2018届二轮复习 导数及其应用 学案( 江苏专用)

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2018届二轮复习 导数及其应用 学案( 江苏专用)

专题4:导数及其应用(两课时)‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1.(1)曲线y=x3上在点(-1,-1)的切线方程为 .‎ ‎(2)曲线y=x3-3x2+2x过点(0,0)的切线方程为 .‎ 答案:(1)y=3x+2.‎ ‎ (2)y=2x或y=-x.‎ 解析:(1)y ′=3x,则切线的斜率是3×(-1),再利用点斜式 ‎(2) y ′=3x-6x+2,设切点为(x,x3-3x2+2x),则切线的斜率为3x-6x+2.‎ 切线方程为y-(x3-3x2+2x)=(3x-6x+2)(x-x),(0,0)代入,得x的值,从而得到切线方程 ‎2.(1)函数f(x)=2x2-lnx的减区间为 .‎ ‎(2)函数f(x)=x3-ax2-4在(3,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围为 .‎ 答案:(1)(0,).(2)a≤.‎ 解析:(1)定义域为(0,+∞);求导,f ′(x)=4x-,令f ′(x)<0,解不等式 ‎(2) f(x)=x3-ax2-4在(3,+∞)上是增函数,则f ′(x)=x-2ax≥0对x∈(3,+∞)恒成立 ‎∴‎2a≤x,∴‎2a≤3‎ ‎3.求下列函数极值(或最值):‎ ‎ (1) f(x)=xlnx (2)f(x)=sinx-x,x∈[-,]‎ 答案:(1)当x=时,f(x)取极小值-.‎ ‎ (2)当x=-时,f(x)取最小值-.当x=时,f(x)取最大值-.‎ 解析:(1)f ′(x)=lnx+1,令f ′(x)=0,则x=,列表格得到单调性,求出极小值 ‎(2)f ′(x)=cosx-,令f ′(x)=0,则x=±,列表格得到单调性,求出极小值极大值 ‎4.已知函数f(x)=ax2-lnx-1(a∈R),求f(x)在[1,e]上的最小值.‎ 答案:当a≤时,f(x)在[1,e]上的最小值为f(e)=ae2-2.‎ ‎ 当<a<时,f(x)在[1,e]上的最小值为f()=(ln‎2a-1).‎ ‎ 当a≥时,f(x)在[1,e]上的最小值为f(1)=a-1.‎ 解析: 解:f ′(x)=2ax-=, 当a≤0时,f ′(x)<0,f(x)在[1,e]上为减函数,所以f(x)的最大值为f(1),最小值为f(e)=ae2-2. 当a>0时,令f(x)=0得2ax2=1,① 由①得x=, (1)若≤1,即a≥时,f ′(x)≥0,f(x)在[1,e]上为增函数, ∴最小值为f(1)=a-1‎ ‎(2)若1<<e,即<a<时,f(x)在(1,)上为减函数,在(,e)上为增函数, ∴当x=,函数f(x)取得极小值,同时也是最小值f()=(ln‎2a-1).‎ ‎(3)若≥e,即a≤时,f(x)在(1,e)上为减函数,最小值为f(e)=ae2-2.‎ 综上得:当a≤时,f(x)在[1,e]上的最小值为f(e)=ae2-2.‎ ‎ 当<a<时,f(x)在[1,e]上的最小值为f()=(ln‎2a-1).‎ ‎ 当a≥时,f(x)在[1,e]上的最小值为f(1)=a-1.‎ ‎5.若不等式ax2>lnx+1对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.‎ 答案:a> 解析:ax2>lnx+1∴a>,令f(x)=,只要a>f(x)max 解答:若不等式ax2>lnx+1对任意x∈(0,+∞)恒成立,‎ ‎∵f ′(x)=-,(x>0), 令f ′(x)=0得x=,易知当x∈(0,)时,f ′(x)>0;当x∈(,+∞)时,f ′(x)<0. 故f(x)在(0,]上递增,在(,+∞)上递减. 所以f(x)max=f()=. ‎ 故要使原不等式恒成立,只需a>, ‎ ‎6.已知f (x)=ax2,g(x)=lnx+1,若y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点,求实数a的取值范围.‎ 答案:(0,)‎ 解析:ax2=lnx+1有两个根,则ax2-lnx-1=0有两解。令f(x)=ax2-lnx-1,则f ′(x)=2ax-=, 当a≤0时,f ′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上为减函数,不合题意 当a>0时,令f ′(x)=0得2ax2=1,① 由①得x=,f(x)在(0,)上为减函数,在(,+∞)上为增函数, ∴当x=,函数f(x)取得极小值,同时也是最小值f()=(ln‎2a-1).‎ ‎∴只要(ln‎2a-1)<0,∴a∈(0,)‎ 二、方法联想 ‎1.切线方程 ‎ 涉及函数图象的切线问题,如果已知切点利用切点求切线;如果不知切点,则先设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件.‎ 注意 (1)“在”与“过”的区别:“在”表示该点为切点,“过”表示该点不一定为切点.‎ ‎(2)切点的三个作用:①求切线斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.‎ 变式1‎ 函数上一点处的切线方程为,求的值 答案:a=2,b=1‎ ‎(已知切线方程求参数)‎ 变式2‎ 题目:在平面直角坐标系中,直线与曲线和均相切,‎ 切点分别为和,则的值是 ‎ 答案 . ‎ 解析:由题设函数y=x2在A(x1,y1)处的切线方程为:y=2x1 x-x12,‎ 函数y=x3在B(x2,y2)处的切线方程为y=3 x22 x-2x23.‎ 所以,解之得:x1=,x2=.‎ 所以 =.‎ ‎(已知两曲线的公共切线,求切点)‎ 变式3‎ 曲线与曲线公切线(切线相同)的条数为 .‎ 答案:1‎ ‎(求两曲线的公切线条数)‎ 变式4‎ 已知函数,若过点存在3条直线与曲线相切,求的取值范围 答案:‎ 解:设切点坐标,切线斜率为,则有 ‎ 切线方程为:‎ 因为切线过,所以将代入直线方程可得:‎ ‎ ‎ 所以问题等价于方程,令 即直线与有三个不同交点 令解得 所以在单调递减,在单调递增 ‎ ‎ 所以若有三个交点,则 ‎ 所以当时,过点存在3条直线与曲线相切 ‎(已知公切线条数,研究参数的范围)‎ ‎2.函数单调性 ‎(1)如果在某个区间上f ′(x)>0,那么f(x)为该区间上的增函数;‎ 如果在某个区间上f ′(x)<0,那么f(x)为该区间上的减函数.‎ ‎(2)如果f(x)在某个区间为增函数,那么在该区间f ′(x)≥0;‎ 如果f(x)在某个区间为减函数,那么在该区间f ′(x)≤0.‎ 注意 求单调区间前优先求定义域;单调区间不能用“∪”,用“,”或“和”.‎ 变式1、已知f(x)=2ax--(2+a)ln x(a≥0).当a>0时,讨论f(x)的单调性.‎ 答案:f′(x)=‎2a+-(2+a)==.‎ ‎ ①当0<a<2时,f(x)在和上是增函数,在上是减函数;‎ ‎ ②当a=2时,f(x)在(0,+∞)上是增函数;‎ ‎ ③当a>2时,f(x)在和上是增函数,在上是减函数.‎ ‎(已知导数等于0的两个根,求单调性)‎ 变式2、若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数,则实数的取值范围_______________‎ 答案:‎ ‎(不单调,求参数的范围)‎ 变式3、定义在上的函数满足:则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为 .‎ 答案:‎ ‎(确定函数单调性)‎ ‎3.函数极值(或最值)‎ ‎①求函数的定义域;②求f ′(x)=0在区间内的根;③讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值.④将求得的极值与两端点处的函数值进行比较,得到最大值与最小值.‎ 变式1、已知函数f(x)的导函数f ′(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是_____.‎ 答案:(-1,0)‎ 解答:因为f(x)在x=a处取到极大值,所以x=a为f ′(x)的一个零点,且在x=a的左边f ′(x)>0,右边f ′(x)<0,所以导函数f ′(x)的开口向下,且a>-1,即a的取值范围是(-1,0).‎ ‎(已知极大(小)值点,求参数范围)‎ 变式2、已知函数f(x)=x3+ax2+x+2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(-1,1)内,则实数a的取值范围是______.‎ 答案 (,2)‎ 解答:由题意可知f′(x)=0的两个不同解都在区间(-1,1)内.因为f′(x)=3x2+2ax+1,‎ 所以根据导函数图象可又a>0,解得
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