- 2021-04-22 发布 |
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文档介绍
2021高考数学一轮复习课时作业26平面向量基本定理及坐标表示理
课时作业26 平面向量基本定理及坐标表示 [基础达标] 一、选择题 1.[2020·湖南重点中学联考]已知m=(5,12),则与m方向相同的单位向量的坐标是( ) A.(,) B. (,) C. (,) D.(-,) 解析:设所求向量为n=λm(λ>0),∵m=(5,12),∴n=(5λ,12λ).∵|n|=1,∴25λ2+144λ2=1,得λ=,∴n=(,).故选A项. 答案:A 2.已知点A(-1,5)和向量a=(2,3),若=3a,则点B的坐标为( ) A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5,14) 解析:设点B的坐标为(x,y),则=(x+1,y-5). 由=3a,得解得 答案:D 3.[2020·衡水中学调研卷]设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),则“a=(4,2)”是“a∥b”成立的是( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若a=(4,2),则|a|=2,且a∥b都成立; 因a∥b,设a=λb=(2λ,λ),由|a|=2,得4λ2+λ2=20. ∴λ2=4,∴λ=±2. ∴a=(4,2)或a=(-4,-2). 因此“a=(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件. 答案:C 6 4.[2020·四川绵阳联考]如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,且BD=2DC.若=m+n(m,n∈R),则m-n=( ) A.2 B.1 C.-2 D.3 解析:∵=2,∴-=2(-),∴=-+,∴m=-,n=,∴m-n=-2.故选C项. 答案:C 5.[2019·福建三明期末]在△ABC中,3=,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若=λ+μ,则λ·μ=( ) A.- B.- C. D. 解析:如图,∵3=,O为AD的中点,∴==+=+×=+(-)=-+=λ+μ,∴λ=-,μ=,∴λ·μ=-.故选B项. 答案:B 二、填空题 6.[2020·广州市高中综合测试]已知向量a=(m,2),b=(1,1),若|a+b|=|a|+|b|,则实数m=________. 6 解析:解法一 a+b=(m+1,3),|a+b|=,|a|=,|b|=,由|a+b|=|a|+|b|,得=+,两边分别平方得m2+2m+10=m2+6+2×,即m+2=×,两边分别平方得m2+4m+4=2m2+8,解得m=2. 解法二 a·b=(m,2)·(1,1)=m+2,|a|=,|b|==,由|a+b|=|a|+|b|,得a2+b2+2a·b=a2+b2+2|a||b|,即a·b=|a||b|,故m+2=×,两边分别平方得m2+4m+4=2m2+8,解得m=2. 答案:2 7.[2020·天津二十四中月考]已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且p∥q,则|p+q|的值为________. 解析:∵p∥q,∴x=-4,∴q=(-4,6),∴p+q=(-2,3),∴|p+q|=. 答案: 8.[2020·石家庄检测]平行四边形ABCD中,M为BC的中点,若=λ+μ,则λμ=________. 解析:∵=-=-=-2=3-2,∴=λ+3μ-2μ,∴(1-3μ)=(λ-2μ),∵和是不共线向量, ∴解得∴λμ=. 答案: 三、解答题 9.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设=a,=b,试用a,b为基底表示向量,,. 解析:=++=-b-a+b=b-a, =+=-b+(b-a)=b-a, =+=-b-(b-a)=a-b. 10.已知a=(1,0),b=(2,1), (1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线? 6 (2)若=2a+3b,=a+mb且A、B、C三点共线,求m的值. 解析:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1), a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2). ∵ka-b与a+2b共线, ∴2(k-2)-(-1)×5=0, 即2k-4+5=0,得k=-. (2)解法一 ∵A、B、C三点共线, ∴可设=λ. 即2a+3b=λ(a+mb), ∴解得m=. 解法二 =2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3), =a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m), ∵A、B、C三点共线, ∴∥, ∴8m-3(2m+1)=0, 即2m-3=0, ∴m=. [能力挑战] 11.[2020·甘肃酒泉五校联考]已知a=(3,-2m),b=(1,m-2)是同一平面内的两个向量,且该平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是( ) A.(,+∞) B.(-∞,)∪(,+∞) C.(-∞,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 解析:由平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),可知a,b是一组基底向量,所以a,b不共线,则3(m-2)≠-2m,解得m≠,所以实数m的取值范围是(-∞,)∪(,+∞).故选B项. 6 答案:B 12.[2020·甘肃兰州一中月考]已知a,b为平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足c+a=λ(c+b)(λ∈R),则|c|的最小值为________. 解析:∵c+a=λ(c+b)且λ≠1,∴c=(-a)+(-b).∵+=1,∴c,-a,-b三个向量共起点且其终点共线.如图,令=-a,=-b,=c,易知A,B,C三点共线,∴|c|的最小值为点O到直线AB的距离.∵a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,∴O到直 线AB的距离为,即|c|的最小值为. 答案: 13.[2020·河北百校联盟联考]已知在△ABC中,点D满足2+=0,过点D的直线l与直线AB,AC分别交于点M,N,=λ,=μ.若λ>0,μ>0,则λ+μ的最小值为________. 解析:连接AD.因为2+=0,所以=,=+=+=+(-)=+.因为D、M、N三点共线,所以存在x∈R,使=x+(1-x),则=xλ+(1-x)μ,所以xλ+(1-x)·μ=+,根据平面向量基本定理,得xλ=,(1-x)μ=,所以x=,1-x=,所以+=1,所以λ+μ=(λ+μ)=≥,当且仅当λ=μ时等号成立,∴λ+μ的最小值为. 答案: 6 6查看更多