2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二上学期期中考试 数学（理） Word版

2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二上学期期中考试 数学（理） Word版

深圳市高级中学2018－2019学年第一学期期中测试 高二理科数学 命题人：范 铯 审题人：冯亚莉 本试卷由两部分组成。‎ 第一部分：高二数学第一学期前的基础知识和能力考查，共47分；‎ 选择题包含第3题、第4题、第5题、第7题、第11题共25分；‎ 填空题包含第14题、第15题共10分；‎ 解答题包含第19题共12分；‎ 第二部分：高二数学第一学期的基础知识和能力考查，共103分；‎ 选择题包含第1题、第2题、第6题、第8题、第9题、第10题、第12题共35分；‎ 填空题包含第13题、第16题共10分；‎ 解答题包含第17题、第18题、第20题、第21题、第22题，共58分。‎ 全卷共22题，共计150分。考试时间为120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。‎ ‎2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。‎ ‎3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。‎ 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1． 已知为实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 A． 　　　B． 　 C． 　　　D．‎ ‎3．已知向量 , 则 A．300 B．450 C． 600 D．1200‎ ‎4．已知实数，则的大小关系为 A． B． C． D．‎ ‎5．若变量满足约束条件 ，则的取值范围是 A． 　 　　B． 　 C． 　　　D．‎ ‎6．设直线与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数 的值是 A． B． C． D．‎ ‎7．函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称，则的 最小值是 A． B． C． D．‎ ‎8．已知在平行六面体中，过顶点A的三条棱所在直线两两夹角均为，且三条棱长均为1，则此平行六面体的对角线的长为 A． B． C． D．‎ ‎9．已知是双曲线的右焦点，若点 关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好 落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成的角的 余弦值为 A． B． C． D．‎ ‎11．在中，角的对边分别为，,且，则面积的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知是椭圆的右焦点，点在椭圆上，‎ 线段与圆相切于点(其中为椭圆的半焦距)，‎ 且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D．‎ 二．填空题：共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知三点，，共线，那么__________‎ ‎14．等差数列的公差为，若，，成等比数列，则数列的前项 __ ． ‎ ‎15．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，则 ‎= ‎ ‎16．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交拋物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点坐标为时， 为正三角形，则此时的面积为 ‎ __ ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示离心率的双曲线。若为真命题，为假命题，求实数的取值范围。‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且．‎ ‎（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，，求△ABC的面积S．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线，与椭圆有两个不同的交点和．‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ） 设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与 共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，， ，分别是的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明: ；‎ ‎（Ⅱ）设为线段上的动点，若线段长的 最小值为，求二面角的余弦值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知点是圆：上任意一点，点与圆心关于原点对称.线段的中垂线与 交于点.‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，若直线轴且与曲线交于另一点，直线与直线交于点，‎ 证明：点恒在曲线上，并求面积的最大值.‎ 深圳市高级中学2018－2019学年第一学期期中测试 高二理科数学 答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D A A C D B D C C B A 二．填空题： 13．1； 14． ； 15．； 16．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示离心率的双曲线。若为真命题，为假命题，求实数的取值范围。‎ 解：若命题为真命题，则：，解得：‎ 若命题为真命题，则：，解得：‎ 若为真命题，为假命题，则和有且只有1个为真命题。‎ 若为真命题，为假命题，则：，无解.‎ 若为假命题，为真命题，则：，解得：.‎ 综上所述，实数的取值范围为 ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.‎ ‎ 解：（1）取中点，连接、、，‎ ‎∵四边形是边长为的菱形，∴．‎ ‎∵，∴是等边三角形．‎ ‎∴，． ‎ ‎∵，∴．‎ ‎∵，∴．∴．‎ ‎∵，∴平面．‎ ‎∵平面，∴平面平面．‎ ‎（2）∵，∴．‎ 由（1）知，平面平面，∴平面，‎ ‎∴直线两两垂直．以为原点建立空间直角坐标系，如图，‎ 则．‎ ‎∴． ‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，取，得，‎ 设平面的法向量为，由，得，取，‎ 得， ……10分 ∴，‎ 由图可知二面角为锐二面角，∴二面角的的余弦值为． ‎ ‎19． （本小题满分12分）‎ 已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且．‎ ‎（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，，求△ABC的面积S．‎ 解：（Ⅰ）由正弦定理得：‎ 则 整理得，又 ‎∴，即 ‎（Ⅱ）由余弦定理可知，‎ 由（Ⅰ）可知,‎ 再由，解得，，‎ ‎∴‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线，与椭圆有两个不同的交点和．‎ ‎（I）求的取值范围；‎ ‎（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与 共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．‎ 解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．‎ 整理得　　　①‎ 直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，‎ 解得或．即的取值范围为．‎ ‎（Ⅱ）设，则，‎ 由方程①，．　　　②‎ 又．　　　　③‎ 而．‎ 所以与共线等价于，‎ 将②③代入上式，解得．‎ 由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，， ，分别是的中点．‎ ‎（1）证明: ；‎ ‎（2）设为线段上的动点，若线段长的 最小值为，求二面角的余弦值．‎ ‎（1）证明：底面为菱形，，‎ ‎ 三角形ABC为等边三角形 ‎ 是BC的中点 ‎ ，即.‎ ‎ 平面，平面 ‎ （2）‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知点是圆：上任意一点，点与圆心关于原点对称.线段的中垂线与 交于点.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点，若直线轴且与曲线交于另一点，直线与直线交于点，‎ 证明：点恒在曲线上，并求面积的最大值.‎ 解：（1）由题意得，点坐标为，因为为中垂线上的点，所以，‎ 又，所以，‎ 由椭圆的定义知动点的轨迹为椭圆，和为两个焦点，且，. ‎ 所以动点的轨迹方程：.‎ ‎（2）证明：设点坐标为，则点的坐标为，且，‎ 所以直线：，即，‎ 直线：，即；‎ 联立方程组，解得，，则：.‎ 所以点恒在椭圆上.‎ 设直线：，，，‎ 则，消去整理得，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 从而，‎ 令，则函数在上单调递增，故，‎ 所以，即当时，面积取得最大值，且最大值为.‎