2008年北京市高级中等学校招生考试数学试题(含答案)

2008年北京市高级中等学校招生考试数学试题(含答案)

‎2008年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷 考 生 须 ‎ 知：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共8页．全卷共九道大题，25道小题．‎ ‎2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．‎ ‎3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写区（县）名称、毕业学校、姓名、报名号和准考证号．‎ ‎4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．‎ 第Ⅰ卷（机读卷 共32分）‎ 考 生 须 ‎ 知：‎ ‎1．第Ⅰ卷从第1页到第2页，共2页，共一道大题，8道小题．‎ ‎2．考生须将所选选项按要求填涂在答题卡上，在试卷上作答无效．‎ 一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）‎ 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．‎ ‎1．的绝对值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．截止到‎2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若两圆的半径分别是‎1cm和‎5cm，圆心距为‎6cm，则这两圆的位置关系是（ ）‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 ‎4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（ ）‎ A．50，20 B．50，‎30 ‎ C．50，50 D．135，50‎ ‎5．若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（ ）‎ A．5 B．‎6 ‎ C．7 D．8‎ ‎6．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知为圆锥的顶点，为圆锥底面上一点，点在上．一只蜗牛从点出发，绕圆锥侧面爬行，回到点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）‎ O P M O M P A．‎ O M P B．‎ O M P C．‎ O M P D．‎ ‎2008年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷 第Ⅱ卷（非机读卷 共88分）‎ 考 生 须 知：‎ ‎1．第Ⅱ卷从第1页到第8页，共8页，共八道大题，17道小题．‎ ‎2．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔或签字笔．‎ 二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）‎ C A E D B ‎9．在函数中，自变量的取值范围是 ．‎ ‎10．分解因式： ．‎ ‎11．如图，在中，分别是的中点，‎ 若，则 cm．‎ ‎12．一组按规律排列的式子：，，，，…（），其中第7个式子是 ，第个式子是 （为正整数）．‎ 三、解答题（共5道小题，共25分）‎ ‎13．（本小题满分5分）‎ 计算：．‎ 解：‎ ‎14．（本小题满分5分）‎ 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0‎ 解：‎ ‎15．（本小题满分5分）‎ 已知：如图，为上一点，点分别在两侧．，，．‎ A C E D B 求证：．‎ 证明：‎ ‎16．（本小题满分5分）‎ 如图，已知直线经过点，求此直线与轴，轴的交点坐标．‎ y x O M ‎1‎ ‎1‎ 解：‎ ‎17．（本小题满分5分）‎ 已知，求的值．‎ 解：‎ 四、解答题（共2道小题，共10分）‎ ‎18．（本小题满分5分）‎ A B C D 如图，在梯形中，，，，，，求的长．‎ 解：‎ ‎19．（本小题满分5分）‎ 已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．‎ D C O A B E ‎（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）若，，求的长．‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ 五、解答题（本题满分6分）‎ ‎20．为减少环境污染，自‎2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：‎ ‎40‎ ‎35‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ 图1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎11‎ ‎26‎ ‎37‎ ‎9‎ 塑料袋数／个 人数／位 ‎“限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图 ‎“限塑令”实施后，使用各种 购物袋的人数分布统计图 其它 ‎5%‎ 收费塑料购物袋 ‎_______％‎ 自备袋 ‎46%‎ 押金式环保袋24%‎ 图2‎ ‎“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表 处理方式 直接丢弃 直接做垃圾袋 再次购物使用 其它 选该项的人数占 总人数的百分比 ‎5%‎ ‎35%‎ ‎49%‎ ‎11%‎ 请你根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？‎ ‎（2）补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响．‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ 六、解答题（共2道小题，共9分）‎ ‎21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：‎ 京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？‎ 解：‎ ‎22．（本小题满分4分）‎ A G C F E B D 图2‎ 已知等边三角形纸片的边长为，为边上的点，过点作交于点．于点，过点作于点，把三角形纸片分别沿按图1所示方式折叠，点分别落在点，，处．若点，，在矩形内或其边上，且互不重合，此时我们称（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．‎ A G C F E B D 图1‎ ‎（1）若把三角形纸片放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形的面积；‎ ‎（2）实验探究：设的长为，若重叠三角形存在．试用含的代数式表示重叠三角形的面积，并写出的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．‎ A C B 备用图 A C B 备用图 解：（1）重叠三角形的面积为 ；‎ ‎（2）用含的代数式表示重叠三角形的面积为 ；的取值范围为 ．‎ 七、解答题（本题满分7分）‎ ‎23．已知：关于的一元二次方程．‎ ‎（1）求证：方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）解：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ x y O ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎-4‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎（3）解：‎ 八、解答题（本题满分7分）‎ ‎24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点．‎ ‎（1）求直线及抛物线的解析式；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；‎ ‎1‎ O y x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎（3）连结，求与两角和的度数．‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 九、解答题（本题满分8分）‎ ‎25．请阅读下列材料：‎ 问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．‎ 小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．‎ D C G P A B E F 图2‎ D A B E F C P G 图1‎ 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：‎ ‎（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；‎ ‎（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．‎ ‎（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．‎ 解：（1）线段与的位置关系是 ； ．‎ ‎（2）‎ ‎2008年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷答案及评分参考 阅卷须知：‎ ‎1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名．‎ ‎2．第Ⅰ卷是选择题，机读阅卷．‎ ‎3．第Ⅱ卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）‎ 一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A D C C B B B D 第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分）‎ 二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ‎4‎ 三、解答题（共5道小题，共25分）‎ ‎13．（本小题满分5分）‎ 解：‎ ‎ 4分 ‎． 5分 ‎14．（本小题满分5分）‎ 解：去括号，得． 1分 移项，得． 2分 合并，得． 3分 系数化为1，得． 4分 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0‎ 不等式的解集在数轴上表示如下：‎ ‎ 5分 ‎15．（本小题满分5分）‎ 证明：，‎ ‎． 2分 在和中，‎ ‎． 4分 ‎． 5分 ‎16．（本小题满分5分）‎ 解：由图象可知，点在直线上， 1分 ‎．‎ 解得． 2分 直线的解析式为． 3分 令，可得．‎ 直线与轴的交点坐标为． 4分 令，可得．‎ 直线与轴的交点坐标为． 5分 ‎17．（本小题满分5分）‎ 解：‎ ‎ 2分 ‎． 3分 当时，． 4分 A B C D F E 图1‎ 原式． 5分 四、解答题（共2道小题，共10分）‎ ‎18．（本小题满分5分）‎ 解法一：如图1，分别过点作于点，‎ 于点． 1分 ‎．‎ 又，‎ 四边形是矩形．‎ ‎． 2分 ‎，，，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎ 4分 在中，，‎ ‎． 5分 解法二：如图2，过点作，分别交于点． 1分 ‎，‎ A B C D F E 图2‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ 在中，，，，‎ ‎ 2分 在中，，，，‎ ‎．‎ ‎． 4分 在中，，‎ ‎． 5分 ‎19． （本小题满分5分）‎ 解：（1）直线与相切． 1分 D C O A B E 图1‎ 证明：如图1，连结．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎， ．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎．‎ 直线与相切． 2分 ‎（2）解法一：如图1，连结．‎ 是的直径， ．‎ ‎，‎ ‎． 3分 ‎，，‎ ‎． 4分 ‎， ． 5分 解法二：如图2，过点作于点． ．‎ D C O A B H 图2‎ ‎，‎ ‎． 3分 ‎，，‎ ‎． 4分 ‎，‎ ‎． 5分 五、解答题（本题满分6分）‎ 解：（1）补全图1见下图． 1分 ‎40‎ ‎35‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ 图1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎11‎ ‎26‎ ‎37‎ ‎9‎ 塑料袋数／个 人数／位 ‎“限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图 ‎10‎ ‎（个）．‎ 这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个． 3分 ‎．‎ 估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋． 4分 ‎（2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为． 5分 根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献． 6分 六、解答题（共2道小题，共9分）‎ ‎21．解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时千米． 1分 依题意，得． 3分 解得． 4分 答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米． 5分 ‎22．解：（1）重叠三角形的面积为． 1分 ‎（2）用含的代数式表示重叠三角形的面积为； 2分 的取值范围为． 4分 七、解答题（本题满分7分）‎ ‎23．（1）证明：是关于的一元二次方程，‎ ‎．‎ 当时，，即．‎ 方程有两个不相等的实数根． 2分 ‎（2）解：由求根公式，得．‎ 或． 3分 ‎，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ x y O ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎-4‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎，． 4分 ‎．‎ 即为所求． 5分 ‎（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出 与的图象．‎ ‎ 6分 由图象可得，当时，． 7分 八、解答题（本题满分7分）‎ ‎24．解：（1）沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点，‎ ‎．‎ 设直线的解析式为．‎ 在直线上，‎ ‎．‎ 解得．‎ 直线的解析式为． 1分 抛物线过点，‎ 解得 抛物线的解析式为． 2分 ‎1‎ O y x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-2‎ ‎-1‎ P E B D A C F 图1‎ ‎（2）由．‎ 可得．‎ ‎，，，．‎ 可得是等腰直角三角形．‎ ‎，．‎ 如图1，设抛物线对称轴与轴交于点，‎ ‎．‎ 过点作于点．‎ ‎．‎ 可得，．‎ 在与中，，，‎ ‎．‎ ‎，．‎ 解得．‎ 点在抛物线的对称轴上，‎ 点的坐标为或． 5分 ‎（3）解法一：如图2，作点关于轴的对称点，则．‎ 连结，‎ ‎1‎ O y x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-1‎ B D A C F 图2‎ 可得，．‎ 由勾股定理可得，．‎ 又，‎ ‎．‎ 是等腰直角三角形，，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎1‎ O y x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-2‎ ‎-1‎ B D A C F 图3‎ 即与两角和的度数为． 7分 解法二：如图3，连结．‎ 同解法一可得，．‎ 在中，，，‎ ‎．‎ 在和中，‎ ‎，，．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ 即与两角和的度数为． 7分 九、解答题（本题满分8分）‎ ‎25．解：（1）线段与的位置关系是；‎ ‎． 2分 ‎（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．‎ 证明：如图，延长交于点，连结．‎ 是线段的中点， ‎ ‎．‎ D C G P A B E F H 由题意可知．‎ ‎．‎ ‎， ‎ ‎．‎ ‎，．‎ 四边形是菱形，‎ ‎，．‎ 由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，‎ 可得． ‎ ‎．‎ 四边形是菱形，‎ ‎． ‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎，．‎ ‎．‎ 即．‎ ‎，，‎ ‎，．‎ ‎． 6分 ‎（3）． 8分