2018-2019学年陕西省黄陵中学高二（重点班）上学期期中考试数学试题 Word版

2018-2019学年陕西省黄陵中学高二（重点班）上学期期中考试数学试题 Word版

‎2018-2019学年陕西省黄陵中学高二（重点班）上学期期中考试数学试题 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ 1. 在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )‎ A. 一个棱柱中挖去一个棱柱 B. 一个棱柱中挖去一个圆柱 C. 一个圆柱中挖去一个棱锥 D. 一个棱台中挖去一个圆柱 2. 若直线 a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是( )‎ A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面 3. 下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是 ‎( )‎ A．(1)(2) B．(2)(3) C．(3)(4) D．(1) (4)‎ ‎4.命题“∃x∈R，x2＋4x＋5≤‎0”‎的否定是( )‎ ‎0 0 0‎ A．∃x∈R，x2＋4x＋5＞0 B．∃x∈R，x2＋4x＋5≤0‎ ‎0 0 0 0 0 0‎ C．∀x∈R，x2＋4x＋5＞0 D．∀x∈R，x2＋4x＋5≤0‎ 5. 长方体ABCD－A1B‎1C1D1 中，异面直线AB，A1D1 所成的角等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90°‎ 6. ‎“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的 ( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5. 设 a，b，c是空间的三条直线，给出以下三个命题：‎ ‎①若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c；②若 a和 b共面，b和 c共面，则 a和 c 也共面；③若 a∥b，b∥c，则 a∥c.其中正确命题的个数是( )‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎3‎ 6. 正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）‎ B． 3 : 2‎ A． 3 :1‎ C．2 :‎ ‎D．1：3‎ 5. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )‎ ‎9‎ A. π＋12 2‎ ‎.‎ B 9π＋18 2‎ C．9π＋42 D．36π＋18‎ 6. 如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面 积为(‎ ‎)‎ A．12‎ B．3 2‎ C．6 2‎ D．6‎ 7. 设 m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列选项正确的是( )‎ A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m∥α，m∥β，则α∥β C．若 m∥n，m⊥α，则 n⊥α D．若 m∥α，α⊥β，则 m⊥β 8. 下列有关命题的叙述，①若p∨q 为真命题，则p∧q 为真命题；‎ ‎②“x>5”是“x2－4x－5>‎0”‎的充分不必要条件；③命题p：∃x∈R， 使得 x2＋x－1<0，则¬ p：∀x∈R，使得 x2＋x－1≥0；④命题“若 x2－3x＋2＝0，则 x＝1 或 x＝‎2”‎的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠2， 则x2－3x＋2≠‎0”‎．其中错误的个数为( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.)‎ ‎13.命题“若a = - 1，则a2 =‎1”‎的逆否命题是 ．‎ 14. 已知条件 p： x ³ 1，条件 q：x>a，若 q是 p的充分不必要条件， 则 a的取值范围是 ．‎ 15. 如图，三棱锥 P－ABC中，PA⊥平面 ABC，‎ ‎∠BAC＝90°，PA＝AB，则直线 PB与平面 ABC 所成的角是 ．‎ 16. 设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线 AB与 CD交于点 S，且点 S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则 SD＝_ ‎ ‎ .‎ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（10 分）如图，正方体 ABCD－A′B′C′D′的棱长为 a，连接 A¢C¢, A¢D, A¢B, BD, BC¢, C¢D ,得到一个三棱锥．求：‎ (1) 三棱锥 A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；‎ (2) 三棱锥 A′－BC′D的体积．‎ E H D F G A ‎18.(12 分)已知E、F、G、H为空间四边形 ABCD的边 AB、BC、CD、DA上的点，且ＥＨ∥ＦＧ． B 求证：EH∥BD. (12 分) C ‎19.（12 分）已知DABC 中ÐACB = 90o ， SA ^ 面ABC，AD ^ SC .‎ D 求证： AD ^ 面SBC ． S A B C ‎20.如图所示，在三棱锥 S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，‎ ‎ 3‎ 且 BC＝1，SA＝ ，求二面角 S－BC－A的大小．（ 10 分）‎ ‎2‎ ‎21.(12 分)命题 p：关于 x的不等式 x2＋2ax＋4>0，对一切 x∈R 恒成 立，命题 q：指数函数 f(x)＝(3－‎2a)x是增函数，若 p或 q为真，p 且 q为假，求实数 a的取值范围．‎ ‎22.（12 分）如图，在四棱锥 中，底面ABCD 是菱 形，‎ PA＝PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E 是AB 的中点.‎ （1） 求证：PE⊥AD；‎ ‎．‎ （2） 若CA＝CB，求证：平面 PEC⊥平面PAB 数学试题答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D D C D B C D B A C B 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.‎ ‎13. 如果 a2 ¹ 1 ，则a ¹ -1; 14. [1,+¥) ;‎ ‎15. 45° ; 16. 9 ;‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17（本小题 10 分）‎ 解： (1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，‎ ‎∴六个面都是正方形，‎ ‎∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝ ‎2a，‎ ‎∴S三棱锥 S三棱锥 ‎＝4×‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎‎2a)2＝2 ‎3a2，S ＝‎6a2，‎ ‎×( 正方体 ‎4‎ ‎∴ ＝ .‎ S正方体 3‎ ‎(2)显然，三棱锥 A′－ABD、C′－BCD、D－A′D′C′、B－A′B′‎ C′是完全一样的，‎ ‎3 1 1 2 1 3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD ‎＝a－4× × a×a＝ a. ‎ ‎18.(12)解析：证明：Q EH P FG, EH Ë 面BCD ， FG Ì 面BCD EH P 面BCD 又Q EH Ì 面ABD ，面BCD I 面 ABD = BD ， BD Ì 面BCD EH P BD ‎19.(12)解析：证明：QÐACB = 90o BC ^ AC 又SA ^ 面 ABC SA ^BC， 又 Q SA I AC = A BC ^ 面SAC BC ^ AD 又SC ^ AD, SC I BC = C ‎Q AD Ì 面SAC AD ^ 面SBC ‎20.(12)答案 60°‎ 解析：取 BC的中点 O，连接 SO，AO， 因为 AB＝AC，O是BC的中点，‎ 所以 AO⊥BC，同理可证 SO⊥BC，‎ 所以∠SOA是二面角 S－BC－A的平面角．‎ 在△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1，‎ 所以AO＝1×sin 60°＝ 3‎ ‎3‎ ‎. 同理可求SO＝ .‎ ‎3‎ 又SA＝‎ ‎2 2‎ SOA是等边三角形，‎ ‎，所以△‎ ‎2‎ 所以∠SOA＝60°，所以二面角 S－BC－A的大小为 60°.‎ ‎21.(12)解：Q x2 + 2ax + 4 > 0 对一切x Î R 都恒成立 D = (‎2a)2 - 4 ´1´ 4 = ‎4a2 -16 < 0 ，解得： - 2 < a < 2 .‎ 命题p 为真命题时实数a 的取值范围是(- 2,2).‎ 命题p 为假命题时实数a 的取值范围是(- ¥,-2]U [2,+¥).‎ 要使函数 f (x) = (3 - ‎2a)x 是增函数则3 - ‎2a > 1, 解得：a < 1.‎ 命题q 为真命题时实数a 的取值范围是(- ¥，1) 命题q 为假命题时实数a 的取值范围是[1，+ ¥) 又若p或q为真，p且q为假 p 真q 假，或p 假q 真 当p 真q 假时， ì- 2 < a < 2 ，即：1 £ a < 2 .‎ î í a ³ 1‎ 当p 假q 真时， ìa £ -2, 或a ³ 2 ，即： a £ -2 .‎ î í a < 1‎ 综上所述，实数a 的取值范围为： (- ¥，- 2]U [1,2) ‎22.(12 分)‎ 解析：(1)证明：因为PA＝PB，点E 是棱AB 的中点，所以PE⊥AB， 因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，‎ 平面PAB，所以 PE⊥平面ABCD， 因为 平面ABCD，所以PE⊥AD.‎ ‎(2) 证明：因为CA＝CB，点E 是AB 的中点，所以 CE⊥AB.‎ 由（1）可得PE⊥AB，又因为 ，所以AB⊥平面PEC， 又因为 平面PAB，所以平面PAB⊥平 面PEC.‎