江西省临川二中临川二中实验学校2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题

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临川二中、临川二中实验学校2019-2020学年度高三第三次月考数学试题（理）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1.已知为虚数单位,复数满足：，则在复平面上复数对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出并化简，从而确定复数对应的点的坐标为，进而判断其位于第四象限.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以复平面上复数对应的点为，位于第四象限，‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎2.已知全集，集合，,那么集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解析：因或，故，所以，应选答案D。‎ ‎3.已知向量，且，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再利用向量垂直的坐标表示得到关于的方程，从而求出. ‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为，则，解得 所以答案选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，属于基础题.‎ ‎4.下列判断正确的是（ ）‎ A. “若则”的逆否命题为真命题 B. ，总有 C. 二次函数在R上恒大于0的充要条件是 D. 已知扇形的弧长为1，半径为1，则该扇形的面积为1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题同真假，构造函数求导，二次函数判别式，弧长公式即可逐项判断 ‎【详解】对A, 若则,故原命题为假命题，则逆否命题为假命题，错误；‎ 对B, 设，则单调递增，则，正确；‎ 对C, 二次函数在R上恒大于0的充要条件是 ,错误 对D, 已知扇形的弧长为1，半径为1，则该扇形的圆心角为1，则面积为，错误 故选：B ‎【点睛】本题以命题的真假关系的判断为载体，主要考查了充分必要条件的判断，逆否命题及利用导数证明不等式等知识的综合应用，属于中档题．‎ ‎5.已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可设等差数列{an}的公差为d，从而据题意得出a1＝9，利用前项和求出d即可求解 ‎【详解】设等差数列{an}的公差为d，解得d＝-2；‎ ‎∴‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，是基本题型．‎ ‎6.已知锐角的终边与单位圆交于点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义，求出相应的三角函数值，利用二倍角的正弦公式，即可求出的值；‎ ‎【详解】锐角的终边上点P的纵坐标为，则横坐标为 则sin，cos，‎ 则＝2sinαcosα=‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查三角函数的定义及二倍角公式，考查学生的计算能力．‎ ‎7.若满足，且的最小值为，则实数的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出满足条件的平面区域，然后根据目标函数取最小值找出最优解，把最优解点代入目标函数即可求出的值。‎ ‎【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示：，由，解得：，‎ 由得：，显然直线过时，z最小，‎ ‎∴，解得：，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查简单的线性规划，已知目标函数最值求参数的问题，属于常考题型。‎ ‎8.函数在上的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的奇偶性，再求导求极值结合特殊值即可判断．‎ ‎【详解】‎ ‎∴‎ ‎∴f（x）偶函数，排除D ‎∵当x时，f（）1，排除B,‎ 又，当，排除C ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题．‎ ‎9.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.在堑堵 中，，当阳马 体积为时，堑堵的外接球的体积的最小值（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设AC＝x，BC＝y，由阳马B﹣A1ACC1体积，得到，结合基本不等式求得外接球半径由此能求出外接球体积．‎ ‎【详解】设AC＝x，BC＝y，由题意得x＞0，y＞0，又 体积为， ‎ 堑堵的外接球即以 为棱的长方体的外接球 故 ，当且仅当x＝y时，取等号，‎ ‎∴外接球的体积为 ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查锥体体积的求法，考查外接球问题，结合基本不等式求解是关键，注意空间思维能力的培养．‎ ‎10.设曲线为自然对数底数上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数a的取值范围为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得的导数，设为上的任一点，可得切线的斜率，求得的导数，设图象上一点可得切线的斜率为，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，分别求的值域A，的值域B，由题意可得，可得a的不等式，可得a的范围．‎ ‎【详解】的导数为，设为上的任一点，则过处的切线的斜率为，的导数为，过图象上一点处的切线的斜率为．‎ 由，可得，即，‎ 任意的，总存在使等式成立,则有的值域为，所以的值域为 由，即，，即，‎ 解得：，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎11.设双曲线 的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点M，N.若以MN为直径的圆经过点且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，运用双曲线的定义，求得|MN|＝4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的关系，即可得到所求离心率．‎ ‎【详解】若以MN为直径的圆经过右焦点F2，‎ 则，又|MF2|＝|NF2|，‎ 可得△MNF2为等腰直角三角形，‎ 设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，‎ 由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，‎ 两式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，‎ 即有m＝2a，‎ 在直角三角形HF1F2中可得 ‎4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，‎ 化为c2＝3a2，‎ 即e．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用等腰直角三角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎12.函数在上值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式可将函数解析式化简为，换元，由，可得出，于是将问题转化为二次函数在区间上的值域求解，利用二次函数的基本性质可得出结果.‎ ‎【详解】由，‎ 设，，则，可得，，二次函数图象的开口方向向上，对称轴为直线，‎ 所以，二次函数在区间上单调递增，‎ 当时，，当时，，‎ 因此，函数在上的值域为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的值域问题，同时也考查了二倍角余弦公式的应用，解题的关键就是将问题转化为二次函数在定区间上的值域问题求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. ______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用根式的运算及指数对数运算性质求解即可 ‎【详解】原式= ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查指对幂运算性质，是基础题 ‎14.______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数性质求，利用圆面积求再相加求解即可 ‎【详解】 为奇函数，故 表示圆的上半部分与x轴围成的面积，故，则 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查积分求值，考查函数奇偶性，考查积分几何意义，是基础题 ‎15.若A、B、C、D四人站成一排照相，A、B相邻的排法总数为，则二项式的展开式中含项的系数为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解析：由题设，所以，则由题设，所以项的系数为，应填答案。‎ ‎16.对于函数和，设，若对所有的都有，则称和互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出f（x）的零点为1，结合f（x）与g（x）互为“零点相邻函数”，得到|1﹣β|≤1，即0≤β≤2，条件转化为一元二次函数零点范围，结合一元二次函数的性质进行求解即可．‎ ‎【详解】由f （x）＝x﹣1＝0得x＝1，且f （x）单调递增，则函数f（x）的唯一零点为1，‎ 若f （x）＝x﹣1与g（x）＝x2﹣ax﹣a+3互为“零点相邻函数”，‎ 设β是g（x）的零点，则满足|1﹣β|≤1，得0≤β≤2，‎ 即函数g（x）的零点满足条件0≤β≤2，‎ ‎∵g（﹣1）＝1+a﹣a+3＝4＞0，‎ ‎∴要使g（x）的零点在[0，2]上，‎ 则满足，即，得，得2≤a，‎ 即实数a的取值范围是[2，]，‎ 故答案为：[2，]‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合零点定义求出满足条件的根的范围，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.已知数列的前n项和为，且.‎ ‎(1) 证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎(2) 记，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1) 证明见解析，； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用数列的递推式：n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，计算可得an＝2an﹣1+1，即an+1＝2（an﹣1+1），‎ 由等比数列的定义和通项公式可得所求；‎ ‎（2），运用错位相减法求和即可 ‎【详解】（1）证明：（n∈N*），‎ 可得n＝1时，a1＝S1+1＝2a1，‎ 即a1＝1，‎ 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，‎ Sn+n＝2an，Sn﹣1+n﹣1＝2an﹣1，‎ 相减可得an+1＝2an﹣2an﹣1，‎ 可得an＝2an﹣1+1，即an+1＝2（an﹣1+1），‎ 则数列{an+1}为首项为2，公比为2的等比数列，‎ 可得an+1＝2n，即an＝2n﹣1；‎ ‎（2）‎ 前n项和为Tn＝①‎ ‎2Tn＝②‎ ‎① ②相减可得﹣Tn＝2+2(22+…+2n)﹣= ‎ 化简可得 ‎【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查错位相减法求和和不等式的解，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎18.已知向量，函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图像经过点，成等差数列，且，求a的值．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）利用向量的数量积和二倍角公式化简得，故可求其周期与单调性；‎ ‎（Ⅱ）根据图像过得到，故可求得的大小，再根据数量积得到的乘积，最后结合余弦定理和构建关于的方程即可．‎ 解：（Ⅰ），‎ 最小正周期：，‎ 由得，‎ 所以的单调递增区间为；‎ ‎（Ⅱ）由可得：，‎ 所以．‎ 又因为成等差数列，所以 而，‎ ‎．‎ 点睛：（1）形如的性质的讨论，可以用倍角公式和辅助角公式将其变形为的形式．‎ ‎（2）三角形共有7个几何量，往往知道其中3个（除三个角外），就可以求其余的4个量．‎ ‎19.如图1，在中，是边的中点，现把沿折成如图2所示的三棱锥，使得．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面夹角的余弦值．‎ ‎【答案】(1详见解析，(2) ‎ ‎【解析】‎ 试题解析： （1）在图1中，取的中点，连接交于，则，‎ 在图2中，取的中点，连接，，因为，‎ 所以，且， ‎ 在中，由余弦定理有，‎ 所以，所以． ‎ 又，所以平面，‎ 又平面，所以平面平面 ‎ ‎（2）因为平面，且，故可如图建立空间直角坐标系，则 ‎，‎ ‎， ‎ 设平面的法向量为，则由得；‎ 同理可求得平面的法向量为， ‎ 故所求角的余弦值.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，焦点分别为，点P是椭圆C上的点，面积的最大值是2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆C交于M，N两点，点D是椭圆C上的点，O是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意得到的方程组，求出的值，即可得出椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，易求出四边形的面积；当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立直线与椭圆方程，结合判别式和韦达定理，可表示出弦长，再求出点到直线的距离，根据和点在曲线上，求出的关系式，‎ 最后根据，即可得出结果.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由解得 得椭圆的方程为. ‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为．‎ 当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程 ‎ ‎ ‎， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点到直线的距离是 ‎ 由得 因为点在曲线上，所以有整理得 ‎ 由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为 ‎ ‎ 由得, 故四边形的面积是定值，其定值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及椭圆中的定值问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，计算量较大，属于常考题型.‎ ‎21.设函数，‎ ‎(1) 若，求函数的单调区间；‎ ‎(2) 若函数有两个零点，求实数a取值范围.‎ ‎【答案】（1）函数的增区间为（0，1），减区间为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，判断正负求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）求, 讨论的单调性进而确定函数的零点个数即可求解 ‎【详解】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），‎ 若,,故 ‎ 当 则函数的增区间为（0，1），减区间为；‎ ‎（2）,且 ‎ ‎ 当 则）,则至多有一个零点，不合题意；‎ 当，当，‎ ‎① 当即时，故在 单调递增，在 上单调递减，则 ，又又 ，则 ‎ 则 则在上单调递增，在单调递减，在单调递增，又，则若函数有两个零点，只需，综上 ；‎ ‎② 当即时，故在 单调递增，在 上单调递减，则 ，又又 ，则 ‎ 则 则在上单调递增，在单调递减，在单调递增，又，则函数必有两个零点，故，‎ ‎③当，即时，，，易得的极大值也就是最大值为，则，由，函数有唯一零点1‎ ‎，不合题意 综上实数a的取值范围.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．‎ ‎（二）选考题：共10分.(请考生在22、23两题中选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分)‎ 选修4 - 4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点,轴的非负半轴建立极坐标系,点的极坐标，曲线的极坐标方程为．‎ ‎(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)若为曲线上的动点,求中点到直线的距离最小值．‎ ‎【答案】(1),；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用加减消元法消参可以求出直线的普通方程.利用极坐标与直角坐标之间的转化公式可以求出曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)求出的直角坐标,利用曲线的参数方程设出点的坐标,利用中点坐标公式,求出的坐标,利用点到直线距离公式求出到直线的距离,利用辅助角公式,根据正弦型函数的单调性可以求出中点到直线的距离最小值．‎ ‎【详解】(1)直线的普通方程,‎ 由,‎ ‎,‎ 即,‎ 曲线的直角坐标方程为；‎ ‎(2)易知的直角坐标，设,‎ 则的中点,‎ 设到直线的距离为,‎ 则,‎ 当时,.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,考查了中点坐标公式,考查了点到直线距离公式,考查了圆的参数方程的应用,考查了数学运算能力.‎ 选修4 - 5：不等式选讲 ‎23.已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若函数的最小值为c，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，得|x|+|2x﹣4|≤3，对x分类讨论即可得出．‎ ‎（2）分类讨论得f（x）的最小值，利用柯西不等式求的范围 详解】（1）由得|x|+|2x﹣4|≤3，‎ 当x＜0时，0即﹣x+4﹣2x≤3，无解；‎ 当0≤x≤2时，即x+4﹣2x≤3，解得1≤x≤2；‎ 当x＞2时，即x+2x﹣4≤3，解得2＜x≤ ．‎ 综上得的解集为 ‎（2）由（1），则函数最小值为 ‎ 故，‎ 当且仅当等号成立 ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、柯西不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎ ‎