高一数学必修4平面向量知识点与练习(含答案)

高一数学必修4平面向量知识点与练习(含答案)

3. 平 面 向 量 知识网络结构 向量的运算 几何方法 坐标方法 运算性质 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 减法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 , 数 乘 向 量 1. 是一个向量, 满足: 2. >0 时, 同向; <0 时, 异向; =0 时, . 向 量 的 数 量 积 是一个数 1. 或 时, 2. . 或 时, 1.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a； 坐标表示法 a=xi+yj=(x,y) 1 2 1 2( , )a b x x y y+ = + +  a b b a+ = +    ( ) ( )a b c a b c+ + = + +      ACBCAB =+ 1 2 1 2( , )a b x x y y− = − −  ( )a b a b− = + −    AB BA= −  ABOAOB =− aλ | | | || |a aλ λ=  λ a aλ 与 λ a aλ 与 λ 0aλ =  ( , )a x yλ λ λ= ( ) ( )a aλ µ λµ=  ( )a a aλ µ λ µ+ = +   ( )a b a bλ λ λ+ = +    //a b a bλ⇔ =    1 2 1 2a b x x y y• = +  a b b a• = •    ( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ• = • = •      ( )a b c a c b c+ • = • + •       2 2 2 2| | | |=a a a x y= +  即 | | | || |a b a b• ≤    AB a b⋅  0a = 0b = 0a b⋅ =  0a ≠ 0b ≠ | || | cos ,a b a b a b⋅ = < >    (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. (4)特殊的向量：零向量 a＝O ｜a｜＝O.单位向量 aO 为单位向量 ｜aO｜＝1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同：(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2） (6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0 (7)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b. 2.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实 数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2. (2)两个向量平行的充要条件: a∥b a＝λb(b≠0) x1y2－x2y1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件: a⊥b a·b＝O x1x2＋y1y2＝O. (4)线段的定比分点公式: 设点 P 分有向线段 所成的比为λ，即 ＝λ ，则 ＝ ＋ (线段的定比分点的向量公式) (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1 时，得中点公式： ＝ （ ＋ ）或 (5)平移公式: 设点 P(x，y)按向量 a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点 P′（x′，y′）， 则 ＝ +a 或 曲线 y＝f（x）按向量 a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y－ｋ＝f（x－ｈ) (6)正弦定理： 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC. （7）三角形面积计算公式： 设△ABC 的三边为 a，b，c，其高分别为 ha，hb，hc，半周长为 P，外接圆、内切圆的半径为 R，r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= [海伦公式] ⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb [注]：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心. 如图： ⇔ ⇔    = =⇔ 21 21 yy xx ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 21PP PP1 2PP OP λ+1 1 1OP λ+1 1 2OP       + += + += .1 ,1 21 21 λ λ λ λ yyy xxx OP 2 1 1OP 2OP      += += .2 ,2 21 21 yyy xxx PO ′ OP    +=′ +=′ . , kyy hxx .2sinsinsin RC c B b A a === ( )( )( )cPbPaPP −−− 图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心， S△=Pr 图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra 附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. ⑻△ABC 的判定： △ABC 为直角△ ∠A + ∠B = ＜ △ABC 为钝角△ ∠A + ∠B＜ ＞ △ABC 为锐角△ ∠A + ∠B＞ 附：证明： ，得在钝角△ABC 中， ⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和. 二。例题。 例 1。已知 A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）。设 且 ； （1）求 ；职 （2）求满足 的实数 m,n 的值； （3）求 M，N 的坐标及向量 ； 例 2。已知 互相垂直， 则 k？ ⇔+= 222 bac ⇔ 2 π 2c ⇔+ 22 ba ⇔ 2 π 2c ⇔+ 22 ba ⇔ 2 π ab cbaC 2cos 222 −+= 222222 ,00cos cbacbaC  +⇔−+⇔ cCA,bBC,aAB === b2CN,c3CM −== c3ba3 −+ cnbma += MN bkabkb,12|b|,5|a| −+== 与 例 3。已知 AD，BE 分别是△ABC 的边 BC、AC 上的中线，且 则 =？ 例 4。已知 的夹角。 例 5。已知 夹角是 1500； 计算：（1） ； （2） ； 3. 平 面 向 量 A 组 1.如果 ， 是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ） A. B. C. D. 2.在四边形 中，若 ，则四边形 的形状一定是 ( ) (A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形 3.若平行四边形的 3 个顶点分别是（4，2），（5，7），（ 3，4），则第 4 个顶点的坐标不可能 是（ ） A.（12，5） B.（-2，9） C. （3，7） D. （-4，-1） 4.已知正方形 的边长为 1， ， ， ， 则 等于 ( ) A． 0 B. 3 C. D. bBE,aAD == BC baba,13|ba|,2|b|,3|a| −+=+== 与求 |b||a|,8|b|,4|a| 与== )ba2)(b2a( −+ |b2a4| − a b a = b 1⋅a b = 2 2≠a b =a b ABCD AC AB AD= +   ABCD − ABCD AB = a BC = b AC = c + +a b c 2 2 2 5.已知 ， ，且向量 ， 不共线，若向量 与向量 互相垂直，则 实数 的值为 ． 6.在平行四边形 ABCD 中， ， ，O 为 AC 与 BD 的交点，点 M 在 BD 上， ， 则 向 量 用 ， 表 示 为 ； 用 ， 表 示 为 ． 7.在长江南岸渡口处，江水以 12.5km/h 的速度向东流，渡船的速度为 25 km/h．渡船要垂直 地渡过长江，则航向为 ． 8. 三 个 力 ， ， 的 大 小 相 等 ， 且 它 们 的 合 力 为 0 ， 则 力 与 的 夹 角 为 ． 9. 已 知 平 面 内 三 点 、 、 三 点 在 一 条 直 线 上 ， ， ， ，且 ，求实数 ， 的值． B 组 11.已知点 、 、 不在同一条直线上，点 为该平面上一点，且 ，则 ( ) A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上 12.已知 D、E、F 分别是三角形 ABC 的边长的边 BC、CA、AB 的中点，且 ， ， ， 则 ① ， ② ， ③ ， ④ 中正确的等式的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 13.已知向量 ， ，则向量 在 方向上的投影为 ． 14.已知 ， ，点 M 关于点 A 的对称点为 S，点 S 关于点 B 的对称点为 N，则 向量 用 、 表示为 ． 15.已知向量 ， ，若向量 与 的夹角为直角，则实数 的值为 ；若向量 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围 3=a 4=b a b +a k b −a k b k AB = a CB = b 1 3BM OD=  BM a b AM a b 1F 2F 3F 2F 3F A B C ( 2, )OA m= − ( ,1)OB n= (5, 1)OC = − OA OB⊥  m n O A B P 3 2 OA OBOP −=   BC = a CA = b AB = c EF = 1 1 2 2 −c b BE = 1 2 +a b CF = 1 1 2 2 − +a b 0AD BE CF+ + =   a (1, 5)= b ( 3, 2)= − a b OA = a OB = b MN a b a ( 2, 3)m m= − + b (2 1, 2)m m= + − a b m a b m Q P A CB 为 ． 16.已知 ， ， ，点 为坐标原点，点 是直线 上一 点，求 的最小值及取得最小值时 的值． 17.如图，点 、 是线段 的三等分点，求证： （1） 一般地，如果点 ， ，… 是 的 等分点，请写出一个结论，使（1） 为所写结论的一个特例．并证明你写的结论． 18.已知等边三角形 的边长为 2，⊙ 的半径为 1， 为⊙ 的 任意一条直径， （Ⅰ）判断 的值是否会随点 的变化而变化，请说明 理由； （Ⅱ）求 的最大值． (2, 1)OP = (1, 7)OA = (5, 1)OB = O C OP CA CB⋅  cos ACB∠ 1A 2A AB 1 2OA OA OA OB+ = +    1A 2A 1nA − AB n ( 3)n ≥ ABC A PQ A BP CQ AP CB⋅ − ⋅    P BP CQ⋅  ED A C B 参考答案或提示：A 组 （1）D （2）A （3）C （4）D （5） （6） ； （7）北偏 西 300 （8） （9）略 （10） 或 略解或提示： 1.由单位向量的定义即得 ，故选（D）． 2.由于 ，∴ ，即 ，∴线段 与线段 平行且 相等，∴ 为平行四边形，选（A）． 3.估算：画草图知符合条件的点有三个，这三个点构成的三角形三边的中点分别为已知的三 点．由 于符合条件的三点分别位于第一象限、第二象限和第三象限，则排除（B）、（D），而符合条 件的点第一象限只有一个点，且位于点（5，7）的右侧，则该点的横坐标要大于 5，∴排除 （A），选（C）． 4.由于 ∴ ，∴选（D）． 5.向量 与向量 互相垂直，则（ ( ,∴ , 而 , ,∴ ． 6.∵ ，而 ， ∴ ； ∴ ． 7.如图，渡船速度 ，水流速度 ，船实际垂直过江的速度 ， 依题意， ， ，由于 为平行四边形，则 ，又 ， ∴在直角三角形 中，∠ = ， ∴航向为北偏西 ． 8.过点 作向量 、 、 ，使之分别与力 ， ， 相等，由于 ， ， 的合力为 ，则以 、 为邻边的平行四边形的对角线 与 的 长度相等，又由于力 ， ， 的大小相等，∴ ，则三角 形 和三角形 均为正三角形，∴ ，即任意两个力的 夹 角均为 ． 3 4 ± 6 -a - b 5 6 a - b 0120 6 3 m n =  = 3 3 2 m n = = 1= =a b AC AB AD= +   AC AB AD− =   BC AD=  BC AD ABCD 2+ + =a b c c 2 2 2+ + = =a b c c +a k b −a k b +a k )⋅b −a k ) 0=b 2 =a 2k 2b 22 9= =a a 22 16= =b b 3 4 = ±k 1 3BM OD=  1 2OD BD=  1 1 1( ) ( )6 6 6BM BD AD AB BC AB= = − = − =      6 -a - b AM AB BM= + =   5 6 a - b OB OA OD 12.5OA = 25OB = OADB BD OA=  OD BD⊥ OBD BOD 30 30 O OA OB OC 1F 2F 3F 1F 2F 3F 0 OC OB OD OA 1F 2F 3F OA OB OC= = OCD OBD 120COB∠ =  120 9.解：由于 ，而 ， ∴ ， 则 ∥ ，且 ，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一 半． 10.由于 O、A、B 三点在一条直线上，则 ∥ ，而 ， ∴ ， 又 ， ∴ 联立方程组解得 或 ． B 组 11.B 12.C 13. 14.2 15. 或 2； 16. 17. 答 案 不 唯 一 ， 如 或 18.（Ⅰ） （Ⅱ） ． 略解或提示： 11.由于 ，∴ ，即 ，∴ ，则 点 P 在线段 AB 的反向延长线上，选（B）． 12.∵ ，又 ，∴ ，即①是错误的； 由 于 ， 即 ② 是 正 确 的 ； 同 理 ， 而 ，则 ，∴ ,即③是正确的；同理 ，∴ ；即④是正确的．选（C）． 13.设 与 的夹角为 ，则向量 在 方向上的投影为 ． 14.由于 为 中点， 为 中点，∴ ， ，两式 相减得 ， DE CE CD= −   1 2CE CB=  1 2CD CA=  1 1 1 1( )2 2 2 2DE CB CA CB CA AB= − = − =      DE AB 1 2DE AB= AC AB (7, 1 )AC OC OA m= − = − −   ( 2, 1 )AB OB OA n m= − = + −   7(1 ) ( 1 )( 2) 0m m n− − − − + = OA OB⊥  2 0n m− + = 6 3 m n =  = 3 3 2 m n = = 7 1313 b 2− a 4 3 − 4 5 5 11 5 5 11( , ) ( ,2)3 2 2 − −−  4 178, 17 −− 1 1 2 2n nOA OA OA OA OA OB− −+ = + = = +       1 2 1 1( )2n nOA OA OA OA OB− −+ + + = +      1BP CQ AP CB⋅ − ⋅ =    3 2 3OP OA OB= −   2 2OP OA OA OB− = −    2AP BA=  1 2AP BA=  1 2EF CB= =  2 − a 0+ + =a b c EF 1 1 2 2 2 = − = +a c b 1 2BE BC CE BC CA= + = +     1 2 = +a b CF = 1 2 +b c 0+ + =a b c = − −c a b CF = 1 1 2 2 − +a b AD = 1 2 +c a AD BE CF+ +   3 ( ) 02 = + + =a b c a b α a b a cosα⋅ = ⋅ =a b b 7 1313 A SM B SN 1 ( )2OA OS OM= +   1 ( )2OB OS ON= +   1 ( )2OB OA ON OM− = −    ∴ ，∴ 2 ． 也可直接根据中位线定理 2 ． 15.若 与 的夹角为直角，则 ，即 ,∴ 或 2 ； 若 向 量 与 的 夹 角 为 钝 角 ， 则 ， 且 与 不 共 线 ， 则 ， 且 ， 解 得 或 ． 16.由于点 是直线 上一点，设点 C ， ∴ , , ， ∴ 时 ， 的 最 小 值 为 ； 而 时 ， ， ， ． 17.解：∵ ，∴ 同理 ，则 ； 一般结论为 证明：∵ ，∴ ， 而 ∴ 注：也可以将结论推广为 证明类似，从略． 18. （ Ⅰ ） 由 于 ， 而 ， 则 ∵ ， ∴ ，即 的值不会随点 的变化 而变化； （ Ⅱ ） 由 于 ， ∴ ， ∵ 2( )MN OB OA= −   MN = b 2− a 2MN AB= =  b 2− a a b 0⋅ =a b ( 2)(2 1) ( 3)( 2) 0m m m m− + + + − = m = 4 3 − a b 0⋅       2AP CB AP CB⋅ ≤ =    AP CB BP CQ⋅ 