎ ∴函数g(x)在R上单调递增.无极值 --------------------------------------------------10分 ③a>1时,lna>0,‎ ‎ x∈(﹣∞,0)时,ex﹣elna<0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增; x∈(0,lna)时,ex﹣elna<0,g′(x)<0,函数g(x)单调递减; x∈(lna,+∞)时,ex﹣elna>0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增. ∴当x=0时,函数g(x)取得极大值,. 当x=lna时,函数g(x)取得极小值,‎ ‎ g(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].------------------------11分 综上所述:‎ 当a≤0时,函数g(x)在(0,+∞)单调递增;在(﹣∞,0)单调递减.‎ ‎ g(x)极小值为﹣1﹣2a.无极大值 当0<a<1时,‎ ‎ 函数g(x)在(﹣∞,lna),(0,+∞)上单调递增;在(lna,0)上单调递减. ‎ ‎ 极小值g(0)=﹣2a﹣1.极大值g(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2]. 当a=1时,函数g(x)在R上单调递增.无极值 当a>1时,函数g(x)在(﹣∞,0),(lna,+∞)上单调递增;在(0,lna)上单调递减.‎ ‎ 极大值g(0)=﹣2a﹣1.极小值g(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2]. -----------------------------------------------------------------------12分 ‎【来源:全,品…中&高*考+网】‎
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