2021高考数学一轮复习课时作业26平面向量基本定理及坐标表示理

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文档介绍

2021高考数学一轮复习课时作业26平面向量基本定理及坐标表示理

课时作业26 平面向量基本定理及坐标表示 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1.[2020·湖南重点中学联考]已知m=(5,12),则与m方向相同的单位向量的坐标是(  )‎ A.(,) B. (,)‎ C. (,) D.(-,)‎ 解析:设所求向量为n=λm(λ>0),∵m=(5,12),∴n=(5λ,12λ).∵|n|=1,∴25λ2+144λ2=1,得λ=,∴n=(,).故选A项.‎ 答案:A ‎2.已知点A(-1,5)和向量a=(2,3),若=‎3a,则点B的坐标为(  )‎ A.(7,4)   B.(7,14)‎ C.(5,4) D.(5,14)‎ 解析:设点B的坐标为(x,y),则=(x+1,y-5).‎ 由=3a,得解得 答案:D ‎3.[2020·衡水中学调研卷]设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),则“a=(4,2)”是“a∥b”成立的是(  )‎ A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若a=(4,2),则|a|=2,且a∥b都成立;‎ 因a∥b,设a=λb=(2λ,λ),由|a|=2,得4λ2+λ2=20.‎ ‎∴λ2=4,∴λ=±2.‎ ‎∴a=(4,2)或a=(-4,-2).‎ 因此“a=(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件.‎ 答案:C 6‎ ‎4.[2020·四川绵阳联考]如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,且BD=2DC.若=m+n(m,n∈R),则m-n=(  )‎ A.2 B.1‎ C.-2 D.3‎ 解析:∵=2,∴-=2(-),∴=-+,∴m=-,n=,∴m-n=-2.故选C项.‎ 答案:C ‎5.[2019·福建三明期末]在△ABC中,3=,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若=λ+μ,则λ·μ=(  )‎ A.- B.- C. D. 解析:如图,∵3=,O为AD的中点,∴==+=+×=+(-)=-+=λ+μ,∴λ=-,μ=,∴λ·μ=-.故选B项.‎ 答案:B 二、填空题 ‎6.[2020·广州市高中综合测试]已知向量a=(m,2),b=(1,1),若|a+b|=|a|+|b|,则实数m=________.‎ 6‎ 解析:解法一 a+b=(m+1,3),|a+b|=,|a|=,|b|=,由|a+b|=|a|+|b|,得=+,两边分别平方得m2+2m+10=m2+6+2×,即m+2=×,两边分别平方得m2+4m+4=2m2+8,解得m=2.‎ 解法二 a·b=(m,2)·(1,1)=m+2,|a|=,|b|==,由|a+b|=|a|+|b|,得a2+b2+2a·b=a2+b2+2|a||b|,即a·b=|a||b|,故m+2=×,两边分别平方得m2+4m+4=2m2+8,解得m=2.‎ 答案:2‎ ‎7.[2020·天津二十四中月考]已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且p∥q,则|p+q|的值为________.‎ 解析:∵p∥q,∴x=-4,∴q=(-4,6),∴p+q=(-2,3),∴|p+q|=.‎ 答案: ‎8.[2020·石家庄检测]平行四边形ABCD中,M为BC的中点,若=λ+μ,则λμ=________.‎ 解析:∵=-=-=-2=3-2,∴=λ+3μ-2μ,∴(1-3μ)=(λ-2μ),∵和是不共线向量,‎ ‎∴解得∴λμ=.‎ 答案: 三、解答题 ‎9.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设=a,=b,试用a,b为基底表示向量,,.‎ 解析:=++=-b-a+b=b-a,‎ =+=-b+(b-a)=b-a,‎ =+=-b-(b-a)=a-b.‎ ‎10.已知a=(1,0),b=(2,1),‎ ‎(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?‎ 6‎ ‎(2)若=‎2a+3b,=a+mb且A、B、C三点共线,求m的值.‎ 解析:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),‎ a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).‎ ‎∵ka-b与a+2b共线,‎ ‎∴2(k-2)-(-1)×5=0,‎ 即2k-4+5=0,得k=-.‎ ‎(2)解法一 ∵A、B、C三点共线,‎ ‎∴可设=λ.‎ 即2a+3b=λ(a+mb),‎ ‎∴解得m=.‎ 解法二 =2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),‎ =a+mb=(1,0)+m(2,1)=(‎2m+1,m),‎ ‎∵A、B、C三点共线,‎ ‎∴∥,‎ ‎∴‎8m-3(‎2m+1)=0,‎ 即2m-3=0,‎ ‎∴m=.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11.[2020·甘肃酒泉五校联考]已知a=(3,-‎2m),b=(1,m-2)是同一平面内的两个向量,且该平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是(  )‎ A.(,+∞) B.(-∞,)∪(,+∞)‎ C.(-∞,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)‎ 解析:由平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),可知a,b是一组基底向量,所以a,b不共线,则3(m-2)≠-2m,解得m≠,所以实数m的取值范围是(-∞,)∪(,+∞).故选B项.‎ 6‎ 答案:B ‎12.[2020·甘肃兰州一中月考]已知a,b为平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足c+a=λ(c+b)(λ∈R),则|c|的最小值为________.‎ 解析:∵c+a=λ(c+b)且λ≠1,∴c=(-a)+(-b).∵+=1,∴c,-a,-b三个向量共起点且其终点共线.如图,令=-a,=-b,=c,易知A,B,C三点共线,∴|c|的最小值为点O到直线AB的距离.∵a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,∴O到直 线AB的距离为,即|c|的最小值为.‎ 答案: ‎13.[2020·河北百校联盟联考]已知在△ABC中,点D满足2+=0,过点D的直线l与直线AB,AC分别交于点M,N,=λ,=μ.若λ>0,μ>0,则λ+μ的最小值为________.‎ 解析:连接AD.因为2+=0,所以=,=+=+=+(-)=+.因为D、M、N三点共线,所以存在x∈R,使=x+(1-x),则=xλ+(1-x)μ,所以xλ+(1-x)·μ=+,根据平面向量基本定理,得xλ=,(1-x)μ=,所以x=,1-x=,所以+=1,所以λ+μ=(λ+μ)=≥,当且仅当λ=μ时等号成立,∴λ+μ的最小值为.‎ 答案: 6‎ 6‎
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