【数学】2020届一轮复习人教版（理）第11章第4讲直接证明与间接证明学案

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第11章第4讲直接证明与间接证明学案

第4讲　直接证明与间接证明 ‎[考纲解读]　1.掌握直接证明的两种基本方法：分析法与综合法．(重点)‎ ‎2.能够用反证法证明问题，掌握反证法的步骤：①反设；②归谬；③结论．(难点)‎ ‎3.综合法、反证法证明问题是高考中的一个热点，主要在知识交汇处命题，如数列、不等式等．‎ ‎[考向预测]　 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点. 预测2020年将会以不等式、立体几何、数列等知识为载体，考查分析法、综合法与反证法的灵活应用，题型为解答题中的一问，试题难度中等.‎ ‎1．直接证明 续表 ‎2．间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．‎ ‎(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．‎ ‎(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．‎ ‎1．概念辨析 ‎(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　　)‎ ‎(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)‎ ‎(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　)‎ ‎(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．小题热身 ‎(1)要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)‎ A．综合法 B．分析法 C．类比法 D．反证法 答案　B 解析　用分析法证明如下：要证明＋<2，需证(＋)‎ ‎2<(2)2，即证10＋2<20，即证<5，即证21<25，显然成立，故原结论成立．‎ 用综合法证明：因为(＋)2－(2)2＝10＋2－20＝2(－5)<0，故＋<2.‎ 反证法证明：假设＋≥2，通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论．‎ 从以上证法中，可知最合理的是分析法．故选B.‎ ‎(2)命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了(　　)‎ A．分析法 B．综合法 C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法 答案　B 解析　因为证明过程是“从左到右”，即由条件出发，经过推理得出结论，属于综合法．故选B.‎ ‎(3)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是(　　)‎ A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 答案　A 解析　因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要作的假设是方程x3＋ax＋b＝0没有实根．故选A.‎ 题型 　分析法的应用 ‎(2019·长沙模拟)已知函数f(x)＝tanx，x∈，若x1，x2∈，且x1‎ ‎≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]>f.‎ 证明　要证[f(x1)＋f(x2)]>f，‎ 即证明(tanx1＋tanx2)>tan，‎ 只需证明 >tan，‎ 只需证明 >.由于x1，x2∈，故x1＋x2∈(0，π)．所以cosx1cosx2>0，sin(x1＋x2)>0，‎ ‎1＋cos(x1＋x2)>0，‎ 故只需证明 ‎1＋cos(x1＋x2)>2cosx1cosx2，‎ 即证1＋cosx1cosx2－sinx1sinx2>2cosx1cosx2，‎ 即证cos(x1－x2)<1.‎ 由x1，x2∈，x1≠x2知上式显然成立，‎ 因此[f(x1)＋f(x2)]>f.‎ 条件探究　举例说明中“f(x)”变为“f(x)＝3x－2x”，试证：对于任意的x1，x2∈R，均有≥f.‎ ‎1．分析法证明问题的策略 ‎(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想．‎ ‎(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．‎ ‎2．分析法的适用范围及证题关键 ‎(1)适用范围 ‎①已知条件与结论之间的联系不够明显、直接．‎ ‎②证明过程中所需要用的知识不太明确、具体．‎ ‎③含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导．‎ ‎(2)证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：＋＝.‎ 证明　要证＋＝，‎ 即证＋＝3，也就是＋＝1，‎ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，‎ 需证c2＋a2＝ac＋b2，‎ 又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，‎ 由余弦定理，得 b2＝c2＋a2－2accos60°，‎ 即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．‎ 于是原等式成立．‎ 题型 　综合法的应用 ‎(2018·黄冈模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)．其中m为常数，且m≠－3.‎ ‎(1)求证：{an}是等比数列；‎ ‎(2)若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N，n≥2)，求证：为等差数列．‎ 证明　(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得 ‎(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.‎ 两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man，m≠－3，‎ ‎∴＝，∴{an}是等比数列．‎ ‎(2)∵(3－m)Sn＋2man＝m＋3，‎ ‎∴(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，∴a1＝1.‎ b1＝a1＝1，q＝f(m)＝，∴当n∈N且n≥2时，‎ bn＝f(bn－1)＝·⇒bnbn－1＋3bn＝3bn－1‎ ‎⇒－＝.‎ ‎∴是首项为1，公差为的等差数列．‎ ‎1．利用综合法证题的策略 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．‎ ‎2．综合法证明问题的常见类型及方法 ‎(1)与不等式有关的证明：充分利用函数、方程、不等式间的关系，同时注意函数单调性、最值的应用，尤其注意导数思想的应用．‎ ‎(2)与数列有关的证明：充分利用等差、等比数列的定义通项及前n项和公式证明．见举例说明.‎ ‎ ‎ 设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.‎ 证明　因为a，b，c都是正数，‎ 所以，，都是正数．‎ 所以＋≥2c，当且仅当a＝b时等号成立，‎ ＋≥2a，当且仅当b＝c时等号成立，‎ ＋≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．‎ 三式相加，得2≥2(a＋b＋c)，‎ 即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立．‎ 题型 　反证法的应用 角度1　证明否定性命题 ‎1．(2018·株州月考)设{an}是公比为q的等比数列．‎ ‎(1)推导{an}的前n项和公式；‎ ‎(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．‎ 解　(1)设{an}的前n项和为Sn，则 当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；‎ 当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①‎ qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②‎ ‎①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，‎ ‎∴Sn＝，‎ ‎∴Sn＝ ‎(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，‎ ‎(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，‎ a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，‎ aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，‎ ‎∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.‎ ‎∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，‎ ‎∴q＝1，这与已知矛盾．‎ ‎∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．‎ 角度2　证明“至多”“至少”“唯一”命题 ‎2．已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f(x)∈M，‎ ‎(ⅰ)方程f(x)－x＝0有实数根；‎ ‎(ⅱ)函数f(x)的导数f′(x)满足0

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