2020届二轮复习(理)高难拉分攻坚特训(四)作业

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文档介绍

2020届二轮复习(理)高难拉分攻坚特训(四)作业

高难拉分攻坚特训(四)‎ ‎1.设数列{an}的前n项和为Sn,an+1+an=2n+1,且Sn=1350.若a2<2,则n的最大值为(  )‎ A.51 B.52 C.53 D.54‎ 答案 A 解析 因为an+1+an=2n+1      ①,‎ 所以an+2+an+1=2(n+1)+1=2n+3 ②,‎ ‎②-①得an+2-an=2,且a2n-1+a2n=2(2n-1)+1=4n-1,所以数列{an}的奇数项构成以a1为首项,2为公差的等差数列,数列{an}的偶数项构成以a2为首项,2为公差的等差数列,数列{a2n-1+a2n}是以4为公差的等差数列,‎ 所以Sn= 当n为偶数时,=1350,无解(因为50×51=2550,52×53=2756,所以接下来不会有相邻两数之积为2700).当n为奇数时,+(a1-1)=1350,a1=1351-,因为a2<2,所以3-a1<2,所以a1>1,所以1351->1,所以n(n+1)<2700,又n∈N*,51×52=2652,所以n≤51,故选A.‎ ‎2.底面为正多边形,顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥,则半径为2的球的内接正四棱锥的体积最大值为________.‎ 答案  解析 因为正四棱锥内接于球内,且欲使正四棱锥的体积最大,则球的球心在正四棱锥的高上,如图所示,其中球的球心为E点,设BC=a,则BO=a,‎ 在Rt△EOB中,则有EO2+OB2=EB2,故EO= ,正四棱锥的高为2+ ,正四棱锥的体积为V=×a2×,令x= ,x∈(0,2),则V(x)=×(8-2x2)×(2+x),即V(x)=×(-2x3-4x2+8x+16),对V(x)求导得,V′(‎ x)=×(-6x2-8x+8),令V′(x)=0,即-6x2-8x+8=0,解得x=或x=-2(舍去),当x∈时,V′(x)>0,V(x)单调递增,当x∈时,V′(x)<0,V(x)单调递减,故当x=时,V(x)max=.‎ ‎3.已知函数f(x)=函数y=f[f(x)+1]-m(m∈R)恰有两个零点x1和x2.‎ ‎(1)求函数f(x)的值域和实数m的最小值;‎ ‎(2)若x10时,f(x)=2>0.‎ ‎∴f(x)的值域为(0,+∞).‎ 令f[f(x)+1]=m,‎ ‎∵f(x)+1>1,∴f[f(x)+1]>2,∴m>2.‎ 又f(x)的单调递减区间为(-∞,0],单调递增区间为(0,+∞).‎ 设f(x)+1=t1,f(x)+1=t2,且t1<0,t2>1.‎ ‎∴f(x)=t1-1无解.‎ 从而f(x)=t2-1要有两个不同的根,应满足t2-1≥2,‎ ‎∴t2≥3.‎ ‎∴f(t2)=f[f(x)+1]≥2.即m≥2.‎ ‎∴m的最小值为2.‎ ‎(2)y=f[f(x)+1]-m有两个零点x1,x2且x11时,设g(t)=t2-t-2a.‎ 由g(2)=4-2-2a=2-2a<0,t→+∞时,g(t)→+∞.‎ ‎∴∃t0∈(2,+∞),使得g(t0)=0.‎ 且当t∈(2,t0)时,g(t)<0,t∈(t0,+∞)时,g(t)>0.‎ ‎∴当t∈(2,t0)时,h(t)单调递减,此时h(t)0的焦点,G,H是抛物线C上不同的两点,且|GF|+|HF|=3,线段GH的中点到x轴的距离为.点P(0,4),Q(0,8),曲线D上的点M满足·=0.‎ ‎(1)求抛物线C和曲线D的方程;‎ ‎(2)是否存在直线l:y=kx+m分别与抛物线C相交于点A,B(A在B的左侧)、与曲线D相交于点S,T(S在T的左侧),使得△OAT与△OBS的面积相等?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.‎ 解 (1)由抛物线定义知+=,‎ 得p=,‎ 故抛物线的方程为x2=y.‎ 由·=0得点M的轨迹D是以PQ为直径的圆,‎ 其方程为x2+(y-6)2=4.‎ ‎(2)由△OAT与△OBS的面积相等得|AT|=|BS|,‎ 则|AS|=|BT|,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),S(x3,y3),T(x4,y4),‎ 由=(x3-x1,y3-y1),=(x2-x4,y2-y4),‎ 且=得x3-x1=x2-x4,即x1+x2=x4+x3.‎ ‎(ⅰ)当直线l的斜率为0时,l的方程为y=m,此时只需点(0,m)在圆D 内即可,此时40,①‎ 且x1+x2=k.‎ 由方程组 得(1+k2)x2+2k(m-6)x+(m-6)2-4=0,‎ 直线l与圆D交于S,T两点,所以圆心D(0,6)到直线l的距离 d=0,∴-2
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