江西省抚州市临川第二中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

江西省抚州市临川第二中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期期中考试数学（文）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.设集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合，再由交集的概念，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎2.＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数即可.‎ ‎【详解】因为，故选A.‎ ‎【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎3.“”是“”的（）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据以及充分不必要条件的定义可得.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以Ü,‎ 所以”是“”的充分不必要条件.‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.‎ ‎4.已知，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，由于角为第三象限角，故，.‎ ‎5.非零向量满足且,的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用向量的平方即为模的平方，求得，由向量数量积的夹角公式，计算可得所求值．‎ ‎【详解】由得， ①‎ 又由得， ②‎ 将②代入①式，整理得：，即 又因为，即 故选.‎ ‎【点睛】本题考查向量数列的定义和夹角的求法，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎6.将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出平移后的函数解析式，进而可求出结果.‎ ‎【详解】将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后，‎ 得到函数的图象，‎ 则．‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查由三角函数平移后的解析式求函数值，熟记三角函数的平移原则即可，属于基础题型.‎ ‎7.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列和等差数列的性质求得和，同时利用下标和的性质化简所求式子，可知所求式子等价于，利用诱导公式可求得结果.‎ ‎【详解】是等比数列 ‎ 是等差数列 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质的应用，其中还涉及到诱导公式的知识，属于基础题.‎ ‎8.在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来，类比上述结论可得的正值为（）‎ A. 1 B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,通过类比可得: ,再解方程可得.‎ ‎【详解】由题意可得，，∴，解得．‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了推理与证明中的类比推理,属中档题.‎ ‎9.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设表示“从中任选2名学生去参加活动，恰好选中2名女生”，由题意确定事件包含的基本事件个数，以及总的基本事件个数，进而可求出结果.‎ ‎【详解】依题意，设表示“从中任选2名学生去参加活动，恰好选中2名女生”，‎ 则事件包含的基本事件个数为种，‎ 而基本事件的总数为，‎ 所以，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查求古典概型的概率，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．‎ ‎10.函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由于，，且，‎ 故此函数是非奇非偶函数，排除；又当时，满足，即的图象与直线的交点中有一个点的横坐标为，排除， 故选B．‎ ‎【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除 ‎11.中，，，点 在双曲线上，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意结合双曲线定义，求出的三边关系，再利用正弦定理化简，求出它的值即可．‎ ‎【详解】中， ， ，点在双曲线上，‎ 与为双曲线的两焦点，‎ 根据双曲线的定义得：，，‎ 则．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理的应用问题，考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．‎ ‎12.已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；③；④有极小值点，且．则正确判断的个数是（ ）‎ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的导数，判断函数的单调性，对四个选项分别进行判断，即可得出结论.‎ ‎【详解】对于①，∵，‎ ‎∴，令，‎ 当时，在上恒成立，‎ ‎∴在上单调递增．‎ 当时，由，解得；由，解得；‎ ‎∴在单调递减，在单调递增．‎ ‎∵函数有两个零点，，‎ ‎∴，，即，即，‎ 解得：；所以①不正确；‎ 对于②，因为函数有两个零点，，‎ 所以，是方程两根，因此，，‎ 所以，‎ 取，，∴，，∴，‎ ‎∴，所以②不正确；‎ 对于③，，∴，不一定，∴所以③不正确；‎ 对于④，f（x）在单调递减，在单调递增，‎ ‎∴有极小值点，且，所以④正确．‎ 综上，正确的命题序号是④．‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，通常需要对函数求导，根据转化与化归的思想求解，属于常考题型．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.已知向量，，若，则向量的模为______．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行的坐标表示得到，然后根据向量模的定义求出向量的模.‎ ‎【详解】∵，∴，解得，‎ ‎∴，∴.‎ 故答案为：10‎ ‎【点睛】本题考查求向量的模，熟记向量共线的坐标表示，以及向量模的坐标表示即可，属于基础题型．‎ ‎14.已知，均为锐角且，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由两角和的正切公式，求出的正切值，即可得出结果.‎ 详解】∵，，‎ ‎∴.‎ 又，，‎ ‎∴，则．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查两角和的正切，考查由已知三角函数值求角，熟记公式即可，属于基础题型．‎ ‎15.设为所在平面内一点，，若，则__________．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用向量的线性运算求出结果．‎ ‎【详解】∵为所在平面内一点, ，‎ ‎∴B，C，D三点共线.若 ∴，‎ 化为： =+，与=−+，比较可得： ，解得.‎ 即答案为-3.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．‎ ‎16.已知函数，，若与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数关于直线的对称函数，令与的图象有交点得出的范围即可．‎ ‎【详解】关于直线对称的直线为，‎ ‎∴直线与在上有交点，‎ 作出与的函数图象，如图所示：‎ 若直线经过点，则，若直线与相切，‎ 设切点为，则，解得．‎ ‎∴，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ ‎17.已知等差数列前项和为，若，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先设等差数列的首项为，公差为，根据题意列出方程组，求出首项与公差，即可得出结果；‎ ‎（2）由裂项相消法，直接求解，即可得出结果．‎ ‎【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为 ，，‎ 则：，解得，‎ 所以．‎ ‎（2）由于，‎ 所以．‎ 则．‎ ‎【点睛】本题考查求等差数列通项公式，以及求数列的和，熟记等差数列的通项公式与求和公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于基础题型．‎ ‎18.在中，内角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合余弦定理进行化简，即可求出结果.‎ ‎（2）由题意求出的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算，即可得出结果．‎ ‎【详解】（1）由余弦定理得 化简得，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）由，得，‎ 在中，‎ ‎∵‎ ‎，‎ 由正弦定理，‎ 得，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，以及三角形面积公式即可，属于常考题型.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若面面，，，，求到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于，连接，推导出，面，由此能证明．‎ ‎（2）推导出是三棱锥的高，设到平面的距离为，根据，即可求出结果．‎ ‎【详解】（1）连接交于，连接，‎ 在菱形中，，是的中点，‎ 又因为，所以，又，‎ 所以面，‎ 又面，所以．‎ ‎（2）因为面面，面面面，，面，‎ 所以面，即是三棱锥的高．‎ 依题意可得，是等边三角形，所以，，‎ 等腰，，，‎ 经计算得，，‎ 等腰三角形的面积为，‎ 设点到平面的距离为，‎ 则由，得，解得，‎ 所以到平面的距离为．‎ ‎【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求点到面的距离，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，以及等体积法求点到面的距离即可，属于常考题型.‎ ‎20.已知函数，.‎ ‎（1）若，求的最大值；‎ ‎（2）当时，求证：.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ 分析：（1）给定区间求最值需先求导判出在相应区间上的单调性；‎ ‎（2）构造新函数，运用放缩进行处理。先证，又由，，所以。‎ 详解：（1）解：当时，，‎ 由，得，所以时，；时，，‎ 因此的单调递减区间为，单调递增区间为，‎ 的最大值为 .‎ ‎（2）证明：先证，‎ 令，‎ 则 ，‎ 由，与的图象易知，存在，使得，‎ 故时，；时，，‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，‎ 所以的最大值为，‎ 而，.‎ 又由，，所以，‎ 当且仅当，取“=”成立，即.‎ 点晴：导数是做题的工具，在解决问题时，一般首先要对题干的转化，带着目标做下手，一般都是转化成最值的问题，然后最值的问题都是利用单调性去解决 ‎21.已知抛物线的方程为，其焦点为，为过焦点的抛物线的弦，过分别作抛物线的切线，，设，相交于点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）如果圆的方程为，且点在圆内部，设直线与相交于，两点，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）0（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，设的方程为，代入抛物线方程得，得到，利用函数的导数求解切线的斜率，即可得出结果．‎ ‎（2）由（1）知， 以及在点，处的切线方程，联立两切线方程，得到交点．由点在圆内，得到，再求出弦长，求出到直线的距离，利用构造法结合基本不等式求解最小值即可．‎ ‎【详解】（1）设，，因为，‎ 所以设的方程为，‎ 代入抛物线方程得，从而，，‎ 又由得，所以，，‎ 因此，即，‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）知，在点，处的切线方程分别为，，由两切线方程联立，解得：交点．‎ 由点在圆内，得，‎ 又因为，，其中为到直线的距离．‎ 所以．‎ 又的方程为，所以，‎ 令，由得．又由，所以，‎ 从而．‎ 所以，当时，．‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，通常需要联立直线与曲线方程，结合韦达定理，弦长公式，以及点到直线距离公式等求解，属于常考题型，计算量较大．‎ ‎22.‎ 在极坐标系中，已知两点O(0，0)，B(2，)．‎ ‎(1)求以OB为直径的圆C的极坐标方程，然后化成直角坐标方程；‎ ‎（2）以极点O为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C相交于M，N两点，圆C的圆心为C，求三角形MNC的面积．‎ ‎【答案】(1) (x－1)2＋(y－1)2=2； (2).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)设 |OP|＝，角POx＝－，‎ 在直角三角形POB中，cos(－)＝，‎ 即＝2cos(－)．‎ ‎∴×cos×+2×sin×，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为 (x－2)2＋(y－2)2=2． ‎ ‎（2）C到直线l的距离为d＝，‎ 在直角三角形CDA中，|MN|＝2＝，‎ ‎∴S＝××＝．‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入的值，根据题意，分情况求解，即可得出结果；‎ ‎（2）问题转化为恒成立，当时，，令，求出的最大值，求出的范围即可．‎ ‎【详解】（1）当时，， ‎ 由，得或或，‎ 解得：或，‎ 故不等式的解集是；‎ ‎（2）当]时，，‎ 因此恒成立，即恒成立，‎ 整理得：，‎ 当时，成立，‎ 当时，，‎ 令，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故，‎ 故．‎ ‎【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记含绝对值不等式的解法，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型.‎ ‎ ‎