专题9-9+圆锥曲线的综合问题（测）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

专题9-9+圆锥曲线的综合问题（测）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

2018 年高考数学讲练测【浙江版】【测】第九章 解析几何 第九节 圆锥曲线的综合问题 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求 的．） 1.【2016 高考天津】已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的方程为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】由题意得 ，选 A. 2.【浙江省温州市 2017 届高三 8 月模拟】点 到图形 上所有点的距离的最小值称为点 到图形 的 距离，那么平面内到定圆 的距离与到圆 外的定点 的距离相等的点的轨迹是（　　） A．射线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】C. 3.【2017 届广东省广雅中学、江西省南昌二中高三下联考】自圆 ： 外一点 引该圆的一条切线，切点为 ，切线的长度等于点 到原点 的长，则点 轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得 ,所以 ，即 ，选 D. )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a x 52 02 =+ yx 14 2 2 =− yx 14 2 2 =− yx 15 3 20 3 22 =− yx 120 3 5 3 22 =− yx 2 215, 2, 1 12 4 1 b x yc a ba = = ⇒ = = ⇒ − = P C P C C C A 4.【2018 届黑龙江省海林市朝鲜中学高三高考综合卷（一）】已知两点 ， （ ），若曲线 上存在点 ，使得 ，则正实数 的取值范 围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 5.【2017 届江西省抚州市临川区第一中学高三 4 月模拟】已知 、 为单位圆上不重合的两个定点， 为此单位圆上的动点，若点 满足 ，则点 的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】D 【解析】设 ， ， ， ，设单位圆圆心为 ，则根据 可有： ，所以点 为 的重心，根据重心坐标公式有 ，整理得 ，所以点 的轨迹为圆，故选择 D. 6.【2017 届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下月考七】已知直线 上总存在点 ，使得过 点作的圆 ： 的两条切线互相垂直，则实数 的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】C ( ),0A a ( ),0B a− 0a > 2 2 2 3 2 3 0x y x y+ − − + = P 90APB∠ = ° a ( ]0,3 [ ]1,3 [ ]2,3 [ ]1,2 B C A P AP PB PC= +   P ( ),P x y ( )cos ,sinA θ θ ( )1 1,B x y ( )2 2,C x y O AP PB PC= +   0PA PB PC+ + =    P ABC∆ 1 2 1 2 cos 3{ sin 3 x xx y yy θ θ + += + += 2 2 1 2 1 2 1 3 3 9 x x y yx y + +   − + − =       P ( ) ( ): 2 1 4 4 0l m x m y m+ + − + − = M M C 2 2 2 4 3 0x y x y+ + − + = m 1m ≤ 2m ≥ 2 8m≤ ≤ 2 10m− ≤ ≤ 2m ≤ − 8m ≥ 【解析】 7.【2016 高考天津理数】已知双曲线 （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的 圆与双曲线的两条渐近线相交于 A、B、C、D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】根据对称性，不妨设 A 在第一象限， ，∴ ， ∴ ，故双曲线的方程为 ，故选 D. 8.【2017 届河北省石家庄市二模】已知动点 在椭圆 上，若点 的坐标为 ，点 满 足 ， ，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2 2 2 4 =1x y b − 22 44 3 =1yx − 22 34 4 =1yx − 2 2 2 4 =1x y b − 22 24 =11 x y− ( , )A x y 2 2 2 2 4 4 4 4 2 24 xx y b b by x y b  = + =  + ⇒ =  = ⋅  + 2 2 16 124 2 2 b bxy bb = ⋅ = ⇒ =+ 2 2 14 12 x y− = P 2 2 136 27 x y+ = A ( )3,0 M 1AM = 0PM AM⋅ =  PM 2 3 2 2 3 【解析】 ， 9.【2018 届广西钦州市高三上学期第一次检测】抛物线 的焦点为 ，点 为该抛物线上的动点， 点 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意可知，抛物线的准线方程为 x=﹣1，A（﹣1，0）， 过 P 作 PN 垂直直线 x=﹣1 于 N， 0PM AM PM AM⋅ = ∴ ⊥     由抛物线的定义可知 PF=PN，连结 PA，当 PA 是抛物线的切线时， 有最小值，则∠APN 最大，即 ∠PAF 最大，就是直线 PA 的斜率最大， 设在 PA 的方程为：y=k（x+1），所以 ， 解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0， 所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得 k=±1， 所以∠NPA=45°， =cos∠NPA= ． 故选 B． 10. 设圆 的圆心为 C，A（1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段 AQ 的垂直平 分线与 CQ 的连线交于点 ，则 的轨迹方程为 （ ） A、 B、 C、 D、 【答案】A 11.【2018 届云南省昆明一中高三第一次摸底】设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线 （ ）上任意一点， 是线段 上的点，且 ，则直线 的斜率的最大值为 （ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】由题意可得 ，设 ，则 ( )2 21 25x y+ + = M M 2 24 4 125 21 x y+ = 2 24 4 121 25 x y+ = 2 24 4 125 21 x y− = 2 24 4 121 25 x y− = O P F 2 2y px= 0p > M PF 2PM MF= OM 2 2 2 3 3 3 ,02 pF      2 0 0 0, ,( 0)2 yP y yp   >    ，可得 ．当且仅当 时取得等号，选 A. 12.【2017 届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考（五）】已知抛物线 的焦点为 ，准线为， 抛物线的对称轴与准线交于点 ， 为抛物线上的动点， ，当 最小时，点 恰好在以 为焦 点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 二、填空题 13.【2018 届海南省（海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学）等八校联考】已知 是抛物 线 的焦点，过 的直线 与直线 垂直，且直线 与抛物线 交于 ， 两 点，则 __________． 【答案】 【解析】 是抛物线 的焦点，∴ ，又过 的直线 与直线 垂直 ∴直线 的方程为： ，带入抛物线 ，易得： 设 ， ， 。 故答案为： ( ) 2 0 01 1 1 2 ,3 3 3 3 6 3 3 y ypOM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p  = + = + = + − = + = +              2 00 0 0 0 1 1 23 2226 3 2 k y py p y p p yp p y = = ≤ = ++ 0 02 y p p y = F 2: 16C y x= F l 3 1 0x y+ − = l C A B AB = 64 3 F 2: 16C y x= ( )4,0F F l 3 1 0x y+ − = l ( )y 3 4x= − 2: 16C y x= 23 40 48 0x x− + = ( )1 1A x y= ， ( )2 2B x y= ， 1 2 1 2 40 163x x x x+ = =， ( )2 1 2 1 2 641 3 4 3AB x x x x= + + − = 64 3 14.【2017 届山西省太原市高三三模】已知过点 的直线与 相交于点 ，过点 的直 线与 相交于点 ，若直线 与圆 相切，则直线 与 的交点 的轨迹方程为 __________. 【答案】 直线 CD 的方程为： ， 整理可得： 直线与圆相切，则： ， 据此可得： ， 由于： ， 两式相乘可得： 即直线 与 的交点 的轨迹方程为 . 15.已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，点 为其准线上的动点，若 为边长是 的等边三角形，则此抛物线方程为 . 【答案】 【解析】 为等边三角形， ，由抛物线的定义得 抛物线的准线，设 ， ( )2,0A − 2x = C ( )2,0B 2x = − D CD 2 2 4x y+ = AC BD M ( )2 2 1 04 x y y+ = ≠ ( )( )1 1 24 2y k k k x− = + − ( ) ( )1 2 1 22 0k k x y k k+ − + − = ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 k k k k − = − + 1 2 1 4k k = − ( ) ( )1 22 , 2y k x y k x= + = − ( )2 2 2 1 2 14 14y k k x x= − = − + AC BD M ( )2 2 1 04 x y y+ = ≠ 2 2 ( 0)y px p= > F P M FPM∆ 12 xy 122 = FPM∆ PMPF = ⊥PM       mp mP ,2 2 则点 ，焦点 ，由于 是等边三角形， ，得 ， 因此抛物线方程 . 16.【2017 届浙江省杭州高级中学高三 2 月模拟】设圆 与抛物线 相交于 两 点， 为抛物线的焦点，若过点 且斜率为 的直线与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次 为 ，则 的值__________ ，若直线 与抛物线相交于 两点，且与圆相 切，切点 在劣弧 上，则 的取值范是__________. 【答案】 【解析】如图所示，联立圆与抛物线的方程可得交点坐标为： ∵点 F 坐标为(0,1),∴kFB= ,∴kl>kFB，     − mpM ,2      0,2 pF FPM∆        =+     + =+ 1222 1222 2 2 2 mpp p p m    = = 6 1082 p m xy 122 = 2 2 12x y+ = 2 4x y= ,A B F F 1 1 2 3 4, , ,P P P P 1 2 3 4PP P P+ m ,M N D AB MF NF+ 5 2 2 4 3,22 +  ( ) ( )2 2,2 , 2 2,2A B− 2 4 ∴ ， 所以|P1P2|+|P3P4|的值等于 . 设直线 m 的方程为 y=k+b(b>0)， 代入抛物线方程得 x2−4kx−4b=0， 设点 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=4k， 则 y1+y2=k(x1+x2)+2b=4k2+2b， ∵直线 m 与该圆相切,∴ ,即 ， 又|MF|=y1+1,|NF|=y2+1， ∴ ， ∵ ,∴分别过 A. B 的圆的切线的斜率为 . ∴k∈[ ],∴0⩽k2⩽2,∴ ， ∵b>0,∴b∈[ ] 所以|MF|+|NF|的取值范围为 . 三、解答题 17. 已知抛物线 . （1）若直线 与抛物线 相交于 两点，求 弦长； （2）已知△ 的三个顶点在抛物线 上运动.若点 在坐标原点， 边过定点 ，点 在 上且 ，求点 的轨迹方程. ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 2 1 4 3 2 4 1 32 2 5 2PP P P x x x x x x x x   + = − + − = + − + =    5 2 2 12 1 b k = + 2 2 112 bk = − ( )22 1 2 12 4 2 2 3 53MF NF y y k b b+ = + + = + + = + − 2 2,2 2OA OBk k= − = 2, 2− 2, 2− 2 0 1 1212 b −  2 3,6 2 4 3,22 +  2: 4E x y= 1y x= + E ,P Q PQ ABC E A BC (0,2)N M BC 0AM BC⋅ =  M 【答案】（1） ；（2） （ ） . （注：用其他方法也相应给分） （2）设点 的坐标为 ，由 边所在的方程过定点 ， 所以 , 即 （ ） 18.【2018 届河南省师范大学附属中学高三 8 月开学】已知椭圆 的右焦点为 ， 为椭圆的上顶点， 为坐标原点，且 是等腰直角三角形. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线交椭圆于 两点，且使 为 的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在， 求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） 试题解析： （1）由△OMF 是等腰直角三角形得 b=1，a = 故椭圆方程为 8 2 2 2 0x y y+ − = 0y ≠ M ( , )x y BC (0,2)N  ( , )AM x y= ( ,2 )MN x y= − − 0AM BC⋅ =   0AM MN∴ ⋅ =  (2 ) 0x x y y− ⋅ + − = 2 2 2 0x y y+ − = 0y ≠ （2）假设存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点，且使 F 为△PQM 的垂心 设 P（ , ）,Q（ , ） 因为 M（0,1），F（1,0），故 ，故直线 l 的斜率 于是设直线 l 的方程为 由 得 由题意知△＞0，即 ＜3，且 由题意应有 ，又 故 解得 或 经检验，当 时，△PQM 不存在，故舍去 ； 当 时，所求直线 满足题意 综上，存在直线 l，且直线 l 的方程为 19.【江苏省苏州市 2017 届高三暑假自主测试】已知抛物线 C 的方程为 ，点 在抛 物线 C 上． （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 Q（1,1）作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A，B．若直线 AR,BR 分别交直线 于 M,N 两点，求线段 MN 最小时直线 AB 的方程． 2 2 ( 0)y px p= > (1,2)R : 2 2l y x= + 【答案】（1） （2） ，所以 ……5 分 设 ： ， 由 得 ，而 可得 ，同理 所以 ……8 分 令 ，则 2 4y x= 2 0x y+ − = 2 4 4( 1) 0y my m− + − = 1 2 1 24 , 4( 1)y y m y y m+ = = − AR 1( 1) 2y k x= − + 1( 1) 2 2 2 y k x y x = − +  = + 1 1 2M kx k = − 1 1 1 2 11 1 2 2 4 1 214 y yk yx y − −= = =− +− 1 2 Mx y = − 2 2 Nx y = − 2 1| | 5 | | 2 5 | 1|M N m mMN x x m − += − = − 1 ( 0)m t t− = ≠ 1m t= + 所以 此时 ， 所在直线方程为： ……10 分 20. 【2017 届宁夏石嘴山一中高三第二次模拟】已知椭圆 ： ，斜率为 的动直线 l 与椭圆 交于不同的两点 、 . （1）设 为弦 的中点，求动点 的轨迹方程； （2）设 、 为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆在第一象限上一点，满足 ，求 面积 的最大值. 【答案】（1） ， （2） 试题解析： 解：（Ⅰ）设 ， （1） （2） （1）-（2）得： ，即 又由中点在椭圆内部得 ， 所以 点的轨迹方程为 , （Ⅱ）由 ，得 点坐标为 ， 设直线的方程为 ，代入椭圆方程中整理得： ，由 得 则 ， 21 1 3| | 5 | | 2 5 ( ) 152 4M NMN x x t = − = + + ≥ 1m = − AB 2 0x y+ − = 所以 ，当 时， 21.【2018 届广东省汕头市金山中学高三上学期期中】在平面直角坐标系 中，设点 (1，0)，直线 : ，点 在直线 上移动， 是线段 与 轴的交点, 异于点 R 的点 Q 满足： ， . （1）求动点 的轨迹的方程； （2） 记 的轨迹的方程为 ，过点 作两条互相垂直的曲线 的弦 . ，设 . 的中点分别为 ． 问直线 是否经过某个定点？如果是，求出该定点， 如果不是，说明理由． 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)以直线 恒过定点 ． 试题解析：(Ⅰ)依题意知，直线 的方程为： ．点 是线段 的中点， 且 ⊥ ，∴ 是线段 的垂直平分线． ∴ 是点 到直线 的距离． xoy F l 1x = − P l R PF y RQ FP⊥ PQ l⊥ Q Q E F E AB CD AB CD M N， MN 2 4 ( 0)y x x= > MN R ( )3,0 l 1x = − R FP RQ FP RQ FP PQ Q l ∵点 在线段 的垂直平分线，∴ ． 故动点 的轨迹 是以 为焦点， 为准线的抛物线， 其方程为： ． (Ⅱ) 设 ， ， 由 AB⊥CD，且 AB、CD 与抛物线均有两个不同的交点，故直线 AB、CD 斜率均存在，设直线 AB 的方程为 则 （1）—（2）得 ，即 ， 代入方程 ，解得 ．所以点Ｍ的坐标为 ． 同理可得： 的坐标为 ． 直线 的斜率为 ，方程为 ，整理得 ， 显然，不论 为何值， 均满足方程，所以直线 恒过定点 ． 22.【2018 届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】设点 是 轴上的一个定点，其横坐标为 （ ），已知当 时，动圆 过点 且与直线 相切，记动圆 的圆心 的轨迹为 ． （Ⅰ）求曲线 的方程； （Ⅱ）当 时，若直线 与曲线 相切于点 （ ），且 与以定点 为圆心的动圆 Q FP PQ QF= Q E F l 2 4 ( 0)y x x= > ( ) ( ), , ,A A B BA x y B x y ( ) ( ), ,M M N NM x y N x y， ( )1y k x= − ( ) ( ) 2 2 4 1{ 4 2 A A B B y x y x = = 4 A By y k + = 2 My k = ( )1y k x= − 2 2 1Mx k = + 2 2 21,k k  +   N ( )22 1, 2k k+ − MN 21 M N MN M N y y kk x x k −= =− − ( )2 22 2 11 ky k x kk + = − −− ( ) ( )21 3y k k x− = − k ( )3,0 MN R ( )3,0 M x a a R∈ 1a = N M 1x = − N N C C 2a > l C ( )0 0,P x y 0 0y > l M M 也相切，当动圆 的面积最小时，证明： 、 两点的横坐标之差为定值． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析. 试题解析： （Ⅰ）因为圆 与直线 相切，所以点 到直线 的距离等于圆 的半径， 所以，点 到点 的距离与到直线 的距离相等. 所以，点 的轨迹为以点 为焦点，直线 为准线的抛物线， 所以圆心 的轨迹方程，即曲线 的方程为 ． （Ⅱ）由题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， 由 得 ， 又 ，所以 ， 因为直线 与曲线 相切，所以 ，解得 ． 所以，直线 的方程为 ．　 动圆 的半径即为点 到直线 的距离 . 当动圆 的面积最小时，即 最小，而当 时； . 当且仅当 ，即 时取等号， M M P 2 4y x= N 1x = − N 1x = − N N ( )1,0M 1x = − N ( )1,0M 1x = − N C 2 4y x= l l ( )0 0y y k x x− = − ( )0 0 2 ,{ 4 , y y k x x y x − = − = 2 0 0 04 k y y kx y− − + = 2 0 04y x= 2 2 0 0 04 4 k ky y y y− − + = l C 2 0 01 04 kk y y ∆ = − − + =   0 2k y = l 2 0 04 2 0x y y y− + = M ( ),0M a l 2 0 2 0 4 16 4 a y d y + = + M d 2a > 2 2 0 0 2 2 0 0 4 4 16 4 2 4 a y y ad y y + += = + + 2 0 2 0 4 4 4 2 4 y a y + + −= + 2 0 2 0 4 4 4 2 12 2 4 y a a y + −= + ≥ − + 2 0 4 8y a= − 0 2x a= − 所以当动圆 的面积最小时， ， 即当动圆 的面积最小时， 、 两点的横坐标之差为定值. M 0 2a x− = M M P