2012年高考真题汇编——理科数学（解析版）3：导数

2012年高考真题汇编——理科数学（解析版）3：导数

‎2012高考真题分类汇编：导数 一、选择题 ‎1.【2012高考真题重庆理8】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是 ‎（A）函数有极大值和极小值 ‎ ‎（B）函数有极大值和极小值 ‎ ‎（C）函数有极大值和极小值 ‎ ‎（D）函数有极大值和极小值 ‎【答案】D ‎ ‎ ‎【解析】由图象可知当时，，所以此时，函数递增.当时，，所以此时，函数递减.当时，，所以此时，函数递减.当时，，所以此时，函数递增.所以函数有极大值，极小值,选D.‎ ‎2.【2012高考真题新课标理12】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称 ‎ 函数上的点到直线的距离为 ‎ 设函数 ‎ 由图象关于对称得：最小值为,‎ ‎3.【2012高考真题陕西理7】设函数，则（ ）‎ A. 为的极大值点 B.为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点[学 ‎【答案】D.‎ ‎【解析】，令，则，当时，当时，所以为极小值点，故选D.‎ ‎4.【2012高考真题辽宁理12】若，则下列不等式恒成立的是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，则 所以所以当时，‎ 同理即，故选C ‎【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。‎ ‎5.【2012高考真题湖北理3】已知二次函数的图象如图所示，则它与 轴所围图形的面积为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎ 【解析】根据图像可得： ，再由定积分的几何意义，可求得面积为.‎ ‎6.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝‎ ‎（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1‎ ‎【答案】A ‎【解析】若函数的图象与轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为，令，解得，可知当极大值为，极小值为.由，解得，由，解得，所以或，选A.‎ 二、填空题 ‎7.【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为，‎ 曲线C1：y=x2+a对应函数的导数为，令得，所以C1：y=x2+a上的点为，点到到直线l:y=x的距离应为，所以，解得 或（舍去）。‎ ‎8.【2012高考真题江西理11】计算定积分___________。‎ ‎【答案】‎ ‎【命题立意】本题考查微积分定理的基本应用。‎ ‎【解析】。‎ ‎9.【2012高考真题山东理15】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，所以，所以。‎ ‎10.【2012高考真题广东理12】曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 ．‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，当时，，此时，故切线方程为，即。‎ ‎11.【2012高考真题上海理13】已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当，线段的方程为，当时。线段方程为，整理得，即函数，所以，函数与轴围成的图形面积为 ‎。‎ ‎12.【2012高考真题陕西理14】设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 .‎ ‎【答案】2．‎ ‎【解析】函数在点处的切线为，即.所以D表示的 平面区域如图当目标函数直线经过点M时有最大值，最大值为.‎ 三、解答题 ‎13.【2012高考真题广东理21】（本小题满分14分）‎ 设a＜1，集合，，。‎ ‎（1）求集合D（用区间表示）；‎ ‎（2）求函数在D内的极值点．‎ ‎【答案】本题是一个综合性问题，考查集合与导数的相关知识，考查了学生综合解决问题的能力，难度较大.‎ ‎14.【2012高考真题安徽理19】（本小题满分13分）‎ 设。‎ ‎（I）求在上的最小值；‎ ‎（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。‎ ‎【答案】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。‎ ‎【解析】（I）设；则，‎ ①当时，在上是增函数，‎ 得：当时，的最小值为。‎ ②当时，，‎ 当且仅当时，的最小值为。‎ ‎（II），‎ 由题意得：。‎ ‎15.【2012高考真题福建理20】（本小题满分14分）已知函数f（x）=ex＋ax2-ex，a∈R. ‎ ‎（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P. ‎ ‎【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知识，考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力，以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.‎ ‎16.【2012高考真题全国卷理20】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎17.【2012高考真题北京理18】（本小题共13分）‎ ‎【答案】解：（1）由为公共切点可得：‎ ‎，则，，‎ ‎，则，，‎ ‎①‎ 又，，‎ ‎，即，代入①式可得：．‎ ‎（2），设 则，令，解得：，；‎ ‎，，‎ 原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增 ‎①若，即时，最大值为；‎ ‎②若，即时，最大值为 ‎③若时，即时，最大值为．‎ 综上所述：‎ 当时，最大值为；当时，最大值为．‎ ‎18.【2012高考真题新课标理21】（本小题满分12分）‎ 已知函数满足满足；‎ ‎（1）求的解析式及单调区间；‎ ‎（2）若，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎ 令得：‎ ‎ ‎ ‎ 得：‎ ‎ 在上单调递增 ‎ ‎ ‎ 得：的解析式为 ‎ 且单调递增区间为，单调递减区间为 ‎ （2）得 ‎ ①当时，在上单调递增 ‎ 时，与矛盾 ‎ ②当时，‎ ‎ 得：当时，‎ ‎ ‎ ‎ 令；则 ‎ ‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，的最大值为 ‎19.【2012高考真题天津理20】本小题满分14分）‎ 已知函数的最小值为0，其中 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；‎ ‎（Ⅲ）证明（）.‎ ‎【答案】‎ ‎20.【2012高考江苏18】（16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。‎ 已知是实数，1和是函数的两个极值点．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）设函数的导函数，求的极值点；‎ ‎（3）设，其中，求函数的零点个数．‎ ‎【答案】解：（1）由，得。‎ ‎ ∵1和是函数的两个极值点，‎ ‎ ∴ ，，解得。‎ ‎ （2）∵ 由（1）得， ，‎ ‎ ∴，解得。‎ ‎ ∵当时，；当时，，‎ ‎ ∴是的极值点。‎ ‎ ∵当或时，，∴ 不是的极值点。‎ ‎ ∴的极值点是－2。‎ ‎（3）令，则。‎ ‎ 先讨论关于 的方程 根的情况：‎ 当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。‎ 当时，∵， ，‎ ‎∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。‎ 由（1）知。‎ ‎① 当时， ，于是是单调增函数，从而。‎ 此时在无实根。‎ ‎② 当时．，于是是单调增函数。‎ 又∵，，的图象不间断，‎ ‎∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。‎ 同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。‎ ‎③ 当时，，于是是单调减两数。‎ 又∵， ，的图象不间断，‎ ‎∴在（一1，1 ）内有唯一实根。‎ 因此，当时，有两个不同的根满足；当 时 有三个不同的根，满足。‎ 现考虑函数的零点：‎ ‎( i ）当时，有两个根，满足。‎ 而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。‎ ‎( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。‎ 而有三个不同的根，故有9 个零点。‎ 综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。‎ ‎【考点】函数的概念和性质，导数的应用。‎ ‎【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。‎ ‎ （2）由（1）得，，求出，令，求解讨论即可。‎ ‎ （3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。‎ ‎21.【2012高考真题辽宁理21】本小题满分12分)‎ 设，曲线与 直线在(0，0)点相切。‎ ‎ (Ⅰ)求的值。‎ ‎ (Ⅱ)证明：当时，。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用。本题容易忽略函数的定义域，根据条件曲线与直线在(0，0)点相切，求出的值，然后，利用函数的单调性或者均值不等式证明即可。从近几年的高考命题趋势看，此类型题目几乎年年都有涉及，因此，在平时要加强训练。本题属于中档题。‎ ‎22.【2012高考真题重庆理16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）‎ 设其中，曲线在点处的切线垂直于轴.‎ ‎（Ⅰ） 求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值. ‎ ‎ 【答案】‎ ‎23.【2012高考真题浙江理22】(本小题满分14分)已知a＞0，bR，函数．‎ ‎(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，‎ ‎(ⅰ)函数的最大值为|‎2a－b|﹢a；‎ ‎(ⅱ) ＋|‎2a－b|﹢a≥0；‎ ‎(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．‎ ‎【命题立意】本题主要考查不等式、利用导数研究函数的单调性等性质、线性规划等知识点综合运用能力，同时考查抽象概括、推理论证能力。‎ ‎【答案】本题主要考察不等式，导数，单调性，‎ ‎(Ⅰ)(ⅰ)．‎ 当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，‎ 此时的最大值为：＝|‎2a－b|﹢a；‎ 当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，‎ 此时的最大值为：‎ ‎＝|‎2a－b|﹢a；‎ 综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|‎2a－b|﹢a；‎ ‎(ⅱ) 要证＋|‎2a－b|﹢a≥0，即证＝﹣≤|‎2a－b|﹢a．‎ 亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|‎2a－b|﹢a，‎ ‎∵，‎ ‎∴令．‎ 当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立，‎ 此时的最大值为：＝|‎2a－b|﹢a；‎ 当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，‎ ‎≤|‎2a－b|﹢a；‎ 综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|‎2a－b|﹢a．‎ 即＋|‎2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数在0≤x≤1上的最大值为|‎2a－b|﹢a，‎ 且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|‎2a－b|﹢a)要大．‎ ‎∵﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，‎ ‎∴|‎2a－b|﹢a≤1．‎ 取b为纵轴，a为横轴．‎ 则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b．‎ 作图如下：‎ 由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有．‎ ‎∴所求a＋b的取值范围为：．‎ ‎24.【2012高考真题山东理22】(本小题满分13分)‎ 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）设,其中为的导函数.证明：对任意.‎ ‎【答案】解析：由f(x) = 可得，而，即，解得；‎ ‎（Ⅱ），令可得，‎ 当时，；当时，。‎ 于是在区间内为增函数；在内为减函数。‎ 简证（Ⅲ），‎ 当时， ，.‎ 当时，要证。‎ 只需证，然后构造函数即可证明。‎ ‎25.【2012高考真题湖南理22】（本小题满分13分）‎ 已知函数=，其中a≠0.‎ （1） 若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.‎ ‎（2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，‎ 故.‎ 而令 当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值 于是对一切恒成立，当且仅当 ‎　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　①‎ 令则 当时，单调递增；当时，单调递减.‎ 故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立.‎ 综上所述，的取值集合为.‎ ‎（Ⅱ）由题意知，‎ 令则 令，则.‎ 当时，单调递减；当时，单调递增.‎ 故当，即 从而，又 所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， .‎ 综上所述，存在使成立.且的取值范围为 ‎.‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.‎ ‎ ‎