广西田阳高中2019-2020学年高二5月月考数学(理)试题

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广西田阳高中2019-2020学年高二5月月考数学(理)试题

‎2019至2020学年度下学期5月份月考高二年级数学(理)试题 一、单选题 ‎1.已知集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.复数 A. B. C. D.‎ ‎3.已知,,且,则向量与夹角的大小为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.若,则cos2α=(   )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,某市农业经济部门派三位专家对、、三个县区进行调研,每个县区派一位专家,则甲专家恰好派遣至县区的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.我国古代数学名著《孙子算经》有鸡兔同笼问题,根据问题的条件绘制如图的程序框图,则输出的,分别是( )‎ A.12,23 B.23,‎12 C.13,22 D.22,13‎ ‎ ‎ ‎(第7题图) (第8题图) (第9题图)‎ ‎ ‎ ‎8.如上图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩,则下列判断正确的是( )‎ A.,甲比乙成绩稳定 B.,乙比甲成绩稳定 C.,甲比乙成绩稳定 D.,乙比甲成绩稳定 ‎9.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.在等比数列中,,且,,则等于( )‎ A.6 B. C. D.‎ ‎11.若函数的图象的一条对称轴为,则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知双曲线的左、右焦点分别为、,为坐标原点,是双曲线上在第一象限内的点,直线、分别交双曲线左、右支于另一点、,,且,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题 ‎13.设变量满足约束条件,则的最大值是_________.‎ ‎14.求曲线在点处的切线方程是________.‎ ‎15.的展开式中的系数为__________.‎ ‎16.已知函数是定义在R上的偶函数,满足,若时,,‎ 则函数的零点个数为___________.‎ 三、解答题 ‎17.已知数列的前项和为.‎ ‎(1)求这个数列的通项公式;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎18.为了提高学生的身体素质,某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动,我健康,我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况,采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据(单位:个/分钟):‎ ‎(1)求高一、高二两个年级各有多少人?‎ ‎(2)设某学生跳绳个/分钟,踢毽个/分钟.当,且时,称该学生为“运动达人”.‎ ‎①从高二年级的学生中任选一人,试估计该学生为“运动达人”的概率;‎ ‎②从高二年级抽出的上述5名学生中,随机抽取3人,求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数的分布列和数学期望.‎ ‎19.已知四棱锥,底面为菱形, ,H为上的点,过的平面分别交于点,且平面.‎ ‎(1)证明: ;‎ ‎(2)当为的中点, ,与平面所成的角为,求二面角的余弦值.‎ ‎20.已知椭圆经过点,离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过点作两条互相垂直的弦分别与椭圆交于点,求点到直线距离的最大值.‎ ‎21.已知函数在处取得极值.‎ ‎(1)求的值,并讨论函数的单调性;‎ ‎(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)若,,,求证:.‎ ‎2019至2020学年度下学期5月份月考高二年级数学理科试题答案 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A C C C A B B D A B C B 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)‎ ‎(13) 18 ( 14) (15) 9 (16)2‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共70分)‎ ‎17. 解:(1)当且时,…①‎ 当时,,也满足①式数列的通项公式为:‎ ‎(2)由(1)知:‎ ‎18. 解:(1)设高一年级有人,高二年级有人.‎ 采用分层抽样,有.所以高一年级有人,高二年级有人. ‎ ‎(2)从上表可知,从高二抽取的5名学生中,编号为1,2,5的学生是“运动达人”.‎ 故从高二年级的学生中任选一人,该学生为“运动达人”的概率估计为.‎ ‎(3)的所有可能取值为. ‎ ‎,,.‎ 所以的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故的期望.‎ ‎19. 解:(1)证明:连结交于点,连结.因为为菱形,所以,且为、的中点,因为,所以,‎ 因为且平面,所以平面,‎ 因为平面,所以.‎ 因为平面, 平面,且平面平面,‎ 所以,所以.‎ ‎(2)由(1)知且,因为,且为的中点,‎ 所以,所以平面,所以与平面所成的角为,‎ 所以,所以,因为,所以. ‎ 分别以, , 为轴,建立如图所示空间直角坐标系,设,则 ‎,‎ 所以.‎ 记平面的法向量为,则,‎ 令,则,所以,‎ 记平面的法向量为,则,‎ 令,则,所以, ‎ 记二面角的大小为,则.‎ 所以二面角的余弦值为 . ‎ ‎20. 解:(1)由题意,得,结合,得,,‎ 所以椭圆的方程为;‎ ‎(2)当直线的斜率存在时,设其方程为,‎ 代入椭圆方程,整理得,‎ 由得,‎ 设,,则,,‎ 因为,所以,所以,‎ 即,‎ 其中,‎ ‎,‎ 代入整理得,即,‎ 当时,直线过点,不合题意;‎ 所以,此时满足,‎ 则直线的方程为,直线过定点,‎ 所以当时,点到直线的最大距离;‎ 当直线的斜率不存在时,设其方程为,由,,‎ 代入可得,‎ 结合可得或(舍去), 当时,点到直线的距离为,‎ 综上,点到直线的最大距离为.‎ ‎21. 解:(1)由题知,又,即,‎ ‎∴ ,令,得;令,得,‎ 所以函数在上单调递增,在单调递减.‎ ‎(2)依题意知,当时,恒成立,即,‎ 令,只需即可,‎ 又,令,,‎ 所以在上递增,∴ ,∴ ,所以在上递增,‎ ‎∴ ,故.‎ ‎22.解:(1).‎ 当时,由,解得,此时;当时,不成立;‎ 当时,由,解得,此时.‎ 综上所述,不等式的解集为;‎ ‎(2)要证,即证,‎ 因为,,所以,,,‎ ‎.‎ 所以,.故所证不等式成立.‎
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