2018-2019学年河南省南阳市第一中学高二下学期第四次月考数学（理)试题 解析版

2018-2019学年河南省南阳市第一中学高二下学期第四次月考数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 河南省南阳市第一中学2018-2019学年高二下学期第四次月考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知（其中为虚数单位），则的虚部为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以，故的虚部为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎2．对两个分类变量进行独立性检验的主要作用是（ ）‎ A．判断模型的拟合效果 B．对两个变量进行相关分析 C．给出两个分类变量有关系的可靠程度 D．估计预报变量的平均值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据独立性检验的概念，即可作出判定，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 对两个分类变量进行独立性检验目的就是明确两个分类变量有关系的可靠程度，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了独立性检验的概念及判定，其中熟记独立性检验的概念是判定的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．‎ ‎3．已知变量与负相关，且由观测数据得到样本的平均数，，则由观测数据得到的回归方程可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用变量与负相关，排除正相关的选项，然后利用回归直线方程经过样本中心验证即可．‎ ‎【详解】‎ 解：因为变量与负相关，‎ 而B，C正相关，‎ 故排除选项B，C；‎ 因为回归直线方程经过样本中心，‎ 把代入解得，‎ 故A成立，‎ 把代入解得，‎ ‎，‎ 故D不成立，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，是基础题．‎ ‎4．已知某批电子产品的尺寸服从正态分布 ‎，从中随机取一件，其尺寸落在区间的概率为（附：若随机变量服从正态分布，则（　　）‎ A． B．0.2781 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，再由求解．‎ ‎【详解】‎ 解：由已知，得，‎ 所以．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于简单题．‎ ‎5．设，随机变量的分布列是 则当在内增大时（ ）‎ A．减小，减小 B．减小，增大 C．增大，减小 D．增大，增大 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数学期望和方差的计算公式求得关于的函数关系式，根据函数单调性求得结果.‎ ‎【详解】‎ 在内增大时，减小 在内增大时，减小 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离散型随机变量的数学期望和方差的计算，考查对于公式的掌握程度和计算能力.‎ ‎6．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 中，给赋值1求出各项系数和,列出方程求出，展开式中常数项为的常数项与的系数和，利用二项展开式的通项公式求出通项,进而可得结果 ‎【详解】‎ 令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为， ‎ ‎ ‎ ‎， 展开式中常数项为的常数项与的系数和 ‎ 展开式的通项为， 令得;令，无整数解， 展开式中常数项为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎7．函数图象的大致形状是（　　）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件先判断函数的奇偶性和对称性，利用的值的符号进行排除即可．‎ ‎【详解】‎ 则 则是偶函数，图象关于轴对称，排除 当时，，排除 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键．‎ ‎8．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据先分组，后分配的原则得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，先分组，可得，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．‎ ‎9．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算所有“重卦”和恰有 个阳爻的“重卦”种数，根据古典概型概率计算公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 所有“重卦”共有：种；恰有个阳爻的情况有：种 恰有个阳爻的概率为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型中的概率求解问题，属于基础题.‎ ‎10．已知实数，满足，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，得，变形为，令，，求导求最值得,结合取等条件求出x,y即可 ‎【详解】‎ 设，，则 ‎，‎ 令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,则在单调递增单调递减，‎ 令，则单调递减，单调递增 由题意，，，，,故x+y=2‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查导数与函数的综合，导数与函数的最值问题，换元思想，将题目转化为两个函数的最值问题是关键，是难题 ‎11．一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（ ）‎ A．若，则乙有必赢的策略 B．若，则甲有必赢的策略 C．若，则甲有必赢的策略 D．若，则乙有必赢的策略 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 乙若想必胜，则最后一次抓取前必须有1~3个球，根据试验法可得解。‎ ‎【详解】‎ 若，则乙有必赢的策略。‎ ‎（1）若乙抓1球，甲抓1球时，乙再抓3球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。‎ ‎（2）若乙抓1球，甲抓2球时，乙再抓2球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。‎ ‎（3）若乙抓1球，甲抓3球时，乙再抓1球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。‎ 所以若，则乙有必赢的策略 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查了合情推理的简单应用，属于难题。‎ ‎12．已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两条直线的公切线，表示出切点坐标，构造函数，利用导函数求得极值点；根据极值点，求出两侧的单调性，再根据单调性求得的最大值。‎ ‎【详解】‎ 的公共切点为，设切线与的图象相切与点 ‎ ‎ 由题意可得 ，解得 ‎ 所以 ‎ 令 ‎ 则 令，解得 ‎ 当 时， ‎ 当 时， ，函数在上单调递增 当 时， ，函数在上单调递减 当t从右侧趋近于0时， 趋近于0‎ ‎ ‎ 当t趋近于 时， 趋近于0‎ 所以 ‎ 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的综合应用，利用导数的单调性求得值域，属于难题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定积分的几何意义可求的值，再由微积分基本定理求得的值，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，，‎ 等于半径为1的圆的面积的四分之一,为，‎ 所以，‎ ‎，则；‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.‎ ‎14．“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数经过6次运算后得到1，则的值为__________．‎ ‎【答案】10或64.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从第六项为1出发，按照规则逐步进行逆向分析，可求出的所有可能的取值．‎ ‎【详解】‎ 如果正整数按照上述规则经过6次运算得到1，‎ 则经过5次运算后得到的一定是2；‎ 经过4次运算后得到的一定是4；‎ 经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）；‎ 经过2次运算后得到的是16；‎ 经过1次运算后得到的是5或32；‎ 所以开始时的数为10或64．‎ 所以正整数的值为10或64．‎ 故答案为：10或64．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查推理的应用，解题的关键是按照逆向思维的方式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎15．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有3种不同的植物可供选择，则有_____种栽种方案．‎ ‎【答案】66‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分3种情况讨论：①当A、C、E种同一种植物，②当A、C、E种二种植物，③当A、C、E种三种植物，再由分类计数原理，即可求得，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，分3种情况讨论：‎ ‎①当A、C、E种同一种植物，此时共有3×2×2×2=24种方法；‎ ‎②当A、C、E种二种植物，此时共有C32×A32×2×1×1=36种方法；‎ ‎③当A、C、E种三种植物，此时共有A33×1×1×1=6种方法；‎ 则一共有24+36+6=66种不同的栽种方案；‎ 故答案为：66．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分类计数原理，及有关排列组合的综合问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件，解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，同时在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．‎ ‎16．已知函数,且对任意的恒成立,则实数的最大值为______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 由题意可得对任意的恒成立,令,,易知存在，使，且在上是减函数，在上是增函数,即函数的最小值为,又,,因此,所以，即实数的最大值为1.‎ 点睛：不等式恒成立问题的常用解法：‎ ‎（1）化不等式为，然后求的最小值，由这个最小值可得参数范围．‎ ‎（2）利用参数分离法，化不等式为，一般化为（或）然后求得的最大值，解不等式，可得结论．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．若二项式的展开式中的常数项为第5项.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求展开式中系数最大的项；‎ ‎【答案】（1）10； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二项式的展开式的通项公式求出的值，（2）根据二项式的展开式的通项公式系数列不等式组，解得系数最大时的项数，再代入通项公式得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为二项式的展开式的通项公式为，‎ 所以x的指数为.‎ 又因为的展开式中的常数项为第五项，‎ 所以,且，解得n=10. ‎ ‎ (2)因为，其系数为.‎ 设第k+1()项的系数最大，‎ 则， ‎ 化简得即，‎ 因为,所以，即第四项系数最大，且.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式的展开式的通项公式及其应用，考查综合分析与运算能力，属中档题.‎ ‎18．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）‎ 经常网购 偶尔或不用网购 合计 男性 ‎50‎ ‎100‎ 女性 ‎70‎ ‎100‎ 合计 ‎（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？‎ ‎（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；‎ ‎②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．‎ 参考公式：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①；②数学期望为6，方差为2.4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）完成列联表，由列联表，得，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．‎ ‎（2）① 由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．‎ ‎② 由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意，由此能求出随机变量的数学期望和方差．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）完成列联表（单位：人）：‎ 经常网购 偶尔或不用网购 合计 男性 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 女性 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ 合计 ‎120‎ ‎80‎ ‎200‎ 由列联表，得：‎ ‎，‎ ‎∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．‎ ‎（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，‎ 偶尔或不用网购的有人，‎ ‎∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：‎ ‎．‎ ‎② 由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，‎ 将频率视为概率，‎ ‎∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，‎ 由题意，‎ ‎∴随机变量的数学期望，‎ 方差D（X）=．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19．5名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法：‎ ‎（1）女生都不相邻有多少种排法？‎ ‎（2）男生甲、乙、丙排序一定（只考虑位置的前后顺序)，有多少种排法?‎ ‎（3）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？‎ ‎【答案】（1）43200（2）60480（3）287280‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）不相邻排法，可使用插空法，先将男生排好，再将男生排入女生的空档中；（2）可以先将所有学生任意全排列，再将男生三人的多余排法除去；（3）分类，先考虑甲在末位；甲在首位，乙在末位；甲不在首位，乙在末位；甲乙都在首位与末位的．‎ 试题解析：解：（1）任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有 (种)不同排法.‎ ‎（2）9人的所有排列方法有种，其中甲、乙、丙的排序有种，又对应甲、乙、丙只有 一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有 (种)． ‎ ‎（3）法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有种排法，若甲不在末位，则甲有种排法，乙有种排法，其余有种排法，综上共有(+ )＝ 287280(种)排法． （或者）-2+=287280(种）‎ ‎（或者）-2 -=287280(种)‎ 点睛：在处理排列问题时，要以两个原理为基础，确定好是分类还是分步，再用排列数表示每类或每步的个数，遇到特殊元素或特殊位置可用以下常见思路解决．一般情况下，会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置开始讨论，对于相邻问题，常用”捆绑法”；对于不相邻问题，常用”插空法”(特殊元素后考虑)，对于”在”与”不在”的问题，常常使用”直接法”或”排除法”(特殊元素先考虑)．‎ ‎20．已知a，b，c，使等N+都成立，‎ ‎（1）猜测a，b，c的值；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的结论。‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），再递推到n=k+1‎ 时，成立即可．‎ ‎【详解】‎ ‎(1):假设存在符合题意的常数a，b，c，‎ 在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2‎ ‎=（an2+bn+c）中，‎ 令n=1，得4=（a+b+c）①‎ 令n=2，得22=（4a+2b+c）②‎ 令n=3，得70=9a+3b+c③‎ 由①②③解得a=3，b=11，c=10，‎ 于是，对于n=1，2，3都有 ‎1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．‎ ‎(2)下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．‎ ‎（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．‎ ‎（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，‎ 即1•22+2•32+…+k（k+1）2‎ ‎=（3k2+11k+10），‎ 那么当n=k+1时，‎ ‎1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2‎ ‎=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2‎ ‎=（3k2+5k+12k+24）‎ ‎=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，‎ 由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．‎ 综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．‎ ‎21．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.‎ ‎（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；‎ ‎（2）求关于的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？‎ 附：相关系数公式，参考数据：，.‎ 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，‎ ‎【答案】（1）；（2），6.1百千克.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用相关系数的公式求相关系数，再根据相关系数的大小判断可用线性回归模型拟合与的关系.（2）利用最小二乘法求回归方程，再利用回归方程预测得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知数据可得，.‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以相关系数.‎ 因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系.‎ ‎（2）.‎ 那么.‎ 所以回归方程为.‎ 当时，，‎ 即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查相关系数和回归方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）时，增区间为；时，增区间为；时，增区间为，；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间；（2）由（1）知， 且，， ‎ 恒成立，可化为恒成立，利用导数求出函数，的最小值即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域为，，‎ 令，，‎ 若时，，在恒成立，函数在上单调递增.‎ 若，，方程，‎ 两根为，，‎ 当时，，，，单调递增.‎ 当时，，，‎ ‎，，单调递增，，，单调递增.‎ 综上，时，函数单调递增区间为，‎ 时，函数单调递增区间为，‎ 时，函数单调递增区间为，.‎ ‎（2）由（1）知，存在两个极值点时，且，，则，，且，.‎ 此时恒成立，可化为 恒成立，‎ 设，，‎ ‎，‎ 因为，所以，，所以，故在单调递减，‎ ‎，所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.‎