数学理卷·2019届河北省邢台市内丘中学等五校高二3月月考（2018-03）

数学理卷·2019届河北省邢台市内丘中学等五校高二3月月考（2018-03）

2017-2018 学年高二第二学期 3 月月考理科数学试题 班级 姓名 学号 一、单选题（每题 5 分，共 60 分） 1．设 则 等于( ) A. B. C. D．不存在 2．抛物线 在点 的切线的倾斜角是（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．函数 在 上的最小值 为（ ） A. 2 B. -2 C. 0 D. -4 4．设函数 的导函数为 ，且 ，则 等于（ ） A．0 B．-4 【来源：全,品…中&高*考+网】 C．-2 D．2 5．设 是虚数单位，如果复数 的实部与虚部互为相反数，那么实数 的值为（ ） A． B． C．3 D． 6.已知点 A（l，2）在函数 f（x）=ax3 的图象上，则过点 A 的曲线 C：y=f（x）的切线方程 是（　　） A. 6x﹣y﹣4=0 B. x﹣4y+7=0 C. 6x﹣y﹣4=0 或 x﹣4y+7=0 D. 6x﹣y﹣4=0 或 3x﹣2y+1=0 7．函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图像如下图所示，则函 数 在开区间 内有极大值点（ ） ( ) ( ) ( ) 2 0 1 , 2 1 2 , x x f x x x  ≤ <=  − ≤ ≤ ( )2 0 f x dx∫ 3 4 4 5 5 6 2y x= 1 1,2 4M      ( )f x ( )f x′ ( ) ( )2 2 1f x x x f ′= +  ( )0f ′ i i 2 i a − + a 1 3 1 3 − 3− ( )f x ( ),a b ( )f x′ ( ),a b ( )f x ( ),a b A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8．复数 的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 9．函数 的图像在点（1，-2）处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 10．函数 的单调递减区间为（ ） A．（-1,1） B． C．（0,1） D． 11．若 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 12 ． 在 中 ， 分 别 为 所 对 的 边 ， 若 函 数 有极值点，则 的范围是（ ） A． B． C． D． 3 i 2 iz − += + 2 i+ 2 i− 1 i− + 1 i− − ( ) ln 2xf x x = − 3 0x y− − = 2 0x y+ = 1 0x y+ + = 2 4 0x y− − = ( ) 21 ln2f x x x= − ( ),1−∞ ( )1,+∞ 4 4 4 2 2 2 4, , 2a xdx b dx c dxx = = =∫ ∫ ∫ , ,a b c a b c< < b a c< < b c a< < c b a< < ABC∆ , ,a b c , ,A B C∠ ∠ ∠ ( ) ( )3 2 2 21 3f x x bx a c ac x= + + + − 1+ B∠ 0, 3 π     0, 3 π     ,3 π π     ,3 π π     二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13． 14．设 若 ，则 _____________． 15.已知函数 ， ，对于任意 、 ．不等式 恒成 立，则正数 的最小值为__________． 16．若复数 （ 是虚数单位）是纯虚数，则实数 的值为__________．.【来源：全,品…中&高*考+网】 三. 解答题 17(10 分）已知 ，且 在 处取得极值． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 在 上的最值． 18（12 分）．已知函数 . （1）求函数 的最小值； （2）若 对任意的 恒成立，求实数 t 的取值范围. ( )1 2 1 1 sinx x dx − − + =∫ 2 0 lg , 0, ( ) 3 , 0,a x x f x x t dt x >=  + ≤ ∫ ( (1)) 1f f = a = ( ) ( )2 0 2 x f x t at dt= − −∫ ( )f x 1x = − a ( )f x [ ]2,3− 19（12 分）．已知函数 ， （1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 ； （2）求函数 的极值. 20（12 分）．已知函数 ，其中 ，且 在 处取得 极值. （1）求 的值； （2）求函数 的单调区间. 21（12 分）．已知函数 （1）求 的单调区间； （2）当 时，若 恒成立，求 的取值范围. 22（12 分）．已知 f(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)． (1)假 设 m＝－2，求 f(x)的极大值与极小值； (2)是否存在实数 m，使 f(x)在[-2,-1]上单调递增？如果存在，求 m 的取值范围；如果不存在， 请说明理由． 参考答案 ( ) 2 ln 5af x x xx = + − − a R∈ ( )f x 2x = a ( )f x 1．A 【解析】 试题分析：因为函数 有极大值和极小值，所以 有 两个不同的实数根，而 解得 或 . 考点：本小题主要考查导数的计算和应用. 点评：解决本 小题的关键在于将存在极值问题转化为二次函数根的存在问题，解决问题时 要注意转化思想的灵活应用. 2．C 【解析】 试题分析：复数 的模长为 ,所以 ， 故选 C 考点：复数模长计算. 3．A 【解析】若函数 是 R 上的单调函数,只需 恒成立, 即△=4−12m⩽0,∴m⩾ .【来源：全,品…中&高*考+网】 故选 A. 点睛：本题考查导数和函数的单调性的关系；已知函数在某区间上单调时，往往转化为导函 数恒为正或恒为负，如： 为 上的单调递增函数，所以 恒成立，而不要错 误认为“ 恒成立”，若只是求函数的增区间可直接令 即可. 4．A 【解析】 ,因为函数 在 内存在单调递减区间， 在 内成立， ，所以实数 的取值范围是 ，故选 A. 【方法点晴】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用及利用单调性求参数的范围，属于中 档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调 1)6()( 23 ++++= xaaxxxf ( ) 0f x′ = 2 2( ) 3 2 ( 6) 0, (2 ) 12( 6) 0,f x x ax a a a′ = + + + = ∴∆ = − + > 3−a yixz += 22|| yxz += 5)4(3|z|43 22 =−+=⇒−= iz 3 2 1y x x mx= + + + 2' 3 2 0y x x m= + +  1 3 ( )f x R ( ) 0f x′ ≥ ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ > ( )' 1af x x = − ( )f x 2,x e e ∈  ( )' 0f x∴ ≤ ( )2,x e e∈ 21 0,a a x ex ∴ − ≤ ∴ ≤ < a ( )2,e−∞ 性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间 上是 单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式 或 恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 ① 求解的． 5．B 【解析】因为函数 存在两个极值点,则 = = =0 有二不 等根;即函数 与 的图像有 2 个交点;k ,则 ,所以 ; = ,解得 ;即当 时, 与 相切,此时有 1 个交点;而 与 的图像有 2 个交点,所以 ;即实数 的取值范围是 .故选 B. 6．A 【解析】由 知 ， ,构造函数 ，则 ，易知 在 R 上单调递增，且 任 一点处斜率比 相应点的斜率大，又 ，知 0，故作出 及 的草图，如下： 通过图像分析 的解集为 ，故选 A 点睛：构造函数 ，通过分析 与 的图像关系，作出图像， 是解决本题的关键. 7．D 【解析】 试题分析：因 为 ，故选 D. 考点：复数的运算. 8．C [ ],a b ( )' 0f x ≤ ( )' 0f x ≥ ( )f x ( )'f x ln 1— 1x ax+ − lnx ax− lny x= y ax= 0 1y ax = =′ = 0 1 0x a = > 0a > 0 1 1y aa = × = 1ln a 1 ea = 1 ea = lny x= y ax= lny x= y ax= 10 ea< < a 10, e      ( ) ( )1f x f x> − ′ ( ) ( ) 1f x f x+ ′ > ( ) ( )' 0x x xe f x e f x e+ > > ( ) ( )F xx e f x= ( )( ) ( )' 'x xe f x e> ( )F x ( ) ( )F xx e f x= y xe= ( )0 0f = ( )F 0 = ( )xy e f x= 1xy e= − ( ) 1x xe f x e> − ( )0,+∞ ( ) ( )F xx e f x= ( )F x ( )xy e f x= 2 4 3i i(4 3i) 3 4ii iz − −= = = − − 【解析】 试 题 分 析 ： 复 数 ， 所 以 在 复 平 面 内 对 应 的 点 为 在 第 四 象 限 内 ， 所 以 A 错 误 ； 其 共 轭 复 数 为 ， 所 以 B 错 误 ； 当 为 纯 虚 数 时 ， ， 所 以 C 正 确 ； ，所以 D 错误，故选 C. 考点：复数的运算与复数的有关概念. 9．A 【解析】 试题分析：把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：由 z（1+i）=3+i，得 ， ∴ ， 故选：A． 考点：复数代数形式的乘除运算． 10．C 【解析】试题分析：∵ ，∴ ，则 ，∴曲线 在点 处的切线方程为 即 ，令 ，解得 ，∴曲线 在点 处 的切线与 y 轴交点的纵坐标是 9，故选 C. 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 11．A 【解析】 试题分析： ，选 A. 考点：复数概念 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四 则 运 算 ， 要 切 实 掌 握 其 运 算 技 巧 和 常 规 思 路 ， 如 ( ) ( )( ) 3 1 1 1 1 1 1 2 i ii i iz i i i i − +− −= = = =− − − + 1 1,2 2  −   1 2 2 iz = + 1 1 1 2 2z z b b i = + = + −   1 10,2 2b b+ = ∴ = − 2 21 1 2 2 2 2z    = + =       1 1 1 | 1|z | | | | 11 1 1 |1 | z i i ii zz i i i + − − −= ⇒ = ⇒ = = =− + + + . 其次要熟悉复数相关基本概念， 如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、共轭为 12．B. 【解析】 ,所以虚部为 ,应选 B 13．B 【解析】本题考查导数的运算,利用导数求函数的单调区间.【来源：全,品…中&高*考+网】 函数 的定义域是 ，解不等式 得 ， 解得 所以函数 的减区间是 14．B 【解析】略 15． 【解析】解：求 导数 16． 或 . 【 解 析 】 试 题 分 析 ： ， ， 故 所 求 的 切 线 的 斜 率 为 ， 故所求的切线的方程为 ，即 或 . 考点：本题考查利用导数求函数图象的切线问题，属于中等题. 视频 17．[ ，+∞） 【解析】 试题分析：求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为 两函数图象有交点，求得 a 的范围． 解：由 y=ax2（a＞0），得 y′=2ax， ( )( ) ( ) ( ) ,( , , . )+ + = − + + ∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ( , )+ ∈a bi a b R a b 2 2+a b .−a bi 23( ) 3 41 i ii − = − −+ 4− lny x x= (0, ),+∞ ln 1y x′ = + ln 1 0y x′ = + < ln 1x < − 10 ,x e < < lny x x= 1(0, ).e (-2,0);(- -2),(0,+ )∞ ∞ 2 2( ) '( ) 2 ( 2), '( ) 0, -2 0 '( ) 0, -2 0 当 则 当 则x< 或 x x x x f x e x f x e x e x e x x f x x f x x = ⋅ ∴ = ⋅ + × = + < < < > > 5 2y x= − − 5 2 0x y+ + = 5 3xy e= − + 5 xy e∴ ′ = − 05 5k e= − = − ( )2 5y x− − = − 5 2y x= − − 5 2 0x y+ + = 由 y=ex，得 y′=ex， 曲线 C1：y=ax2（a＞0）与曲线 C2：y=ex 存在公共切线， 设公切线与曲线 C1 切于点（x1，ax12），与曲线 C2 切于点（x2，ex2）， 则 2ax1=ex2= ， 可得 2x2=x1+2， ∴a= ， 记 f（x）= ， 则 f′（x）= ， 当 x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减； 当 x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增． ∴当 x=2 时，f（x）min= ． ∴a 的范围是[ ，+∞）． 故答案为：[ ，+∞）． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 18．2 【解析】 时， 时， 时， ， 是 的极小值点，又 为 的极小值点， ，故答案 为 . 【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函 数 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求 出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如 果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 ( ) 2' 3 12, 2f x x x= − ∴ < − ( )' 0, 2 2f x x> − < < ( )' 0, 2f x x ( )' 0f x > 2x∴ = ( )f x 0x ( )f x 0 2x∴ = 2 ( )f x ( )f x′ ( ) 0,f x′ = ( )f x′ ( ) 0f x′ = 0x ( )f x 0x ( )f x 在 处取极小值. 19．（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】试题分析: （Ⅰ）先求出函数的导函数,将 代入可得在此切点处的斜率,再由 曲线方程可求出切点坐标,利用点斜式式写出切线方程; （Ⅱ）求出 的导函数函数,令 为 ,再求 的导函数,去判断 的单调性,再进一步判断 的单调性,可求 出 的最小值,将恒成立问题转为关于 的不等式即可.注意对 的分类讨论. 试题解析:（Ⅰ）当 时，有 ， 则 ． 又因为 ， ∴曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． （Ⅱ）因为 ，令 有 （ ）且函数 在 上单调递增 当 时 ， 有 ， 此 时 函 数 在 上 单 调 递 增 ， 则 （ⅰ）若 即 时，有函数 在 上单调递增， 则 恒成立； （ⅱ）若 即 时，则在 存在 ， 此时函数 在 上单调递减， 上单调递增且 ， 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意； 当 时，有 ，则在 存在 ，此时 上单调 递减， 上单调递增所以函数 在 上先减后增． 又 ，则函数 在 上先减后增且 ． 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意； 0x 2y x= 1 2a ≥ 0x = ( )f x ( )g x ( )g x ( )g x ( )f x ( )f x a a 1a = ( ) ( )22 4) 2xf x x e x= − + +（ ( ) ( )' 2 2) 2 4 ' 0 2 4 2xf x x e x f= − + + ⇒ = − + =（ ( )0 4 4 0f = − + = ( )y f x= ( )( )0, 0P f ( )0 2 0y x− = − 2y x= ( ) ( )' 2 2) 2 2xf x x e a x= − + +（ ( ) ( ) ( )' 2 2) 2 2xg x f x x e a x= = − + +（ ( )' 2 2xg x x e a= ⋅ + 0x ≥ ( )'y g x= [ )0,x∈ +∞ 2 0a ≥ ( )' 0g x ≥ ( )'y f x= [ )0,x∈ +∞ ( ) ( )' ' 0 4 2f x f a≥ = − 4 2 0a − ≥ 1 2a ≥ ( )y f x= [ )0,x∈ +∞ ( ) ( )min 0 4 4f x f a= = − 4 2 0a − < 10 2a≤ < [ )0,x∈ +∞ ( )0' 0f x = ( )y f x= ( )00,x x∈ ( )0 ,x x∈ +∞ ( )0 4 4f a= − 2 0a < ( )' 0 2 0g a= < [ )0,x∈ +∞ ( )1' 0g x = ( )10,x x∈ ( )1,x x∈ +∞ ( )'y f x= [ )0,x∈ +∞ ( )' 0 2 4 0f a= − + < ( )y f x= [ )0,x∈ +∞ ( )0 4 4f a= − 综上所述，实数 的取值范围为 ． 20．(1) ， ，(2) ． 【解析】 试题分析：(1)根据导数几何意义，所以 .因为 ，所以 .因为 过点 ，所以 ，(2)由题意得：不等式 恒成立，恒成立 问题一般转化为最值问题.一是分类讨论求函数 最小值，二是变量分离为 恒成立，求函数 最小值.两种方法都是 ，然后 对实数 a 进行讨论，当 时， ，所以 .当 时,由 得 ，不论 还是 ， 都是先减后增，即 的最小值为 ，所 以 . 试题解析：解 （1） ， 2 分 因为曲线 C 在点（0，1）处的切线为 L： ， 所以 且 . 4 分 解得 ， -5 分 （2）法 1： 对于任意实数 a，曲线 C 总在直线的 的上方，等价于 ∀x, ，都有 ， 即∀x, R， 恒成立， 6 分 令 ， 7 分 ①若 a=0，则 ， 所以实数 b 的取值范围是 ； 8 分 ②若 , ， a 1 2a ≥ 1m = 2a = 1b < 2)0( =′f eaxy a′ = 2a = 2y x m= + (0,1) 1m = e 0ax ax b− − > ( ) eaxg x ax b= − − eaxb ax< − axexg ax −=)( ( ) (e 1)axg x a′ = − 0=a ( ) 1g x b= − 1b < 0≠a '( ) 0g x = 0x = 0>a 0 + a∈ e 0ax ax b− − > ( ) eaxg x ax b= − − ( ) 1g x b= − 1b < 0a ≠ ( ) (e 1)axg x a′ = − 由 得 ， 9 分 的情况如下： 0 0 + 极小值 11 分 所以 的最小值为 ， 12 分 所以实数 b 的取值范围是 ； 综上，实数 b 的取值范围是 ． 13 分 法 2：对于任意实数 a，曲线 C 总在直线的 的上方，等价于 ∀x, ，都有 ，即 ∀x, R， 恒成立， 6 分 令 ，则等价于∀ ， 恒成立， 令 ，则 ， 7 分 由 得 ， 9 分 的情况如下： 0 0 + 极小值 【来源：全,品…中&高*考+网】 -11 分 所以 的最小值为 ， 12 分 实数 b 的取值范围是 ． 13 分 考点：利用导数求切线、最值. '( ) 0g x = 0x = '( ), ( )g x g x x 0∞（- , ） ∞（0, + ） '( )g x − ( )g x   ( )g x (0) 1g b= − 1b < 1b < y ax b= + a R∈ eax ax b> + a ∈ eaxb ax< − t ax= t ∈R etb t< − ( ) etg t t= − ( ) e 1tg t′ = − '( ) 0g t = 0t = '( ), ( )g t g t t 0∞（- , ） ∞（0, + ） '( )g t − ( )g t   ( ) etg t t= − (0) 1g = 1b < 21．（1） , . （2） 在 和 上是单调递增的;在 和 上是单调递减的. （3）(1) 且 时 (2) 或 时, 【解析】(Ⅰ)因为 , 又 和 为 的极值点,所以 , 因此 解该方程组得 , . （Ⅱ）因为 , ,所以 , 令 ,解得 , , ． 因为当 时, ; 当 时, ． 所以 在 和 上是单调递增的;在 和 上是单调递减的. （Ⅲ）由（Ⅰ）可知 , 故 ,令 ，则 . 令 ,得 ,因为 时, , 所以 在 上单调递减.故 时， ; 因为 时, ,所以 在 上单调递增. 故 时, . 所以对任意 ,恒有 ,又 时, , 因此 且 时 , 或 时 , 所以, (1) 且 时 1 3a = − 1b = − ( )f x ( )2,0− ( )1,+∞ ( ), 2−∞ − ( )0,1 0x ≠ 1x ≠ ( ) ( )f x g x> 1x = 0x = ( ) ( )f x g x= ( ) ( )1 2 2e 2 3 2xf x x x ax bx−′ = + + + ( ) ( )1e 2 3 2xx x x ax b−= + + + 2x = − 1x = ( )f x ( ) ( )2 1 0f f′ ′− = = 6 2 0,{ 3 3 2 0, a b a b − + = + + = 1 3a = − 1b = − 1 3a = − 1b = − ( ) ( )( )12 e 1xf x x x −′ = + − ( ) 0f x′ = 1 2x = − 2 0x = 3 1x = ( ), 2x∈ −∞ − ( )0,1∪ ( ) 0f x′ < ( ) ( )2,0 1,x∈ − ∪ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )2,0− ( )1,+∞ ( ), 2−∞ − ( )0,1 ( ) 2 1 3 21e 3 xf x x x x−= − − ( ) ( ) ( )2 1 3 2 1e ex xf x g x x x x x− −− = − = − ( ) 1exh x x−= − ( ) 1e 1xh x −=′ − ( ) 0h x′ = 1x = ( ),1x∈ −∞ ( ) 0h x′ < ( )h x ( ),1x∈ −∞ ( ),1x∈ −∞ ( ) ( )1 0h x h> = ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x′ > ( )h x ( )1,x∈ +∞ ( )1,x∈ +∞ ( ) ( )1 0h x h> = ( ) ( ),1 1,x∈ −∞ ∪ +∞ ( ) 0h x > 0x ≠ 2 0x > 0x ≠ 1x ≠ ( ) ( ) 0f x g x− > 1x = 0x = ( ) ( ) 0f x g x− = 0x ≠ 1x ≠ ( ) ( )f x g x> (2) 或 时, 【注:】按以下做法不扣分(以下是高考命题人给的原解)这种解法不太严谨,但也被大部分人 所接受 （Ⅲ）由（Ⅰ）可知 , 故 ,令 ,则 . 令 ,得 ,因为 时, , 所以 在 上单调递减.故 时, ; 因为 时, ,所以 在 上单调递增. 故 时, . 所以对任意 ,恒有 ,又 ,因此 , 故对任意 ,恒有 视频 1x = 0x = ( ) ( )f x g x= ( ) 2 1 3 21e 3 xf x x x x−= − − ( ) ( ) ( )2 1 3 2 1e ex xf x g x x x x x− −− = − = − ( ) 1exh x x−= − ( ) 1e 1xh x −=′ − ( ) 0h x′ = 1x = ( ],1x∈ −∞ ( ) 0h x′ ≤ ( )h x ( ],1x∈ −∞ ( ],1x∈ −∞ ( ) ( )1 0h x h≥ = [ )1,x∈ +∞ ( ) 0h x′ ≥ ( )h x [ )1,x∈ +∞ [ )1,x∈ +∞ ( ) ( )1 0h x h≥ = ( ),x∈ −∞ +∞ ( ) 0h x ≥ 2 0x ≥ ( ) ( ) 0f x g x− ≥ ( ),x∈ −∞ +∞ ( ) ( )f x g x≥