2009年北京市崇文区中考数学一模试卷

2009年北京市崇文区中考数学一模试卷

‎10 2009年北京市崇文区中考数学一模试卷 一、选择题(共8道小题，每小题4分，共32分)‎ 在下列各题的四个备选答案中，只有一个选项是正确的．‎ ‎1．－3的相反数是( )‎ A． B． C．－3 D．3‎ ‎2．根据北京移动公布的短信发送量显示，从大年三十到初六，7天内北京移动手机用户彩信发送总量超过了67000000条．将67000000用科学记数法表示应为( )‎ A．67×106 B．6.7×106‎ C．6.7×107 D．6.7×108‎ ‎3．为了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班9名学生进行了调查，有关数据如下表：‎ 每周做家务的时间(小时)‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 人数(人)‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ 则这9名学生每周做家务劳动的时间的众数及中位数分别是( )‎ A．3，2.5 B．1，‎2 ‎C．3，3 D．2，2‎ ‎4．如图，＝，弦AB与弦CD交于点E，∠CEB＝80°，则∠CAB等于( )‎ 第4题图 A．30° B．40° C．45° D．60°‎ ‎5．若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数是( )‎ A．4 B．‎5 ‎C．6 D．7‎ ‎6．若．则xy的值为( )‎ A．－8 B．‎8 ‎C．9 D．‎ ‎7．一布袋中有红球8个，白球5个和黑球12个，它们除颜色外没有其他区别，随机地从袋中取出1球是黑球的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．右图是一块带有圆形空洞和矩形空洞的小木板，则下列物体中最有可能既可以堵住圆形空洞，又可以堵住矩形空洞的是( )‎ 第8题图 二、填空题(共4道小题，每小题4分，共16分)‎ ‎9．在函数中，自变量x的取值范围是________．‎ ‎10．分解因式：a3b－ab3＝________．‎ ‎11．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AE＝3，BD＝4，则AC＝________．‎ 第11题图 ‎12．一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是________，第n个数是________(n为正整数)．‎ 三、解答题(共5道小题，共25分)‎ ‎13．(本小题满分5分)‎ 计算：．‎ ‎14．(本小题满分5分)‎ 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．‎ 第14题图 ‎15．(本小题满分5分)‎ 如图，已知AB＝DC，AC＝DB．求证：∠1＝∠2．‎ 第15题图 ‎16．(本小题满分5分)‎ 某公司市场营销部的营销员的个人月收入与该营销员每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：‎ ‎(Ⅰ)求营销员的个人月收入y元与该营销员每月的销售量x万件(x≥0)之间的函数关系式；‎ ‎(Ⅱ)已知该公司某营销员5月份的销售量为1.2万件，求该营销员5月份的收入．‎ 第16题图 ‎17．(本小题满分5分)‎ 已知2x＋y＝0，求的值．‎ 四、解答题(共2道小题，共10分)‎ ‎18．(本小题满分5分)‎ 如图，以等腰△ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE⊥AC，垂足为E．‎ ‎(Ⅰ)求证：DE为⊙O的切线；‎ ‎(Ⅱ)若⊙O的半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长．‎ 第18题图 ‎19．(本小题满分5分)‎ 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．若AC⊥BD，AD＋BC＝10，且∠ABC ‎＝60°，求CD的长．‎ 第19题图 五、解答题(共3道小题，共15分)‎ ‎20．(本小题满分5分)九年级一班的两位学生对本班的一次数学成绩(分数取整数，满分为100分)进行了一次初步统计，80分以上(含80分)有17人，但没有满分，也没有低于30分的．为更清楚了解本班的考试情况，他们分别用两种方式进行了统计分析，如图①和图②所示．请根据图中提供的信息回答下列问题：‎ ‎(Ⅰ)该班60分以下(不含60分)的有________人；‎ ‎(Ⅱ)该班共有________名学生参加了考试；‎ ‎(Ⅲ)补全两个图中三个空缺的部分．‎ 第20题图 ‎21．(本小题满分5分)将进价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，经市场调查得知，该商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚取8000元的利润，该商品的售价应定为多少元?‎ ‎22．(本小题满分5分)‎ 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝‎26厘米，BC＝‎18.5厘米，点E在AD上，且AE＝‎6厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作：‎ 步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN(如图①)；‎ 步骤二，过点P作PT⊥AB，交MN所在的直线于点Q，连结QE(如图②)．‎ 第22题图 ‎(Ⅰ)无论点P在AB边上任何位置，都有PQ________QE(填“＞”、“＝”、“＜”)；‎ ‎(Ⅱ)如图③所示，将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：‎ ‎(i)当点P在A点时，PT与MN交于点Q1，则Q1点的坐标是(________，________)；‎ ‎(ii)当PA＝‎6厘米时，PT与MN交于点Q2，则Q2点的坐标是(________，________)；‎ ‎(iii)当PA＝a厘米时，在图③中用尺规作出MN(不要求写作法，要求保留作图痕迹)，PT与MN交于点Q3，则Q3点的坐标是(________，________)．‎ 六、解答题(共3道小题，共22分)‎ ‎23．(本小题满分7分)‎ 已知：关于x的一元二次方程kx2＋(2k－3)x＋2k－3＝0有两个不相等实数根(k＜0)．‎ ‎(Ⅰ)用含k的式子表示方程的两实数根；‎ ‎(Ⅱ)设方程的两实数根分别是x1，x2，(其中x1＞x2)，若一次函数y＝(3k－1)x＋b与反比例函数y＝的图象都经过点(x1,kx2)，求一次函数与反比例函数的解析式．‎ ‎24．(本小题满分7分)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的解析式；‎ ‎(Ⅱ)探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形?若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；‎ ‎(Ⅲ)直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC＝a ，∠CBE＝b ，求a －b 的值．‎ 第24题图 ‎25．(本小题满分8分)‎ 在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且 ‎∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝CD．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．‎ 第25题图 ‎(Ⅰ)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是____________；此时____________；‎ ‎(Ⅱ)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想(Ⅰ)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明；‎ ‎(Ⅲ)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN＝x，则Q＝________(用x、L表示)．‎ 答 案 ‎10．2009年北京市崇文区中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1. D 2．C 3．D 4．B 5．A 6．A 7．C 8．B 二、填空题 ‎9．x≥－1 10．ab(a＋b)(a－b) 11．9 12．8 ‎ 三、解答题 ‎13．解：‎ ‎＝－1‎ ‎14．解：解不等式5x＋2＞4x，得x＞－2．‎ 解不等式3(5－3x)≥10－4x，得x≤1．‎ ‎∴－2＜x≤1．‎ 把不等式的解集在数轴上表示出来．‎ 第14题答图 ‎15．证明：在△ABC和△DCB中 ‎∴△ABC≌△DCB．∴∠A＝∠D．‎ 又∵∠AOB＝∠DOC，∴∠1＝∠2．‎ ‎16．解：(Ⅰ)依题意，设y＝kx＋b(k≠0)．‎ ‎∵函数图象过(0，400)和(2，1600)两点，‎ 解方程组，得 ‎∴y＝600x＋400(x≥0)．‎ ‎(Ⅱ)当x＝1.2时，y＝600×1.2＋400＝1120(元)‎ 即该营销员5月份的收入为1120元．‎ ‎17．解：‎ ‎．‎ 由2x＋y＝0，得y＝－2x．‎ 代入上式，得原式．‎ 四、解答题 ‎18．解：(Ⅰ)证明：如图，连结AD，连结OD 第18题答图 ‎∵AB是直径，∴AD⊥BC，‎ 又∵△ABC是等腰三角形，‎ ‎∴D是BC的中点．‎ ‎∴OD∥AC．‎ ‎∵DE⊥AC，∴OD⊥DE．‎ ‎∴DE为⊙O的切线．‎ ‎(Ⅱ)在等腰△ABC中，∠BAC＝60°，可知；△ABC是等边三角形．‎ ‎∵⊙O的半径为5，∴AB＝BC＝10，．‎ ‎19．解：如图，作DE⊥BC于E，过D作DF∥AC交BC延长线于F．则四边形ADFC是平行四边形，‎ 第19题答图 ‎∴AD＝CF，DF＝AC．‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形，‎ ‎∴AC＝BD．∴DF＝BD．‎ 又∵AC⊥BD，DF∥AC，∴BD⊥DF．‎ ‎∴△BDF是等腰直角三角形．‎ ‎∴DE＝BF＝(AD＋BC)＝5．‎ 在Rt△CDE中，‎ ‎∵∠DCE＝60°，DE＝CD·sin∠DCE，‎ ‎∴5＝CD·sin60°，∴CD＝10．‎ 五、解答题 ‎20．解：(Ⅰ)该班60分以下(不含60分)的有10人；‎ ‎(Ⅱ)该班共有50名学生参加了考试；‎ ‎(Ⅲ)如图所示．‎ ‎ ‎ ‎① ②‎ 第20题答图 ‎21.解：设涨价x元，则售价为(50＋x)元 依题意，列方程，得 ‎(50＋x－40)(500－10x)＝8000.‎ 整理，得 x2－40x＋300＝0，‎ 解得 x1＝10，x2＝30．‎ 答：售价应定为60或80元．‎ ‎22．解：(Ⅰ)无论点P在AB边上任何位置，都有QP＝QE(填“＞”、“＝”、“＜”)；‎ ‎(Ⅱ)将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：‎ ‎(i)当点P在A点时，PT与MN交于点Q1，Q1点的坐标是(0，3)；‎ ‎(ii)当PA＝6厘米时，PT与MN交于点Q2，Q2点的坐标是(6，6)；‎ ‎(iii)当PA＝a厘米时，在图③中用尺规作出MN(连结EP，做中垂线，作图略)，PT与MN交于点Q3，Q3点的坐标是．‎ 六、解答题 ‎23．解：(Ⅰ)∵kx2＋(2k－3)x＋k－3＝0是关于x的一元二次方程．‎ ‎∴△＝(2k－3)2－4k(k－3)＝9．‎ 由求根公式，得 ‎．∴x＝－1或．‎ ‎(Ⅱ)，．‎ 而x1＞x2，∴x1＝－1，．‎ 由题意，有 解之，得 ‎∴一次函数的解析式为y＝－16x－8，反比例函数的解析式为．‎ ‎24．解：(Ⅰ)∵抛物线y＝ax2＋bx－3与y轴交C点(0，－3)，且OB＝OC＝3OA．‎ ‎∴A(－1，0)，B(3，0)．‎ 代入y＝ax2＋bx－3，得 ‎∴y＝x2－2x－3．‎ ‎(Ⅱ)①当∠P‎1AC＝90°可证△P1AO∽△ACO．‎ ‎∴Rt△P1AO中，tan∠P1AO＝tan∠ACO＝．．‎ ‎②同理：如图当∠P2CA＝90°时，P2(9，0)．‎ ‎③当∠CP‎3A＝90°时，P3(0，0)．‎ 综上，坐标轴上存在三个点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形，分别是，P2(9，0)，P3(0，0)．‎ ‎(Ⅲ)由，得D(0，1)．‎ 由y＝x2－2x－3，得顶点E(1，－4)．‎ ‎∴BC＝3，CE＝,BE＝2．‎ ‎∵BC2＋CE2＝BE2，∴△BCE为直角三角形．‎ ‎．‎ 又∴Rt△DOB中 ．．‎ ‎∠a －∠b ＝∠a －∠DBO＝∠OBC＝45°.‎ 第24题答图 ‎25．解：(Ⅰ)BM、NC、MN之间的数量关系BM＋NC＝MN．此时．‎ 第25题答图 ‎(Ⅱ)猜想：结论仍然成立．‎ 证明：如图，延长AC至E，使CE＝BM，连结DE．‎ ‎∵BD＝CD，且∠BDC＝120°．‎ ‎∴∠DBC＝∠DCB＝30°．‎ 又△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠MBD＝∠NCD＝90°．‎ 在△MBD与△ECD中：‎ ‎∴△MBD≌△ECD(SAS)．‎ ‎∴DM＝DE．∠BDM＝∠CDE．‎ ‎∴∠EDN＝∠BDC－∠MDN＝60°.‎ 在△MDN与△EDN中：‎ ‎∴△MDN≌△EDN(SAS)．‎ ‎∴MN＝NE＝NC＋BM．‎ ‎△AMN的周长Q＝AM＋AN＋MN ‎＝AM＋AN＋(NC＋BM)‎ ‎＝(AM＋BM)＋(AN＋NC)‎ ‎＝AB＋AC ‎＝2AB．‎ 而等边△ABC的周长L＝3AB ‎．‎ ‎(Ⅲ)如图③，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN＝x，‎ 则(用x、L表示)．‎