河南省郑州市重点高中2020届高三上学期期中考试数学文试题

河南省郑州市重点高中2020届高三上学期期中考试数学文试题

河南省郑州市重点高中2019-2020学年高三期中考试文科数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 函数f（x）=的定义域是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 下列各式的运算结果为实数的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 设集合A={x|x2＞4}，A∩B={x|x＜-2}，则集合B可以为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 函数f（x）=（sinx+cosx）2的最小正周期为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 在平行四边形ABCD中，A（1，2），B（-2，0），=（2，-3），则点D的坐标为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 若函数f（x）=1+|x|+x3，则=（　　）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ 7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则=（　　）‎ A. B. 16 C. D. 9‎ 8. 已知函数f（x）=sinx和g（x）=的定义域都是[-π，π]，则它们的图象围成的区域面积是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 函数f（x）=sinx•ln|x|的图象大致是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 若存在等比数列{an}，使得a1（a2+a3）=6a1-9，则公比q的最大值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 11. 已知函数f（x）=2cos2（2x+）+sin（4x+），则下列判断错误的是（　　）‎ A. 为偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 的图象关于点对称 12. 已知函数的导函数满足对恒成立,则下列不等式中一定成立的是(    )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 已知全集U=R，集合，则∁UP=______．‎ 1. 若函数f（x）=arcsin（x-1）-cos（）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于另外两点P、Q，O是坐标原点，则（+）•=______．‎ 2. 若集合A={x|x2-（a+2）x+2-a＜0，x∈Z}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是______‎ 3. 正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、n∈R，则的最大值是______‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 4. 函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，） 部分图象如图所示． （1）求f（x）的最小正周期及解析式； （2）设g（x）=f（x）+sin2x，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 5. 等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）令Cn=设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n． ‎ 6. 已知函数，； 若函数在上存在零点，求a的取值范围； 设函数，，当时，若对任意的，总存在，使得，求b的取值范围． ‎ 1. 在△ABC中，3sinA =2sinB，tanC=2． （1）证明：△ABC为等腰三角形． （2）若△ABC的面积为2，D为AC边上一点，且BD=3CD，求线段CD的长． ‎ 2. 已知函数f（x）=（x-a-1）ex+ax． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若∃x0∈[1，2]，f（x0）＜0，求a的取值范围． ‎ ‎ ‎ 3. 若数列{an}、{bn}满足|an+1-an|=bn（n∈N*），则称{bn}为数列{an}的“偏差数列”． （1）若{bn}为常数列，且为{an}的“偏差数列”，试判断{an}是否一定为等差数列，并说明理由； （2）若无穷数列{an}是各项均为正整数的等比数列，且a3-a2=6，{bn}为数列{an}的“偏差数列”，求的值； （3）设，{bn}为数列{an}的“偏差数列”，a1=1，a2n≤a2n-1且a2n≤a2n+1，若|an|≤M对任意n∈N*恒成立，求实数M的最小值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由f（x）=，令x-4≥0，解得x≥4， 所以函数f（x）的定义域为{x|x≥4}． 故选：A． 函数f（x）有意义即保证二次根式的被开方为非负． 本题考查了二次根式的被开方非负，以及函数定义域的求法问题，是基础题． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵-i（1+i）=1-i；i（1-i）=1+i；（1+i）-（1-i）=2i；（1+i）（1-i）=1-i2=1+1=2， 故选：D． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查运算求解能力，是基础题． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 可解出集合A，然后进行交集的运算即可． 【解答】 解：A={x|x＜-2，或x＞2}； ∴B={x|x＜1}时，A∩B={x|x＜-2}． 故选C． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查三角恒等变换，考查三角函数的周期性及其求法，属于基础题． 将f（x）=（sinx+cosx）2展开，可得f（x）=1+sin2x，从而可求得其最小正周期． 【解答】‎ 解：∵f（x）=（sinx+cosx）2 =1+2sinxcosx =1+sin2x， ∴f（x）的最小正周期为T==π． 故选：B．‎ ‎ 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解：解：设C（x，y），D（s，t），则： ； ∴； ∴； ∴C（3，-1）； 又，； ∴（3-s，-1-t）=（-3，-2）； ∴； ∴； ‎ ‎∴点D的坐标为（6，1）． 故选：A． 可设C（x，y），D（s，t），从而根据条件得出（x-1，y-2）=（2，-3），从而可求出，即C（3，-1），并可求出，根据即可求出点D的坐标． 考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，相等向量的概念． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 考查对数的运算性质，对数函数的单调性，已知函数求值的方法． 可知，从而可根据f（x）的解析式得出=1+lg2+（lg2）3+1+lg2+（-lg2）3+1+lg5+（lg5）3+1+lg5+（-lg5）3=6． 【解答】 解： =f（lg2）+f（-lg2）+f（lg5）+f（-lg5） =1+lg2+（lg2）3+1+lg2+（-lg2）3+1+lg5+（lg5）3+1+lg5+（-lg5）3 =4+2（lg2+lg5）=6． 故选：C． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵∠C=90°， ∴=0． ∴===16． 故选：B． 利用向量垂直与数量积的关系、向量的三角形法则即可得出． 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的三角形法则，属于基础题． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：g（x）=的图象为圆心为O半径为π的圆的上半部分， ∵y=sinx是奇函数， ∴f（x）在[-π，0]上与x轴围成的面积与在[0，π]上与x轴围成面积相同， 则两个函数图象之间围成的面积等价为圆的上半部分的面积 S=， 故选：C． 作出f（x）与g（x）的图象，结合图象的对称性进行求解即可． 本题主要考查区域面积的计算，作出两个函数的图象，利用图象的对称性，利用割补法是解决本题的关键，属基础题． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：f（-x）=sin（-x）ln|-x|=-sinxln|x|=-f（x）， ∴函数f（x）为奇函数， ∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除B，C， 当x→+∞时，-1≤sinx≤1，ln|x|→+∞， ∴f（x）单调性是增减交替出现的，故排除，D，  故选：A． 先根据函数的奇偶性，可排除B，C，根据函数值的符号即可排除D ‎． 本题考查了函数图象的识别，根据根据函数值的符号即可判断，属于基础题． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了等比数列的通项公式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 由a1（a2+a3）=6a1-9，化为：a12（q+q2）-6a1+9=0，当q+q2=0时，易知q=-1，满足题意，当q+q2≠0，△≥0，解得q范围即可得出． 【解答】‎ 解：∵a1（a2+a3）=6a1-9， ∴a12（q+q2）-6a1+9=0， 当q+q2=0时，易知q=-1，满足题意， 当q+q2≠0，△=36-36（q+q2）≥0，解得≤q≤且q≠0，q≠-1． ∴q的最大值为． 故选：D．‎ ‎ 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：f（x）=1+cos（4x+）+sin（4x+）=1+2sin（4x++）=1+2cos4x， 则A，B，C均正确，D错误． 故选：D． 化简f（x）=1+2cos4x后，根据函数的性质可得． 本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象及其性质，运算求解能力，属中档题． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由（x+xlnx）f'（x）＜f（x），x∈（，+∞）， 得（1+lnx）f'（x）-f（x）＜0， 令，则＜0． ∴故g（x）在（，+∞）递减； ∴g（e）＜g（1），即⇒f（e）＜2f（1）． 故选：A． 令，可得＜0．可得g（x）在（，+∞）递减，即可求解． 本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 13.【答案】（-∞，1] ‎ ‎【解析】解：由P中y=，0＜x＜1，得到y＞1，即P=（1，+∞）， ∵全集U=R， ∴∁UP=（-∞，1]． 故答案为：（-∞，1] 求出P中y的范围确定出P，根据全集U=R，求出P的补集即可． 此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键． 14.【答案】2 ‎ ‎【解析】解：因为f（1）=0，f（x）=arcsin（x-1）-cos（）在区间[0，2]上单调递减且关于（1，0）对称， 所以点A为（1，0），P、Q两点关于点A对称，所以， 所以（）=22=2‎ ‎， 故答案为：2． 先分别观察函数y=arcsin（x-1）和y=cos（）会发现两个函数都在区间[0，2]上单调递减且关于（1，0）对称，所以f（x）=arcsin（x-1）-cos（）在区间[0，2]上单调递减且关于（1，0）对称，所以得到点A（1，0），且A为PQ中点，再结合向量的中点公式和数量积运算解题． 本题主要考查三角函数与反三角函数的图象与性质，以及向量的中点公式与数量积，熟悉三角函数与反三角函数的单调性与对称性是解决本题的关键． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：∵x2-（a+2）x+2-a＜0 且a＞0 ∴x2-2x+2＜a（x+1） 令f（x）=x2-2x+2；g（x）=a（x+1） ∴A={x|f（x）＜g（x），x∈Z} ∴y=f（x）是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线； 而y=g（x）一次函数，图象是过一定点（-1，0）的动直线． 又∵x∈Z，a＞0．数形结合，可得：． 故答案为：（，] 因为集合A中的条件是含参数的一元二次不等式，首先想到的是十字相乘法，但此题行不通；应该把此不等式等价转化为f（x）＜g（x）的形式，然后数形结合来解答，需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数． 此题主要考查集合A的几何意义的灵活运用，利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题． 16.【答案】1 ‎ ‎【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，则A（-1，-1），B（1，-1），D（-1，1），P（，）， 所以=（+1，sinθ+1），=（2，0），=（0，2）， 又， 所以， 则=， 其几何意义为过点E（-3，-2）与点P（cosθ，sinθ）的直线的斜率， 设直线方程为y+2=k（x+3）， 点P的轨迹方程为x2+y2=1， 由直线与圆的位置关系有： ， 解得：， 即的最大值是1， 故答案为：1 由平面向量的坐标运算得：则A（-1，-1），B（1，-1），D（-1，1），P（，），所以=（+1，sinθ+1），=（2，0），=（0，2）， 又，所以，则=，其几何意义为过点E（-3，-2）与点P（cosθ，sinθ）的直线的斜率， 由点到直线的距离得：设直线方程为y+2=k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2=1，由点到直线的距离有：，解得：，即的最大值是1‎ ‎，得解 本题考查了平面向量的坐标运算、直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属难度较大的题型 17.【答案】解：（1）由函数f（x）=Acos（ωx+φ）的部分图象知，A=1，=-=， ∴T=π，f（x）的最小正周期为π； 由ω==2，且x=时，f（）=1， ∴2×+φ=0，解得φ=-， ∴f（x）的解析式为f（x）=cos（2x-）； （2）函数g（x）=f（x）+sin2x =cos（2x-）+sin2x =cos2x+sin2x =sin（2x+）， 当x∈[0，]时，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[-，1]， ∴函数g（x）在区间上的最大值为，最小值为． ‎ ‎【解析】（1）由函数f（x）=Acos（ωx+φ）的部分图象写出A、T和ω、φ的值，即可写出f（x）的解析式； （2）化函数g（x）为正弦型函数，求出g（x）在区间上的最大和最小值． 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题． 18.【答案】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q， 由b2+S2=10，a5-2b2=a3． 得，解得 ∴an=3+2（n-1）=2n+1，． （Ⅱ）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2）， 则n为奇数，cn==， n为偶数，cn=2n-1． ∴T2n=（c1+c3+…+c2n-1）+（c2+c4+…+c2n） = ==． ‎ ‎【解析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出； （Ⅱ）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2）．则n为奇数，cn==．“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.【答案】解：（1）∵f（x）=x2-4x+a+3的函数图象开口向上，对称轴为x=2， ∴f（x）在[-1，1]上是减函数， ∵函数y=f（x）在[-1，1]上存在零点， ∴f（-1）f（1）≤0，即a（8+a）≤0， 解得：-8≤a≤0． （2）a=3时，f（x）=x2-4x+6， ∴f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增， ∴f（x）在[2，4]上的最小值为f（2）=2，最大值为f（4）=6． 即f（x）在[2，4]上的值域为[2，6]． 设g（x）在[1，4]上的值域为M， ∵对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2）， ∴M⊆[2，6]． 当b=0时，g（x）=5，即M={5}，符合题意， 当b＞0时，g（x）=bx+5-2b在[1，4]上是增函数， ∴M=[5-b，5+2b]， ‎ ‎∴，解得0＜b≤． 当b＜0时，g（x）=bx+5-2b在[1，4]上是减函数， ∴M=[5+2b，5-b]， ∴，解得-1≤b＜0． 综上，b的取值范围是． ‎ ‎【解析】（1）根据f（x）在[-1，1]上单调递减且存在零点可得f（-1）f（1）≤0，从而解出a的范围； （2）对b进行讨论，判断g（x）的单调性，分别求出f（x），g（x）在[1，4]上的值域，令g（x）的值域为f（x）的值域的子集列出不等式组得出b的范围． 本题考查了二次函数的单调性判断，值域计算，零点的存在性定理，分类讨论思想，属于中档题． 20.【答案】（1）证明：∵tanC=2＞0，∴C为锐角，且sinC=，cosC=． 过A做AH⊥BC，垂足为H，则CH=bcosC=， ∵3sinA=2sinB，∴3a=2b，即a=， ∴H是BC的中点，又AH⊥BC， ∴AB=AC， ∴△ABC为等腰三角形． （2）解：AH=bsinC=， ∴S△ABC===2， 解得b=3，∴BC=2， 在△BCD中，由余弦定理得cosC==， 解得：CD=． ‎ ‎【解析】（1）过A做BC的垂线AH，根据C的大小可得H为BC的中点，从而得出AB=AC； （2）根据面积求出BC，在△BCD中根据余弦定理计算CD． 本题考查了余弦定理，三角形中的几何计算，属于中档题． 21.【答案】解：（1）函数f（x）=（x-a-1）ex+ax的定义域为R， f′（x）=（x-a）ex-x+a=（x-a）（ex-1）．令f′（x）=0，可得x=a，或x=0， ①当a＜0时，x∈（-∞，a）∪（0，+∞），f′（x）＞0，x∈（a，0），f′（x）＜0． ∴函数f（x）在（-∞，a），（0，+∞）上递增，在（a，0）递减； ②当a=0时，f′（x）≥0恒成立，∴函数f（x）在（-∞，+∞）上递增； ③当a＞0时，x∈（-∞，0）∪（a，+∞），f′（x）＞0，x∈（0，a），f′（x）＜0． ∴函数f（x）在（-∞，0），（a，+∞）上递增，在（0，a）递减； （2）设g（x）=x-ex，g′（x）=1-ex 在[1，2]，g′（x）≤0恒成立，∴g（x）单调递减，g（x）≤g（1）=1-e＜0 可得f（x0）＜0⇔（x0-a-1）e-+ax0＜0． ⇔a（x0-e）+e-． ⇔∃x0∈[1，2]，使得a＞ 设h（x）=，x∈[1，2]， ， 设φ（x）=，x∈[1，2]，φ′（x）=x-ex＜0在[1，2]恒成立． ∴φ（x）在[1，2]单调递减，∴φ（x）≤φ（1）=， ∴h′（x）＞0在[1，2]恒成立． ∴h（x）在[1，2]单调递增，h（x）min=h（1）= 综上，a的取值范围为（） ‎ ‎【解析】（1）求出函数的导数，分a＞0，a＜0，a=0求出函数的单调区间即可； （2）问题转化为a（x0-e）+e-．⇔∃x0∈[1，2]，使得a＞设h（x）=，x∈[1，2]，根据函数的单调性求出a的范围即可． 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数存在性问题，考查转化思想，是一道中档题． 22.【答案】解：（1）{an}不一定为等差数列，如，则bn=2为常数列，但{an}不是等差数列， （2）设数列{an}的公比为q，则由题意，a1、q均为正整数， 因为a3-a2=6，所以a1q（q-1）=6=1×2×3， 解得或， 故或（n∈N*）， ①当时，，， ==； ②当时，，， ==； 综上，的值为或； （3）由a2n≤a2n-1且a2n≤a2n+1得，= 故有：，， ……， 累加得： = =， 又a1=1，所以， 当n为奇数时，{an}单调递增，an＞0，， 当n为偶数时，{an}单调递减，an＜0，， 从而|an|≤，所以M≥，即M的最小值为． ‎ ‎【解析】（1）{an}不一定为等差数列，如； （2）设数列{an}的公比为q，解方程可得首项和公比，由等比数列的通项公式和求和公式，计算可得所求值； （3）由累加法可得数列{an}的通项公式，讨论n为奇数或偶数，求得极限，由不等式恒成立思想可得M的最小值． 本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查分类讨论思想方法，化简运算能力，属于难题． ‎