北京市中国人民大学附属中学2020届高三考前热身练习数学试题

北京市中国人民大学附属中学2020届高三考前热身练习数学试题

‎2020北京人大附中高三考前热身练习 ‎ 数 学 2020.6‎ 本试卷共4页．满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂、书写在机读卡和答题纸上，在试卷上作答无效．‎ 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）‎ ‎1．已知集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．复数的模为（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎ C． D．‎ ‎3．若，则不等式等价于（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4．某几何体的主视图和左视图如右上图所示，则它的俯视图不可能是（ ）‎ ‎5．公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%‎ ‎，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）‎ ‎（参考数据：）‎ A．2020年 B．2021年 C．2022年 D．2023年 ‎6.为非零向量，为“”“为共线”的 A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 ‎7．已知函数（其中）的最小值为1，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎8.已知函数，若函数在区间内没有零点，则的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎9.已知不过坐标原点的直线交抛物线于两点,若直线的斜率分别为2和6,则直线 的斜率为( )‎ A.3 B‎.2 ‎ C.-2 D.-3‎ ‎10.2016年“一带一路”沿线64个国家GDP之和约为12.0万亿美元，占全球GDP的16.0%；人口总数约为32.1亿，占全球总人口的43.4%；对外贸易总额（进口额+出口额）约为71885.6亿美元，占全球贸易总额的21.7%.‎ ‎2016年“一带一路”沿线国家情况 人口（万人）‎ GDP（亿美元）‎ 进口额（亿美元）‎ 出口额（亿美元）‎ 蒙古 ‎301.4‎ ‎116.5‎ ‎38.7‎ ‎45.0‎ 东南亚11国 ‎63852.5‎ ‎25802.2‎ ‎11267.2‎ ‎11798.6‎ 南亚8国 ‎174499.0‎ ‎29146.6‎ ‎4724.1‎ ‎3308.5‎ 中亚5国 ‎6946.7‎ ‎2254.7‎ ‎422.7‎ ‎590.7‎ 西亚、北非19国 ‎43504.6‎ ‎36467.5‎ ‎9675.5‎ ‎8850.7‎ 东欧20国 ‎32161.9‎ ‎26352.1‎ ‎9775.5‎ ‎11388.4‎ 关于“一带一路”沿线国家 2016 年状况，能够从上述资料中推出的是（ ）‎ A．超过六成人口集中在南亚地区 B．东南亚和南亚国家GDP之和占全球的8%以上 C．平均每个南亚国家对外贸易额超过1000亿美元 D．平均每个东欧国家的进口额高于平均每个西亚、北非国家的进口额 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）‎ ‎11．在的展开式中，的系数为_______．（用数字作答）‎ ‎12．双曲线的离心率为 ，双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点，则双曲线的方程为 ． ‎ ‎13.锐角三角形中，若，则的取值范围是 .‎ ‎14.已知非零向量满足，则实数的值为 ‎ ‎15.已知函数，‎ ‎（1）的零点是 ；‎ ‎（2）若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是______.‎ 三、解答题（共5小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）‎ ‎16.（本题满分14分）‎ 设函数，其中.已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象。求在上的最小值.‎ ‎17.（本题满分14分）‎ 为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．‎ 套数 人数 性别 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 男生 ‎1‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ 女生 ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的概率？‎ ‎（Ⅱ）若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人，设选到的男学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）试判断男学生完成套卷数的方差与女学生完成套卷数的方差的大小（只需写出结论）．‎ ‎18.（本题满分14分）‎ 平行四边形所在的平面与直角梯形 所在的平面垂直，,且为的中点. ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）若直线上存在点，使得所成角的余弦值为，求与平面所成角的大小.‎ ‎19.（本题满分15分）‎ 已知椭圆的离心率为过的左焦点做轴的垂线交椭圆于两点，且 ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程及长轴长；‎ ‎(Ⅱ)椭圆的短轴的上下端点分别为，点，满足，且,若直线分别与椭圆交于两点，且面积是面积的5倍,求的值.‎ ‎20.（本题满分14分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，都有成立，求实数的最小值.‎ ‎21.（本题满分14分）若无穷数列满足：是正实数，当时，，则称是“Y－数列”.‎ ‎（Ⅰ）若是“Y－数列”且，写出的所有可能值；‎ ‎（Ⅱ）设是“Y－数列”，证明：是等差数列当且仅当单调递减；是等比数列当且仅当单调递增；‎ ‎（Ⅲ）若是“Y－数列”且是周期数列（即存在正整数，使得对任意正整数，都有），求集合的元素个数的所有可能值的个数.‎ ‎2020北京人大附中高三考前热身练习数学 参考答案 ‎1.解析：故，选B ‎2.解析：法一：‎ 法二：选择A ‎3.解析：令，移项分式不等式，可求得或，符合的只有一个，选D.‎ ‎4.解析：对于A，可以是圆锥；对于B，可以是中间提点，对于C，中间提点，选D.‎ ‎5. 解析：即选C ‎6. 解析：因为，即同向，故选B.‎ ‎7.解析：令，变形得,若结果不含，只能令选A ‎8.解析：， ‎ 首先排除 D；剩下 3个选项从大到小代入，当时，符合题意，选C ‎9.解析：令，则，联立得选D ‎10.解析：估算 对于A，估算，故A错误；‎ 对于B，估算错误；‎ 对于C，正确；‎ 对于D，D错误.‎ 故选C 二、填空题 ‎11.解析：，故系数为.‎ ‎12.解析：，离心率 因为共渐近线，故令将代入，解得故 ‎13.解析：因为锐角三角形，即 故即取值范围为.‎ ‎14.解析：‎ ‎15.解析：海淀查漏补缺题.零点不是点，是横坐标.‎ ‎（1） 时,时, ,故的零点是；‎ ‎（2）数形结合，直线过定点，实数的取值范围是.‎ 三、解答题（共 5小题，共 85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）‎ ‎16.（本题满分 14 分）‎ 解：（I）因为 所以··········2分 ‎·····4分 由题设知所以·····6分 故所以·····7分 ‎（II）由（I）得，所以，‎ ‎·····10分 因为，，所以·····11分 当即时，取得最小值······13分 ‎17.解析：（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生完成套卷数之和为4．‎ 由题意可知，·····4分 ‎（Ⅱ）完成套卷数不少于4 本的学生共8 人，其中男学生人数为 4 人，故 X 的取值为 0,1, 2,3, 4 ． …………5 分 由题意可得 ‎······8分 所以随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎·······9分 随机变量X的均值······11分 ‎（III）·····13分 ‎18.解析：（1）解法1：取AF的中点Q，连结,‎ 在直角梯形中，,‎ 所以四边形为平行四边形，…………1分 所以，‎ 在中，‎ 所以，…………2分 又因为，‎ 所以平面平面，…………3分 又平面,‎ 所以平面…………4分 解法2取中点，连结，在中，，‎ 所以,且 又 所以,‎ 所以四边形为平行四边形 所以,‎ 因为平面，平面,‎ 所以平面.‎ ‎（2）在中，‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以,…………5分 又平面平面,平面平面平面,‎ 所以平面,…………7分 因为平面,‎ 所以…………8分 ‎（3）由（1）（2）以A为原点，以 所在直线为轴建立空间直角坐标系,…………9分 所以 所以 所以 设 所以 所以 所以 所以·····10分 所以····11分 设平面的法向量为 所以 所以令····12分 如与平面成的角为，‎ 所以···13分 所以即与面成的角为···14分 ‎19. 解析：(Ⅰ)因为椭圆C 的左焦点横坐标为-c ，‎ 由·····2分 故解得：‎ 所以，椭圆 C 的标准方程为：·····4分 长轴长为 4. …………5 分 ‎ ‎（II）‎ ‎∴直线的斜率为直线BM斜率为 ‎∴直线的方程为,直线BM的方程为…………7分 由 由…………9分 ‎∴‎ 即…………11分 又 ‎…………13分 整理方程得：，‎ 解得：..…………14分 ‎20.解析：（I）由解得.…………2分 则的情况如下：‎ X ‎2‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ 所以函数的单增区间为，单减区间为;…………6分 ‎（Ⅱ）当时，‎ 当时，…………8分 若，由（Ⅱ）可知的最小值为，‎ 的最大值为，…………10分 所以“对任意，有恒成立”‎ 等价于“” …………12分 即解得.所以的最小值为1.…………13 分 ‎21.解析：（Ⅰ）-2,0,2,8………………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）证明：因为，所以或.‎ 是等差数列时，假设，则.此时，，而 ‎，矛盾！所以.于是公差，‎ 所以单调递减……………………5分 当单调递减时，对任意，.‎ 又，所以，从而是等差数列…………6分 当是等比数列时，，所以，于是公比.又，所以单调递增.…………7分 当单调递增时，对任意，所以，即.因为，所以是等比数列………8分 ‎（Ⅲ）解：先证明是数列中的最大项.‎ 事实上，如果i是第一个大于的项的脚标，则由知，是 的倍数.假设都是的倍数，‎ 则由 知，也是的倍数.所以由归纳法知，对任意都是的倍数.但不是的倍数，这与是周期数列矛盾！‎ 所以是数列中的最大项，从而当时，.………………9分 再证明当是奇数时，是的奇数倍；当是偶数时，是的偶数倍 事实上，当时结论成立，假设时成立，当时，由 知，结论也成立………………10分 所以，若的值只可能为奇数，所以集合的元素个数最多有1009个。‎ 下证集合的元素个数可以是1~1009的所有整数。‎ 事实上，对于，可取数列为：‎ 也即：所有的奇数项均等于，所有的偶数项均等于0，此时，数列为Y数列，且………………11分 对于任意整数构造数列的前2018项如下：‎ 由于数列是无穷数列，故可取，显然满足数列是Y数列。………………12分 综上，集合的元素个数的所有可能值的个数为1009. ………………13分