2020高考数学一轮复习 函数系列之导数的应用——单调性与极值学案

2020高考数学一轮复习 函数系列之导数的应用——单调性与极值学案

单调性与极值 ‎1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；‎ ‎2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。‎ ‎3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；‎ ‎4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。‎ ‎【重点难点】‎ ‎①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。‎ ‎【高考要求】B级 ‎【基础过关】1． 函数的单调性 ‎⑴ 函数y＝在某个区间内可导，若＞0，则为 ；若＜0，则为 .（逆命题不成立）‎ ‎(2) 如果在某个区间内恒有，则 .‎ 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.‎ ‎(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：‎ ‎① 确定函数的 ；‎ ‎② 求，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；‎ ‎③ 把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；‎ ‎④ 确定在各小开区间内的 ，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.‎ ‎2．可导函数的极值 ‎⑴ 极值的概念 设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有 （或 ），则称为函数的一个极大（小）值．称为极大（小）值点.‎ ‎⑵ 求可导函数极值的步骤：‎ ‎① 求导数；‎ ‎② 求方程＝0的 ；‎ ‎③ 检验在方程＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝在这个根处取得 .‎ ‎3．函数的最大值与最小值：‎ ‎⑴ 设y＝是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝在(a ,b )内有导数，则函数y＝在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值．‎ ‎(2) 求最值可分两步进行：‎ ‎① 求y＝在(a ,b )内的 值；‎ 7‎ ‎② 将y＝的各 值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.‎ ‎(3) 若函数y＝在[a ,b ]上单调递增，则为函数的 ，为函数的 ；若函数y＝在[a ,b ]上单调递减，则为函数的 ，为函数的 .‎ ‎【典型例题】‎ 例1. 已知f(x)=ex-ax-1. ‎ ‎（1）求f(x)的单调增区间； ‎ ‎（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围； ‎ ‎（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.‎ 解：=ex-a. ‎ ‎（1）若a≤0，=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增. ‎ 若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). ‎ ‎（2）∵f（x）在R内单调递增，∴≥0在R上恒成立. ‎ ‎∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立. ‎ ‎∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0. ‎ ‎（3）方法一 由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立. ‎ ‎∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数. ‎ ‎∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立. ‎ ‎∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1. ‎ 方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴=0,即e0-a=0,∴a=1.‎ 变式训练1. 已知函数f(x)=x3-ax-1. ‎ ‎（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； ‎ ‎（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由； ‎ ‎（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方. ‎ ‎（1）解 由已知=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数， ‎ ‎∴=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立. ‎ ‎∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，=3x2≥0, ‎ 故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a≤0. ‎ ‎（2）解 由=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立. ‎ ‎∵-10,即e-ax(-ax2+2x)>0,得02时,f(x）在（1，2）上是减函数, ‎ ‎∴f（x）max=f（1）=e-a. ‎ ‎②当1≤≤2,即1≤a≤2时， ‎ f(x)在上是增函数，在上是减函数， ‎ ‎∴f(x)max=f=‎4a-2e-2. ‎ ‎③当>2时，即02时，f(x)的最大值为e-a. ‎ 变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R. ‎ 7‎ ‎（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；‎ ‎（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值. ‎ 解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x, ‎ f(2)=-2,=-3x2+4x-1, ‎ ‎-12+8-1=-5, ‎ ‎∴当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为 ‎ ‎5x+y-8=0. ‎ ‎（2）f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x, ‎ ‎=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a), ‎ 令=0,解得x=或x=a. ‎ 由于a≠0，以下分两种情况讨论. ‎ ‎①若a>0，当x变化时，的正负如下表： ‎ x ‎(-∞,)‎ ‎(,a)‎ a ‎(a,+∞)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎0‎ ‎↘‎ 因此，函数f(x)在x=处取得极小值f（）， ‎ 且f（）=- ‎ 函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0. ‎ ‎②若a<0，当x变化时，的正负如下表： ‎ x ‎(-∞,a)‎ a ‎(a,)‎ ‎(,+∞)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ ‎-‎ ‎↘‎ 因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0； ‎ 函数f(x)在x=处取得极大值f（）, ‎ 且f（）=-.‎ 例4. 某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去，试确定当存款利率定为多少时，银行可获取最大收益？‎ ‎［剖析］银行收益=贷款收益－存款利息，故可设出存款利率，将银行收益表示为利率的函数，利用导数求出函数的最值即可.‎ ‎［解］ 设存款利息为，则应用，依题意：存款量是 7‎ ‎，银行应支付的利息是，贷款的收益是，所以银行的收益是。‎ 由于，令，得或（舍去），又当时，；当时，，所以当时，取得最大值，即当存款利率定为时，银行可获得最大利润。‎ 变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).‎ ‎（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本） ‎ ‎（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ ‎ ‎（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？‎ 解：（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5 000(x∈N*，且1≤x≤20) ‎ MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275 (x∈N*,且1≤x≤19). ‎ ‎（2）=-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ‎ ‎∵x>0,∴=0时,x=12， ‎ ‎∴当00,当x>12时，<0, ‎ ‎∴x=12时，P(x)有最大值. ‎ 即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大. ‎ ‎（3）MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305. ‎ 所以，当x≥1时，MP(x)单调递减， ‎ 所以单调减区间为［1，19］，且x∈N*. ‎ MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.‎ ‎【小结归纳】‎ 研究可导函数的单调性、极值（最值）时，应先求出函数的导函数，再找出＝0的x取值或>0(<0)的x的取值范围．‎ ‎【课后作业】‎ ‎1.函数y=x2（x－3）的减区间是 ‎ ‎2.函数f（x）=ax2－b在（－∞，0）内是减函数，则a、b应满足 ‎ ‎3.已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］的增区间是 ‎ ‎4.在（a，b）内（x）>0是f（x）在（a，b）内单调递增的____ ____条件.‎ ‎5. 函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数 ‎ A.（,） B.（π,2π） C.（, ） D.（2π,3π）‎ ‎6.已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是 ‎ ‎7. 已知函数f（x）=x4－4x3+10x2，则方程f（x）=0在区间［1，2］上的根有 ‎ ‎8. 若函数y=－x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________.‎ ‎9．函数f（x）＝x＋2cosx在区间上的最大值为_____;在区间[0，2π]上最大值为_____． ‎ 7‎ ‎10．已知，奇函数在上单调，则字母应满足的条件是 。‎ ‎11.设f（x）=x3－－2x+5.‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当x∈［1，2］时，f（x）

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