数学卷·2018届重庆市沙坪坝区南开中学高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届重庆市沙坪坝区南开中学高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）‎ ‎1．双曲线的渐近线方程是（　　）‎ A．y=±x B． C． D．‎ ‎2．命题“∀x∈R，均有x2+sinx+1＜0”的否定为（　　）‎ A．∀∈R，均有x2+sinx+1≥0 B．∃x∈R，使得x2+sinx+1＜0‎ C．∃x∈R，使得x2+sinx+1≥0 D．∀x∈R，均有x2+sinx+1＞0‎ ‎3．椭圆+=1的左顶点到右焦点的距离为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎4．“方程+=1表示焦点在x轴的椭圆”是“﹣1＜n＜2”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知点P（﹣1，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，其焦点为F，则直线PF的斜率是（　　）‎ A． B． C．﹣2 D．‎ ‎6．直线l：y=kx与双曲线C：x2﹣y2=2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B． C．（﹣1，1） D．[﹣1，1]‎ ‎7．已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，若M（3，），则|PM|+|PF|的最小值是（　　）‎ A． B．6 C． D．‎ ‎8．中心在原点的椭圆长轴右顶点为（2，0），直线y=x﹣1与椭圆相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此椭圆标准方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知圆台的下底面周长是上底面周长的3倍，母线长为3，且圆台的侧面积为12π，则该圆台的体积为（　　）‎ A． B．13π C． D．‎ ‎10．平行四边形ABCD的顶点A为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的中心，顶点B为双曲线的右焦点，顶点C在y轴正半轴上，顶点D恰好在该双曲线左支上，若∠ABC=45°，则此双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆于A，B两点．若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离等于，则椭圆焦距是（　　）‎ A．2 B． C．2 D．4‎ ‎12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，过左焦点F1（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长F1E交抛物线y2=4cx于P，Q两点，则|PE|+|QE|的值为（　　）‎ A． B．10a C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.‎ ‎13．抛物线x2=﹣2y的准线方程为　　．‎ ‎14．已知正四棱锥V﹣ABCD的底面边长为4，侧棱长为，则它的表面积为　　．‎ ‎15．椭圆与双曲线有相同的焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则3e12+e22的最小值为　　．‎ ‎16．如图，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=3|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）‎ ‎17．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+4=0．‎ ‎（1）求圆C的圆心坐标和半径；‎ ‎（2）直线l过点A（4，0）、B（0，2），求直线l被圆C截得的弦长．‎ ‎18．设命题p：不等式x﹣x2≤a对∀x≥1恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣ax+1=0在R上有解．‎ ‎（1）若¬p为假命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎19．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0）．‎ ‎（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；‎ ‎（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为﹣，求双曲线的离心率．‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=5．‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）过椭圆右焦点F作斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为椭圆上一动点，求△PAB面积的最大值．‎ ‎21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（1，0），A，B是抛物线上位于x轴两侧的两动点，且•=﹣4（O为坐标原点）．‎ ‎（1）求抛物线方程；‎ ‎（2）证明：直线AB过定点T；‎ ‎（3）过点T作AB的垂线交抛物线于M，N两点，求四边形AMBN的面积的最小值．‎ ‎22．如图，椭圆C： +=1（0＜b＜3）的右焦点为F，P为椭圆上一动点，连接PF交椭圆于Q点，且|PQ|的最小值为．‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）若=，求直线PQ的方程；‎ ‎（3）M，N为椭圆上关于x轴对称的两点，直线PM，PN分别与x轴交于R，S，求证：|OR|•|OS|为定值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）‎ ‎1．双曲线的渐近线方程是（　　）‎ A．y=±x B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的a，b结合双曲线的渐近线方程进行求解即可．‎ ‎【解答】解：由双曲线的方程得a2=1，b2=3，‎ 即a=1，b=，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，‎ 法2，令1为0，则由x2﹣=0，得y2=3x2，‎ 即y=±x，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．命题“∀x∈R，均有x2+sinx+1＜0”的否定为（　　）‎ A．∀∈R，均有x2+sinx+1≥0 B．∃x∈R，使得x2+sinx+1＜0‎ C．∃x∈R，使得x2+sinx+1≥0 D．∀x∈R，均有x2+sinx+1＞0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以，命题“∀x∈R，均有x2+sinx+1＜0”的否定为：∃x∈R，使得x2+sinx+1≥0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．椭圆+=1的左顶点到右焦点的距离为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆方程求出a，b，c，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：椭圆+=1，可得a=4，b=2，c=2，‎ 椭圆+=1的左顶点到右焦点的距离为：a+c=6．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．“方程+=1表示焦点在x轴的椭圆”是“﹣1＜n＜2”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据椭圆的定义以及集合的包含关系判断即可．‎ ‎【解答】解：∵方程+=1表示焦点在x轴的椭圆，‎ ‎∴，‎ 解得﹣1＜n＜，‎ ‎∴方程+=1表示焦点在x轴的椭圆”是“﹣1＜n＜2”的充分不必要条件，‎ 故选：A ‎　‎ ‎5．已知点P（﹣1，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，其焦点为F，则直线PF的斜率是（　　）‎ A． B． C．﹣2 D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求出抛物线方程，得到焦点坐标，然后求解直线的斜率即可．‎ ‎【解答】解：点P（﹣1，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，可得p=2，‎ 抛物线方程为：y2=4x；焦点坐标（1，0），‎ 直线PF的斜率是： =﹣．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．直线l：y=kx与双曲线C：x2﹣y2=2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B． C．（﹣1，1） D．[﹣1，1]‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线方程，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=2的渐近线方程为：y=±x，‎ 直线l：y=kx与双曲线C：x2﹣y2=2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（﹣1，1）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，若M（3，），则|PM|+|PF|的最小值是（　　）‎ A． B．6 C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，可得|PM|+|PF|=|PM|+P到准线的距离≤M到准线的距离，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，‎ ‎∴|PM|+|PF|=|PM|+P到准线的距离≤M到准线的距离=3+=．‎ ‎∴|PM|+|PF|的最小值是，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．中心在原点的椭圆长轴右顶点为（2，0），直线y=x﹣1与椭圆相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此椭圆标准方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先设出椭圆的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN的中点的横坐标为，即得椭椭圆标准方程．‎ ‎【解答】解　设椭圆方程为=1（a＞b＞0），依题意a=2，‎ ‎∴椭圆方程可以化为，‎ 把直线y=x﹣1代入得（4+b2）x2﹣8x+4﹣4b2=0．‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，‎ ‎∵MN的中点的横坐标为，‎ ‎∴，解得b2=2．‎ ‎∴椭圆的标准方程是：．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．已知圆台的下底面周长是上底面周长的3倍，母线长为3，且圆台的侧面积为12π，则该圆台的体积为（　　）‎ A． B．13π C． D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】依题意设设圆台上、底面半径分别为r、3r，由 π（r+3r）•3=12π，解得：r=1，从而求出该圆台的高，由此能示出该圆台的体积．‎ ‎【解答】解：依题意设设圆台上、底面半径分别为r、3r，‎ ‎∵圆台的侧面积为12π，‎ ‎∴π（r+3r）•3=12π，解得：r=1，‎ ‎∴该圆台的高h==，‎ ‎∴该圆台的体积为V=π××（32+3×1+12）=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．平行四边形ABCD的顶点A为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的中心，顶点B为双曲线的右焦点，顶点C在y轴正半轴上，顶点D恰好在该双曲线左支上，若∠ABC=45°，则此双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可知：求得D点坐标，代入双曲线方程，整理得：c4﹣3a2c2+a4=0，同除以a4，由e＞1，即可求得双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意可知：B（c，0），由tan∠ABC==1，即丨AC丨=丨BC丨=c，‎ 由平行四边形的性质可知：丨CD丨=丨AB丨=c，‎ 则D点坐标为：D（﹣c，c），‎ 代入双曲线方程可知：，‎ 由c2=a2+b2，整理得：c4﹣3a2c2+a4=0，同除以a4，‎ 由e=，‎ ‎∴e4﹣3e2+1=0，解得：e2=，‎ 由e2＞0，则e2=，‎ 由e＞1，‎ ‎∴e==，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆于A，B两点．若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离等于，则椭圆焦距是（　　）‎ A．2 B． C．2 D．4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．解得a=2，取M（0，b），由点M到直线l的距离，得到b=1，由a，b，c的关系可得c，进而得到焦距2c．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，‎ 则四边形AFBF′是平行四边形，‎ 可得|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a=4，解得a=2．‎ 取M（0，b），可得点M到直线l的距离，‎ 即有=，解得b=1，‎ c==，‎ 则焦距为2c=2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，过左焦点F1（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长F1E交抛物线y2=4cx于P，Q两点，则|PE|+|QE|的值为（　　）‎ A． B．10a C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出E，P，Q的坐标，利用距离公式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设直线的倾斜角为α，则由题意=，∴sinα=，‎ ‎∴tanα=，‎ 切线方程为y=（x+c），代入y2=4cx，‎ 可得x2﹣6cx+c2=0，∴x=（3±2）c，‎ ‎∴P（（3+2）c，（2+2）c），‎ Q（（3﹣2）c，（2﹣2）c），‎ 直线OE与PE的方程分别为y=﹣x与y=（x+c），‎ 联立可得E（﹣c， c），‎ ‎∴|PE|+|QE|=c+c=（+2）c+（﹣2）c=c=10a，‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.‎ ‎13．抛物线x2=﹣2y的准线方程为　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用抛物线方程求解即可．‎ ‎【解答】解：抛物线x2=﹣2y的焦点在y轴上，p=1，开口向上，抛物线x2=﹣2y的准线方程为：；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知正四棱锥V﹣ABCD的底面边长为4，侧棱长为，则它的表面积为　40　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】求出正四棱锥V﹣ABCD的斜高为=3，即可求出正四棱锥V﹣ABCD的表面积．‎ ‎【解答】解：由题意，正四棱锥V﹣ABCD的斜高为=3，‎ ‎∴正四棱锥V﹣ABCD的表面积为=40，‎ 故答案为40．‎ ‎　‎ ‎15．椭圆与双曲线有相同的焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则3e12+e22的最小值为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设椭圆的长轴为2a，短轴为2b；双曲线的实轴为2a'，虚轴为2b'．由椭圆、双曲线的基本概念，结合直线平行的条件，建立关系式化简可得=，即（）2=（）2，可得e1•e2=1．由此结合基本不等式性质可知：3e12+e22＞2=2，即可求得3e12+e22的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，‎ 设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，双曲线的实轴为2a'，虚轴为2b'，‎ ‎∵椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行，‎ ‎∴=，即=，‎ 平方可得： =，由此得到=即=，‎ ‎∴（）2=（）2，‎ 由e1=，e2=，‎ ‎∴e1•e2=1，‎ ‎∵e1、e2都是正数，‎ ‎∴3e12+e22＞2=2，‎ 当且仅当3e12=e22，即e2=e1，e1=，e2=时，等号成立，‎ ‎∴3e12+e22的最小值，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．如图，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=3|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为　2　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】如图所示，F（，0），|由于AB∥x轴，|CF|=3|AF|，|AB|=|AF|，可得|CF|=3|AB|=3p，|CE|=3|BE|．利用抛物线的定义可得xA，代入可取yA，再利用S△ACE=3，即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，F（，0），|CF|=3p．‎ ‎∵AB∥x轴，|CF|=3|AF|，|AB|=|AF|，‎ ‎∴|CF|=3|AB|=3p，|CE|=3|BE|．‎ ‎∴xA+=p，解得xA=，‎ 代入可取yA=p，‎ ‎∴S△ACE=S△ABC==3‎ 解得p=2．‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）‎ ‎17．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+4=0．‎ ‎（1）求圆C的圆心坐标和半径；‎ ‎（2）直线l过点A（4，0）、B（0，2），求直线l被圆C截得的弦长．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）圆的方程化为标准方程，即可求圆C的圆心坐标和半径；‎ ‎（2）求出直线l的方程，圆心到直线的距离，即可求直线l被圆C截得的弦长．‎ ‎【解答】解：（1）圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，圆心坐标为（2，2），半径为r=2‎ ‎（2）直线即x+2y﹣4=0，圆心（2，2）到直线l的距离，‎ 所以弦长=．‎ ‎　‎ ‎18．设命题p：不等式x﹣x2≤a对∀x≥1恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣ax+1=0在R上有解．‎ ‎（1）若¬p为假命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（1）若¬p为假命题，则p为真命题，进而可得实数a的取值范围；‎ ‎（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p真q假，或者p假q真，进而可得实数a的取值范围；‎ ‎【解答】解：（1）∵￢p为假命题，‎ ‎∴命题p为真命题；‎ ‎∵x﹣x2在x∈[1，+∞）单调递减，‎ ‎∴x﹣x2的最大值为0，‎ 故a≥0；‎ ‎（2）命题q：△=a2﹣4≥0，‎ ‎∴a≥2或a≤﹣2，‎ ‎“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，等价于p真q假，或者p假q真，‎ 则或，‎ ‎∴实数a的取值范围为a≤﹣2或0≤a＜2．‎ ‎　‎ ‎19．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0）．‎ ‎（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；‎ ‎（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为﹣，求双曲线的离心率．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程；圆的切线方程；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）根据双曲线的一条渐近线方程为y=x，可得=1，解得a=b，结合c==2算出a=b=，可得该双曲线方程；‎ ‎（2）设A（m，n），根据切线垂直于过切点的半径算出m=．而以点O为圆心，c为半径的圆方程为x2+y2=c2，将A的坐标代入圆方程，算出点A（c， c），将此代入双曲线方程，并结合c2=a2+b2化简整理得c4﹣2c2a2+a4=0，再根据离心率公式整理得3e4﹣8e2+4=0，解之即可得到该双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：（1）∵双曲线的渐近线方程为y=‎ ‎∴若双曲线的一条渐近线方程为y=x，可得=1，解之得a=b ‎∵c==2，∴a=b=‎ 由此可得双曲线方程为；‎ ‎（2）设A的坐标为（m，n），可得直线AO的斜率满足k==，即m=…①‎ ‎∵以点O为圆心，c为半径的圆方程为x2+y2=c2‎ ‎∴将①代入圆方程，得3n2+n2=c2，解得n=c，m=c 将点A（c， c）代入双曲线方程，得 化简得： c2b2﹣c2a2=a2b2，‎ ‎∵c2=a2+b2‎ ‎∴b2=c2﹣a2代入上式，化简整理得c4﹣2c2a2+a4=0‎ 两边都除以a4，整理得3e4﹣8e2+4=0，解之得e2=或e2=2‎ ‎∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e=（舍负）‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=5．‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）过椭圆右焦点F作斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为椭圆上一动点，求△PAB面积的最大值．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=5，构造方程组，从而求得椭圆C的标准方程．‎ ‎（2）设直线l的方程与椭圆C联立，A（x1，y1），B（x2，y2），利用弦长公式求出AB，P到AB的距离，然后求解三角形的面积，求出最大值即可．‎ ‎【解答】解：（1），从而b2=4所以椭圆方程为 ‎（2）右焦点F（1，0），则直线l：y=x﹣1与椭圆联立得：9x2﹣10x﹣15=0‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则弦，‎ 设到直线，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（1，0），A，B是抛物线上位于x轴两侧的两动点，且•=﹣4（O为坐标原点）．‎ ‎（1）求抛物线方程；‎ ‎（2）证明：直线AB过定点T；‎ ‎（3）过点T作AB的垂线交抛物线于M，N两点，求四边形AMBN的面积的最小值．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．‎ ‎【分析】（1）求出p即可求解抛物线方程．‎ ‎（2）设lAB：x=my+t与抛物线y2=4x联系得：y2﹣4my﹣4t=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及判别式通过得lAB：x=my+2，得到直线AB过定点T（2，0）．‎ 法2：设，，由，求解直线方程，然后求解定点坐标．‎ ‎（3）当t=2时，由（*）得弦长|AB|，求出|MN|，表示三角形的面积，利用函数的单调性，求解三角形面积的最值．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（1，0），可得p=2，‎ 抛物线方程为y2=4x ‎（2）证明：设lAB：x=my+t与抛物线y2=4x联系得：y2﹣4my﹣4t=0‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则（*）‎ ‎∴，由得：x1x2+y1y2=﹣4即t2﹣4t+4=0，‎ ‎∴t=2，∴lAB：x=my+2，故直线AB过定点T（2，0）‎ 法2：设，，由∴，‎ 又有，‎ ‎∴，‎ 令y=0得，‎ 所以直线AB过定点T（2，0）‎ ‎（3）当t=2时，由（*）得：，‎ 同理有，从而，‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=，‎ 令，‎ 则：，‎ 易知（2+u）（5+2u）随着u增加单调递增，‎ 故当u=2即m2=1时∴min=48．‎ ‎　‎ ‎22．如图，椭圆C： +=1（0＜b＜3）的右焦点为F，P为椭圆上一动点，连接PF交椭圆于Q点，且|PQ|的最小值为．‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）若=，求直线PQ的方程；‎ ‎（3）M，N为椭圆上关于x轴对称的两点，直线PM，PN分别与x轴交于R，S，求证：|OR|•|OS|为定值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】（1）利用椭圆的简单性质，结合已知条件求出a，b，得到椭圆方程．‎ ‎（2）设与4x2+9y2=36联立，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理以及判别式，通过求出m，然后求解直线方程．‎ ‎（3）设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），则，令y=0得同理，通过化简|OR|•|OS|，结合点的坐标满足椭圆方程，化简求解|OR|•|OS|=9．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，且a=3，∴b2=4，故椭圆方程为 ‎（2）设与4x2+9y2=36联立，‎ 得：‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则 由得y1=﹣2y2，‎ 即，‎ ‎∴；‎ ‎（3）证明：设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），则，‎ 令y=0得，同理，‎ 得，‎ ‎∴|OR|•|OS|=（#）‎ 又，∴，∴代入（#）‎ 得：∴|OR|•|OS|=9．‎ ‎　‎