2020年高中数学第四章圆与方程4
4.2.2-4.2.3 直线与圆的方程的应用
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
解析：圆C1的圆心坐标为(0,0)，半径r1＝1.将圆C2化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25－m(m<25)，得圆C2的圆心坐标为(3,4)，半径r2＝(m<25)．由两圆相外切得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋＝5，解方程得m＝9.
答案：C
2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
解析：圆x2＋y2－2x－5＝0化为标准方程是(x－1)2＋y2＝6，其圆心是(1,0)；圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝9，其圆心是(－1,2)．线段AB的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，验证可得A正确．
答案：A
3．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
解析：圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，
O1(3，－8)，r＝11，
圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，
∴|O1O2|＝＝13，
∴r－R<|O1O2|
2 D．k<－2或k>2或k＝±
解析：y＝表示圆x2＋y2＝1的上半部分(包括与x轴的两个交点A，B)，y＝kx＋2过定点(0,2).＝kx＋2有唯一解，由图(图略)可以看出，在两条切线处和过x轴上AB线段上的点(不包括A，B)的直线满足方程只有一个解，观察选项，易知应选D.
答案：D
6．若a2＋b2＝4，则两圆(x－a)2＋y2＝1与x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．
解析：∵两圆的圆心分别为O1(a,0)，O2(0，b)，半径r1＝r2＝1，∴|O1O2|＝＝2＝r1＋r2，两圆外切．
答案：外切
7．已知直线l：y＝x＋m与曲线C：y＝有两个公共点，则m的取值范围是________．
解析：由曲线C：y＝，得x2＋y2＝1(y≥0)，
∴曲线C为在x轴上方的半圆，如图所示，l：y＝x＋m是斜率为1的平行直线系，记当m＝1时的直线为l1，记当l与半圆相切时的直线为l2，这时圆心到直线的距离d＝r＝1，所以截距m＝.当l在l1与l2之间时(或与l1重合时)，l与C有两个不同的交点．故m∈[1，)．
答案：[1，)
8．据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以40 km/h的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响，从现在起经过约________ h，台风将影响A城，持续时间约为________ h．(结果精确到0.1 h)
解析：以B为原点，正东方向为x轴的正方向，建立直角坐标系(图略)，则台风中心的移动轨迹是y＝－x，受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502.
依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，
解得－150－25≤a≤－150＋25，
∴t1＝＝≈2.0，
Δt＝＝≈6.6.
故从现在起经过约2.0 h，台风将影响A城，持续时间约为6.6 h.
答案：2.0 6.6
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9．已知两圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－2)2＋(y－2)2＝5，求经过点P(0,1)且被两圆截得的弦长相等的直线方程．
解析：设所求直线为y＝kx＋1，
即kx－y＋1＝0.
由题意知圆C1(0,0)，r1＝1，
圆C2(2,2)，r2＝，
则两圆圆心到直线的距离分别为
d1＝，d2＝，
因为直线被两圆截得的弦长相等，所以
2＝2，
解得k＝－1.
∴y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.
当所求直线垂直于x轴时，所求直线方程为x＝0.分别代入圆C1，C2，可知都满足条件，所以所求直线方程为x＋y－1＝0，或x＝0.
10．设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？
解析：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系．
设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为＋＝1(a>3，b>3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，有
解得
所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇．
[B组 能力提升]
1．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为直线通过第一、二、四象限，所以a<0，b>0，故圆心位于第二象限．
答案：B
2．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值是( )
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A. B．2 C．2 D．4
解析：∵点P在直线3x＋4y＋8＝0上，如图所示，
∴设P，
C点坐标为(1,1)，
S四边形PACB＝2S△PAC＝|AP|·|AC|＝|AP|，
∵|AP|2＝|PC|2－|AC|2＝|PC|2－1，
∴当|PC|最小时，|AP|最小，四边形PACB的面积最小．
∴|PC|2＝(1－x)2＋2
＝x2＋x＋10＝2＋9，
∴|PC|min＝3.当|PC|最小时，|PA|＝ ＝2，
∴四边形PACB面积的最小值为2.
答案：C
3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
解析：如图，圆x2＋y2＝4的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，问题转化为坐标原点(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1.即<1，|c|<13，
∴－130)上一动点，PA、PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，求k的值．
解析：由圆的方程得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(0,1)，半径r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，
所以若四边形PACB的最小面积是2，所以S△PBC的最小值为1，而S△PBC＝r|PB|，
即|PB|的最小值为2，
此时|PC|最小为圆心到直线的距离，
此时d＝＝ ＝，
即k2＝4，因为k>0，所以k＝2.
6．AB为圆的定直径，CD为动直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证：直线CP必过一定点．
解析：以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x2＋y2＝r2(r>0)，定直径AB位于x轴上，动直径为CD.
令C(x0，y0)，则D(－x0，－y0)，
∴P(－x0，－y0－2r)．
∴直线CP的方程为
y－y0＝(x－x0)，
即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0.
∴直线CP过直线：x＝0，y＋r＝0的交点(0，－r)，
即直线CP过定点(0，－r)．
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